1、 1 2016-2017 学年宁夏高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1 i是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A B C D 2设 x R，则 “x=1” 是 “ 复数 z=（ x2 1） +（ x+1） i为纯虚数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知自由落体运动的速率 v=gt，则落体运动从 t=0 到 t=t0所走的路程为（ ） A B C D 4观察（ x2） =2x ，（ x4） =4x 3，（ cosx） = sinx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 f（
2、x）满足 f（ x） =f（ x），记 g（ x）为 f（ x）的导函数，则 g（ x） =（ ） A g（ x） B f（ x） C f（ x） D g（ x） 5下列类比推理命题（其中 Q为有理数集， R为实数集， C为复数集）： “ 若 a， b R，则 a b=0?a=b” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b=0?a=b” ； “ 若 a， b， c， d R，则复数 a+bi=c+di?a=c， b=d” 类比推出 “ 若 a， b， c， d Q，则a+b ?a=c， b=d” ； “ 若 a， b R，则 a b 0?a b” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b
3、0?a b” 其中类比结论正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6用数学归纳法证明等式 1+2+3+? +（ n+3） = 时，第一步验证 n=1时，左边应取的项是（ ） A 1 B 1+2 C 1+2+3 D 1+2+3+4 7已知直线 ax by 2=0与曲线 y=x3在点 P（ 1， 1）处的切线互相垂直，则 为（ ） A B C D 8已知 i是虚数单位，复数 z= （ a R），若 |z|= （ sinx ） dx，则 a=（ ） 2 A 1 B 1 C 1 D 9如果函数 y=f（ x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 函数 y=f（ x）在区间 内单调递增；
4、函数 y=f（ x）在区间 内单调递减； 函数 y=f（ x）在区间（ 4， 5）内单调递增； 当 x=2时，函数 y=f（ x）有极小值； 当 x= 时，函数 y=f（ x）有极大值则上述判断中正确的是（ ） A B C D 10如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x=1 及曲线 y=ex 1 围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 11若函数 f（ x） =cosx+2xf （ ），则 f（ ）与 f（ ）的大小关系是（ ） A f （ ） =f（ ） B f （ ） f（ ） C f （ ） f（ ） D不确定 12设 f（ x）
5、是定义在 R上的函数，其导函数为 f （ x），若 f（ x） +f （ x） 1， f（ 0）=2017，则不等式 exf（ x） ex+2016（其中 e为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ ， 0） （ 0， + ） B（ 0， + ） C D （ ， 0） 一填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分） 13计算 = 3 14学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是 C或 D作品获得一等奖 ” ； 乙说： “B 作品获得一等奖 ” ； 丙说： “A ， D两项作品
6、未获得一等奖 ” ； 丁说： “ 是 C作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 15设函数 y=f（ x）的定义域为 R，若对于给定的正数 k，定义函数 fk（ x） =则当函数 f（ x） = ， k=1时，定积分 fk（ x） dx的值为 16已知函数 f（ x） =x3+3mx2+nx+m2在 x= 1时有极值 0，则 m+n= 二解答题（本题共 6 小题，共 70分） 17用反证法证明：在 ABC中，若 sinA sinB，则 B必为锐角 18设复数 z= ，若 z2+az+b=1+i，求实数 a， b的值 19已知 F（ x） = dt，（ x
7、0） （ 1）求 F（ x）的单调区间； （ 2）求函数 F（ x）在 1， 3上的最值 20已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， Sn=n2an（ n N*） （ 1）写出 S1， S2， S3， S4，并猜想 Sn的表达式； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an的表达式 21已知函数 f（ x） =（ x 1） 2+ ln（ 2x 1） （ 1）当 a= 2时，求函数 f（ x）的极值点； （ 2）记 g（ x） =alnx，若对任意 x 1，都有 f（ x） g（ x）成立，求实数 a的取值范围 22已知函数 f（ x） =x3+ax2 3x（ a R） （ 1）
8、若函数 f（ x）在区间 1， + ）上是增函数，求实数 a的取值范围； （ 2）若 x= 是函数 f（ x）的极值点，求函数 f（ x）在 a， 1上的最大值； 4 （ 3）在（ 2）的条件下，是否存 在实数 b，使得函数 g（ x） =bx的图象与函数 f（ x）的图象恰有 3个交点？若存在，请求出 b的取值范围；若不存在，请说明理由 5 2016-2017 学年宁夏育才中学高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1 i是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A B C D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析
