1、 - 1 - 2016-2017 学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（下列各题 A、 B、 C、 D四个答案有且只有一个正确，每题 5分，满分 60分） 1 =（ ） A 31 B 32 C 33 D 34 2 i为虚数单位，（ 1+i） =（ 1 i） 2，则 |z|=（ ） A 1 B 2 C D 3 =（ ） A B C D 4 的展开式中 x3的系数为（ ） A 36 B 36 C 84 D 84 5某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选 的四人中至少有一名女生的选法为（ ） A 14 B 8 C 6 D 4 6 “a=1” 是 “ 复数
2、 z=（ a2 1） +2（ a+1） i（ a R）为纯虚数 ” 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 7设 P（ x0， y0）是 图象上任一点， y=f（ x）图象在 P 点处的切线的斜率不可能是（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 8函数 f（ x） =excosx在点（ 0， f（ 0）处的切线斜率为（ ） A 0 B 1 C 1 D 9 6 名同学安排到 3 个社区 A， B， C 参 加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到 C社区，则不同的安排方法种数为（ ） A 12 B 9 C 6 D 5
3、 10曲线 y=x3 3x和直线 y=x所围成图形的面积是（ ） A 4 B 8 C 9 D 10 - 2 - 11对于 R上可导的函数 f（ x），若满足（ x 1） f（ x） 0，则必有（ ） A f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） B f（ 0） +f（ 2） =2f（ 1） C f（ 0） f（ 1） f（ 2）D f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 12 2位男生和 3位女生共 5位同学站成 一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 二、填空题（每题 5分，满分 20 分） 13证明下列等式，
4、并从中归纳出一个一般性的结论 2cos = ； 2cos = ； 2cos = ； ? 14设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n项积为 Tn，则 T4， ， ， 成等比数列 15如图，小王从街道的 A处到达 B处 ，可选择的最短路线的条数为 16设 f（ x） =sinx+2xf（ ）， f（ x）是 f（ x）的导函数，则 f（ ） = 三、解答题（满分 70分） 17（ I）设复数 z和它的共轭复数 满足 ，求复数 z （ ）设复数 z满足 |z+2|+|z 2|=8，求复数 z对
5、应的点的轨迹方程 18（ I）求 的展开式中的常数项； （ ）设 ，求（ a0+a1+a2+a3+? +a10）（ a0 a1+a2- 3 - a3+? +a10） 19观察以下 5个等式： 1= 1 1+3=2 1+3 5= 3 1+3 5+7=4 1+3 5+7 9= 5 ? 照以上式子规律： （ 1）写出第 6个等式，并猜想第 n个等式；（ n N*） （ 2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 n个等式成立（ n N*） 20已知函数 f（ x） =x3 ax 1（ a R） （ I）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若函数 f（ x）在区间（ 1， 1）上单调递减，求实数 a的取值范
6、围 21设函数 f（ x） =alnx x （ I） a=2，求函数 f（ x）的极值； （ ）讨论函数 f（ x）的单调性 22设函数 （ x） =ex 1 ax， （ I）当 a=1时，求函数 （ x）的最小值； （ ）若函数 （ x）在（ 0， + ）上有零点，求实数 a的范围； （ III）证明不等式 ex 1+x+ - 4 - 2016-2017 学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题 A、 B、 C、 D四个答案有且只有一个正确，每题 5分，满分 60分） 1 =（ ） A 31 B 32 C 33 D 34 【考点】 D5：组合及
7、组合数公式 【分析】 直接利用组合数公式求解即可 【解答】 解： = =3+6+10+15=34 故选： D 2 i为虚数单位，（ 1+i） =（ 1 i） 2，则 |z|=（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 A8：复数求模 【分析】 通过设 z=a+bi，可得 =a bi，利用（ 1+i） =（ 1 i） 2，可得 = 1 i，进而可得结论 【解答】 解：设 z=a+bi，则 =a bi， （ 1+i） =（ 1 i） 2， = = = = = = = 1 i， z= 1+i， |z|= = ， 故选： C 3 =（ ） A B C D - 5 - 【考点】 D4：排列及排列数公式 【
8、分析】 根据排列数公式计算即可 【解答】 解： = = = 故选： D 4 的展开式中 x3的系数为（ ） A 36 B 36 C 84 D 84 【考点】 DB：二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解： 的展开式中通项公式： Tr+1= x9 r =（ 1） r x9 2r， 令 9 2r=3，解得 r=3 x3的系数 = = 84 故选： C 5某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ） A 14 B 8 C 6 D 4 【考点】 D8：排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，按女生的数目分 2 种情况讨论：
