1、 - 1 - 2016-2017 学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z1=7 6i， z2=4 7i，则 z1 z2=（ ） A 3+i B 3 i C 11 13i D 3 13i 2复数 z满足（ z 3）（ 2 i） =5（ i为虚数单位），则 z的共轭复数 为（ ） A 2+i B 2 i C 5+i D 5 i 3数列 an，已知 a1=1，当 n 2时 an=an 1+2n 1，依次计算 a2、 a3、 a4后，猜想 an的表达式是（ ） A
2、3n 2 B n2 C 3n 1 D 4n 3 4若复数 z满足（ 3 4i） z=|4+3i|，则 z的虚部为（ ） A 4 B C 4 D 5不等式 |x2 2| 2的解集是（ ） A（ 1， 1） B（ 2， 2） C（ 1， 0） （ 0， 1） D（ 2， 0） （ 0， 2） 6若 a、 b、 c R， a b，则下列不等式成立的是（ ） A B a2 b2 C D a|c| b|c| 7观察下列各式： a+b=1， a2+b2=3， a3+b3=4， a4+b4=7， a5+b5=11， ? ，则 a10+b10=（ ） A 28 B 76 C 123 D 199 8用数学归纳法
3、证明 “1 +2+22+? +2n 1=2n 1（ n N+） ” 的过程中，第二步 n=k 时等式成立，则当 n=k+1时，应得到（ ） A 1+2+22+? +2k 2+2k 1=2k+1 1 B 1+2+22+? +2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+? +2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+? +2k 1+2k=2k+1 1 9用反证法证明命题： “ 已知 a、 b N*，如果 ab可被 5整除，那么 a、 b 中至少有一个能被5 整除 ” 时，假设的内容应为（ ） - 2 - A a、 b都能被 5整除 B a、 b都不能被 5整除 C a、 b不都
4、能被 5整除 D a不能被 5整除 10若关于 x的不等式 |x 1|+|x+m| 3的解集为 R，则实数 m的取值范围是（ ） A（ ， 4） （ 2， + ） B（ ， 4） （ 1， + ） C（ 4， 2） D 4，1 11设 a= ， b= ， c= ，则 a， b， c的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 12我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，类比上述结论，在棱长为 a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A B C D a 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20
5、分 . 13若 =a+bi（ a， b为实数， i为虚数单位），则 a+b= 14若 a 0， b 0，且 ln（ a+b） =0，则 的最小值是 15若关于实数 x的不等式 |x 5|+|x+3| a无解，则实数 a的取值范围是 16传说古希腊 毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， ? 记为数列 an，将可被 5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn，可以推测： b2017是数列 an中的第 项 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 . 17在复平面内，复数 （ i为虚数单位）的共轭复数 对应
6、点为 A，点 A 关于原点 O的对称点为 B，求： （ ）点 A所在的象限； （ ）向量 对应的复数 18设 a， b， c， d均为正数，且 a+b=c+d，若 ab cd， 证明： - 3 - （ ） ； （ ） |a b| |c d| 19已知数列 an的前 n项和为 Sn，若 an=（ 1） n（ 2n 1） （ ）求 S1， S2， S3， S4； （ ）猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法给出证明 20设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1， 证明：（ 1） ab+bc+ca ； （ 2） + + 1 21已知函数 f（ x） =|x+a|+|x 2| （ ）当 a= 3时
7、，求不等式 f（ x） 3的解集； （ ）若 f（ x） |x 4|的解集包含 1， 2，求 a的取值范围 22已知关于 x的不等式 |x+a| b的解集为 x|2 x 4 （ ）求实数 a， b的值； （ ）求 + 的最大值 - 4 - 2016-2017 学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z1=7 6i， z2=4 7i，则 z1 z2=（ ） A 3+i B 3 i C 11 13i D 3 13i 【考点】 A6：复数代数形式的
8、加减运算 【分析】 直接利用复数代数形式的加减运算得答案 【 解答】 解： z1=7 6i， z2=4 7i， z1 z2=（ 7 6i）（ 4 7i） =3+i 故选： A 2复数 z满足（ z 3）（ 2 i） =5（ i为虚数单位），则 z的共轭复数 为（ ） A 2+i B 2 i C 5+i D 5 i 【考点】 A2：复数的基本概念 【分析】 利用复数的运算法则求得 z，即可求得 z的共轭复数 【解答】 解： （ z 3）（ 2 i） =5， z 3= =2+i z=5+i， =5 i 故选 D 3数列 an，已知 a1=1，当 n 2时 an=an 1+2n 1，依次计算 a2、