9、】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数 = = 的虚部是 故选： A 2设 x R，则 “x=1” 是 “ 复数 z=（ x2 1） +（ x+1） i为纯虚数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由于复数 z=（ x2 1） +（ x+1） i为纯虚数，则其实部为 0，虚部不为 0，故可得到x的值，再与 “x=1” 比较范围大小即可 【解答】 解：由于复数 z=（ x2 1） +（ x+1） i为纯虚数，则 ， 解得 x=1，故 “x=1” 是 “ 复数
10、 z=（ x2 1） +（ x+1） i为纯虚数 ” 的充要 条件 故答案为 C 3已知自由落体运动的速率 v=gt，则落体运动从 t=0 到 t=t0所走的路程为（ ） A B C D 【考点】 67：定积分 【分析】 根据积分的物理意义，求积分即可得到结论 【解答】 解：由积分的物理意义可知落体运动从 t=0 到 t=t0 所走的路程为6 ， 故选： C 4观察（ x2） =2x ，（ x4） =4x 3，（ cosx） = sinx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x），记 g（ x）为 f（ x）的导函数，则 g（ x） =（ ） A g（ x
11、） B f（ x） C f（ x） D g（ x） 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 由已知中（ x2） =2x，（ x4） =4x3，（ cosx） = sinx， ? 分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性 质，即可得到答案 【解答】 解：由（ x2） =2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （ x4） =4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （ cosx） = sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； ? 我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数 若定义在 R上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x）， 则函数 f（ x）为偶函数
12、， 又 g（ x）为 f（ x）的导函数，则 g（ x）奇函数 故 g（ x） +g（ x） =0，即 g（ x） = g（ x）， 故选 A 5下列类比推理命题（其中 Q为有理数集， R为实数集， C为复数 集）： “ 若 a， b R，则 a b=0?a=b” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b=0?a=b” ； “ 若 a， b， c， d R，则复数 a+bi=c+di?a=c， b=d” 类比推出 “ 若 a， b， c， d Q，则a+b ?a=c， b=d” ； “ 若 a， b R，则 a b 0?a b” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b 0?a b” 其中
13、类比结论正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递 的，但有些性质不能传递，因此，要判7 断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对 3个结论逐一进行分析，不难解答 【解答】 解： 在复数集 C中，若两个复数满足 a b=0，则它们的实部和虚部均相等，则 a，b相等故 正确； 在有理数集 Q中，若 ，则（ a c） +（ b d） =0，易得： a=c， b=d故 正确； 若 a， b C，当 a=1+i， b=i 时， a
14、 b=1 0，但 a， b 是两个虚数，不能比较大小故 错误 故 3个结论中，有两个是正确的 故选 C 6用数学归纳法证明等式 1+2+3+? +（ n+3） = 时，第一步验证 n=1时，左边应取的项是（ ） A 1 B 1+2 C 1+2+3 D 1+2+3+4 【考点】 RG：数学归纳法 【分析】 由等式 ，当 n=1时， n+3=4，而等式左边起始为 1的连续的正整数的和，由 此易得答案 【解答】 解：在等式 中， 当 n=1时， n+3=4， 而等式左边起始为 1的连续的正整数的和， 故 n=1时，等式左边的项为： 1+2+3+4 故选 D 7已知直线 ax by 2=0与曲线 y=
15、x3在点 P（ 1， 1）处的切线互相垂直，则 为（ ） A B C D 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由导数的几何意义可求曲线 y=x3在（ 1， 1）处的切线斜率 k，然后根据直线垂直的8 条件可求 的值 【解答】 解：设曲线 y=x3在点 P（ 1， 1）处的切线斜率为 k，则 k=f （ 1） =3 因为直线 ax by 2=0 与曲线 y=x3在点 P（ 1， 1）处的切线互相垂直 所以 故选 D 8已知 i是虚数单位，复数 z= （ a R），若 |z|= （ sinx ） dx，则 a=（ ） A 1 B 1 C 1 D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 求定积分得到 |z|，然后利用复数代数形式的乘除运算化简 z，代入复数模的公式求得 m的值 【解 答】 解： |z|= （ sinx ） dx=（ cosx ） | =（ c