9、 、所选的四人中有 1 名女生，则有 3名男生， 、所选的四人中有 2名女生，则有 2名男生，由加法原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2种情况讨论： 、所选的四人中有 1 名女生，则有 3名男生，有 C43C21=8种情况， 、所选的四人中有 2 名女生，则有 2名男生，有 C42C22=6种情况， 则所选的四人中至少有一名女生的选法有 8+6=14种； 故选： A - 6 - 6 “a=1” 是 “ 复数 z=（ a2 1） +2（ a+1） i（ a R）为纯虚数 ” 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充
10、分条件与充要条件的判断 【分析】 利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】 解： a2 1+2（ a+1） i为纯虚数，则 a2 1=0， a+1 0， a=1，反之也成立 “a=1” 是 “ 复数 z=（ a2 1） +2（ a+1） i（ a R）为纯虚数 ” 的充要条件， 故选： A 7设 P（ x0， y0）是 图象上任一点， y=f（ x）图象在 P 点处的切线的斜率不 可能是（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项 【解答】 解： ，可得 f （ x） =2 cos
11、（ 2x+ ） 2 ， 2 ， 因为 4? 2 ， 2 ， 所以 y=f（ x）图象在 P点处的切线的斜率不可能是： 4 故选： D 8函数 f（ x） =excosx在点（ 0， f（ 0）处的切线斜率为（ ） A 0 B 1 C 1 D 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求函数 f（ x） =excosx的导数，因为函数图象在点（ 0， f（ 0）处的切线的斜率为函数在 x=0处的导数，就可求出切线的斜率 【解答】 解： f （ x） =excosx exsinx， f （ 0） =e0（ cos0 sin0） =1， 函数图象在点（ 0， f（ 0）处的切线的斜
12、率为 1 - 7 - 故选 C 9 6 名同学安排到 3 个社区 A， B， C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到 C社区，则不同的安排方法种数为（ ） A 12 B 9 C 6 D 5 【考点】 D3：计数原理的应用 【分析】 本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在 A 社区，另一在 B 社区，二类是乙和丙在 B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可 【解答】 解：由题意将问题分为两类求解 第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为 A21 A31=6 种 第二类，若乙与丙在 B社区，则 A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去
13、 C社区，故安排方法种数为 A31=3种 故不同的安排种数是 6+3=9 种 故选 B 10曲线 y=x3 3x和直线 y=x所围成图形的面积是（ ） A 4 B 8 C 9 D 10 【考点】 67：定积分 【分析】 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为 2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可； 【解答】 解：曲线 y=x3 3x 与 y=x的交点坐标为（ 0， 0），（ 2， 2），（ 2， 2） 根据题意画出图形，曲线 y=x3 3x和直线 y=x围成图形的面积 S=2 x（ x3 3x） dx=2（ 4x x3） dx =2（
14、2x2 x4） | =2（ 8 4） =8， 故选： B - 8 - 11对于 R上可导的函数 f（ x），若满足（ x 1） f（ x） 0，则必有（ ） A f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） B f（ 0） +f（ 2） =2f（ 1） C f（ 0） f（ 1） f（ 2）D f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】 借助导数知识，根据（ x 1） f （ x） 0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可 【解答】 解： 对于 R 上可导的任意函数 f（ x），（ x 1） f （ x） 0 有 或 ， 即当 x （
15、1， + ）时， f（ x）为减函数， 当 x （ ， 1）时， f（ x）为增函数 f（ 0） f（ 1）， f（ 2） f（ 1） f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 故选： A 12 2位男生和 3位女生共 5位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 【考点】 D9：排列、组合及简单计数问题 【分析】 从 3名女生中任取 2人 “ 捆 ” 在一起，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、- 9 - 乙，则男生甲必须在 A、 B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙 【解答】 解：从 3名女生中任取 2人 “ 捆 ” 在一起记作 A，（ A共有 C32A22=6种不同排法）， 剩下一名女生记作 B，两名男生分 别记作甲、乙；