9、 a3、 a4后，猜想 an的表达式是（ ） A 3n 2 B n2 C 3n 1 D 4n 3 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 先根据数列的递推关系式求出 a2、 a3、 a4的值，即可得到答案 - 5 - 【解答】 解：由题意可得 a2=4， a3=9， a4=16， 猜想 an=n2， 故选 B 4若复数 z满足（ 3 4i） z=|4+3i|，则 z的虚部为（ ） A 4 B C 4 D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算； A8：复数求模 【分析】 由题意可得 z= = ，再利用两个复数代数形式 的乘除法法则化简为+ i，由此可得 z的虚部 【解答】 解： 复数 z 满足（
10、 3 4i） z=|4+3i|， z= = = = + i， 故 z的虚部等于 ， 故选： D 5不等式 |x2 2| 2的解集是（ ） A（ 1， 1） B（ 2， 2） C（ 1， 0） （ 0， 1） D（ 2， 0） （ 0， 2） 【考点】 R5：绝对值不等式的解法 【分析】 直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可 【解答】 解：不等式 |x2 2| 2的解集等价于，不等式 2 x2 2 2的解集，即 0 x2 4， 解得 x （ 2， 0） （ 0， 2） 故选 D 6若 a、 b、 c R， a b，则下列不等式成立的是（ ） A B a2 b2 C D a|
11、c| b|c| 【考点】 71：不等关系与不等式 【分析】 本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的 a， b的值，可一一验证 A， B，D 不成立，而由不等式的基本性质知 C成立，从而解决问题 - 6 - 【解答】 解：对于 A，取 a=1， b= 1，即知不成立，故错； 对于 B，取 a=1， b= 1，即知不成立，故错； 对于 D，取 c=0，即知不成立，故错； 对于 C，由于 c2+1 0，由不等式基本性质即知成立，故对； 故选 C 7观察下列各式： a+b=1， a2+b2=3， a3+b3=4， a4+b4=7， a5+b5=11， ? ，则 a10+b10=（ ） A 2
12、8 B 76 C 123 D 199 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 观察可得各式的值构成数列 1， 3， 4， 7， 11， ? ，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解 【解答】 解：观察可得各式的值构成数列 1， 3， 4， 7， 11， ? ，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项 继续写出此数列为 1， 3， 4， 7， 11， 18， 29， 47， 76， 123， ? ，第十项为 123，即 a10+b10=123， 故选 C 8用数学归纳法证明 “1 +2+22+? +2n 1=2n 1（ n N+） ” 的过程中，第二步 n=k 时等
13、式成立，则当 n=k+1时，应得到（ ） A 1+2+22+? +2k 2+2k 1=2k+1 1 B 1+2+22+? +2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+? +2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+? +2k 1+2k=2k+1 1 【考点】 RG：数学归纳法 【分析】 把 n=k+1代入等式即可 【解答】 解：当 n=k+1 时，等式左边为 1+2+22+? +2k，等式右边为 2k+1 1， 故选 D 9用反证法证明命题： “ 已知 a、 b N*，如果 ab可被 5整除，那么 a、 b 中至少有一个能被5 整除 ” 时，假设的内容应为（ ） A a、
14、 b都能被 5整除 B a、 b都不能被 5整除 - 7 - C a、 b不都能被 5整除 D a不能被 5整除 【考点】 FC：反证法 【分析】 反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的 【解答】 解：由于反证法是命题的否定的 一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证 命题 “a ， b N，如果 ab可被 5整除，那么 a， b至少有 1个能被 5整除 ” 的否定是 “a ， b都不能被 5整除 ” 故选： B 10若关于 x的不等式 |x 1|+|x+m| 3的解集为 R，则实数 m的取值范围是（ ） A（ ， 4） （
15、2， + ） B（ ， 4） （ 1， + ） C（ 4， 2） D 4，1 【考点】 3R：函数恒成立问题 【分析】 由绝对值的意义可得 |x 1|+|x+m|的最小值等于 |1+m|，由题意可得 |1+m| 3，由此解得实数 m的取值范围 【解答】 解：由于 |x 1|+|x+m|表示数轴上的 x对应点到 1和 m的距离之和， 它的最小值等于 |1+m|， 由题意可得 |1+m| 3， 解得 m 2，或 m 4， 故选： A 11设 a= ， b= ， c= ，则 a， b， c的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 【考点】 72：不等式比较大小 【分析】 利用有理化因式和不等式的性质即可得出 【解答】 解： = ， ， ， - 8 - b c = 4， 即 c a 综上可得： b c a 故选： B 12我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，类比上述结论，在棱长为 a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A B C D a 【考点】 F3：类比
