1、 1 金台区 2016-2017学年高二期中质量检测试题（卷） 理科数学 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题 . 满分 150 分，考试时间100分钟 . 第一部分（选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 用反证法证明命题： “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60” 时，假设正确的是 （ ） A. 假设三内角都不大于 60 B. 假设三内角都大于 60 C. 假设三内角至多有一个大于 60 D. 假设 三内角至多有两个大于 60 【答案】 B 【解析】试题分析：由题
2、意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题 “ 三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时，假设应为 “ 三个内角都大于60” ，故选 B 考点：反证法 2. 是一次函数； 的图像是一条直线； 一次函数的图像是一条直线 .写一个 “ 三段论 ” 形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 三段论： y=2x+5 是一次函数； y=2x +5的图象是一条直线； 一次函数的图象是一条直线；大前提是 ，小前提是 ，结论是 故排列的次序应为： ，故选 D. 点睛 ： 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的
3、三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 的所有元素都具有性质 ， 是 的子集，那么 中所有元素都具有性质 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一 种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确2 的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论 3. 下图中阴影部分的面积用定积分表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意积分区间为
4、，对应的函数为 ， ， 阴影部分的面积用定积分表示为 ，故选 B. 4. 命题甲： 在区间 内递增；命题乙：对任意 ，有 .则 甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】 B 【解析】 命题乙：对任意 ，有 ，可得 在区间 内递增，即乙 ?甲反之不成立，例如取 满足 因此，在 内单调递增，因此甲是乙的必要不充分条件，故选 B. 5. 一同学在电脑中打出如下若干个圈 :? 若将此若干个圈依此规律继续下去 ,得到一系列的圈 ,那么在前 120个圈中的 的个 数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】 C 【
5、解析】试题分析： 由图像可得 图像所示的圈可以用首项为 2，公差为 1的等差数列表示， 3 前 120个圈中的 的个数即为 ， ，解得 ， 前 120个圈中的 有 个， 故选 D 考点： 等差数列的定义及性质；等差数列前 n项和公式 . 6. 若复数 的实部与虚部互为相反数，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：原式，故选 C. 考点：复数的基本运算 . 7. 利用数学归纳法证明 ? 且 ）时，第二步由 到 时不等式左端的变化是（ ） A. 增加了 这一项 B. 增加了 和 两项 C. 增加了 和 两项，同时减少了这 一项 D. 以上都不对 【答案】 C 【解析
6、】 当 时，左端 ，那么当 时 左端，故第二步由 到 时不等式左端的变化是增加了和 两项，同时减少了这一项，故选 C. 8. 设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范 围为 ，则点 横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】 D 【解析】试题分析：根据导数的几何意义， 点处切线的斜率就是 ，即 ，解得 ，故选 D. 考点：导数的几何意义 9. 函数 在定义域 内可导，其图像如下图所示记 的导函 数为 ，则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由图象可知 在区间 和 上单调递减， 的解集为 ，故选 A. 10. 已知 ，
7、则 等于（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 【答案】 B 【解析】 对函数进行求导可得： ， 将 代入可得 ， 即， 故选 B. 11. 函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图像如下图所示，则函数 在内有（ ）极大值点 . 5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案 】 B 【解析】 如图， 不妨设导函数的零点分别为 ， ， 由导函数的图象可知：当 时， ，为增函数，当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，由此可知，函数 在开区间 内有两个极大值点，分别是当 时和 时函数取得极大值，故选 B. 12. 设 是
8、上的偶函数，当 时， ，且，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C . 点睛 ： 本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算， 不等式的解法等，熟练掌握导数的运算是解题的关键，属于中档题 ； 先根据 可确定 ，进而可得到 在 上递增，结合函数 的奇偶性可确定 在 上是减函数，最后6 根据 可求得答案 . 第二部分（非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分 . 13. 如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为 _； 【答案】 2 【解析】 复数 为为纯虚数， ，解得 ， 故答案为 2. 14. _； 【答案】 【解析】 令 ，画出图象
9、： 由微积分基本定理的几何意义可得： ， 故答案为 . 15. 定义一种运算如下： ，则复数 的共轭复数是 _; 【答案】 【解析】 复数 ，其共轭复数为 ， 故答案为 . 16. 在 中， 是 的中点，则 ，将命题类比到四面体中去，得到一个类比的命题为 _. 【答案】 在四面体 A BCD中， G为 BCD 的重心，则 【解析】 由 “ ” 类比 “ 四面体 ” ， “ 中点 ” 类比 “ 重心 ” 有，由类比可得在四面体 中， 为 的重心，则有 ，故答案为：在四面体 中， 为 的重心，则有 . 7 点睛 : 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理利用类比推理可以得到结论、证明类比结论
10、时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题 ； 由条件根据类比推理，由 “ ” 类比 “ 四面体 ” ， “ 中点 ” 类比 “ 重心 ” ，从而得到一个类比的命题 . 三、解答题：本大题共 4小题，共 66分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在数列 中， ， ，求 、 、 的值，由此猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 【答案】 ，证明见解析 【解析】 试题分析 ： 利用递推式直接求 、 、 ， 猜想数列 an的通项公式为（ ）用数学归纳法证明即可 . 试题解析： a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 猜想 an ，下面用数
11、学归纳法证明： 当 n 1时， a1 ，猜想成立 假设当 n k(k1 ， kN *)时猜想成立，即 ak . 则当 n k 1时， ak 1 ， 所以当 n k 1时猜想也成立， 由 知，对 nN *， an 都成立 点睛 ： 本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题 ； 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确初始值 并验证真假； “ 假设 时命题正确 ” 并写出命题形式； 分析 “ 时 ” 命题是什么，并找出与 “ ” 时命题 形式的差别弄清左端应增加的项； 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设 . 18.
12、设函数 ，其中 .已知 在 处取 得极值 8 （ 1）求 的解析式； （ 2）求 在点 处的切线方程 【答案】 （ 1） f(x) 2x3 12x2 18x 8；（ 2） y 16. 【解析】试题分析：本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需注意的是，函数极值点处的导数等于 0，但导数为 0的点不一定是极值点，是中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能 力 .第一问，求出原函数的导函数，根据 在 处取得极值，得到 ，由此求得 a的值，则函数 的解析式可求；第二问，由第一问得到 ，求得 ， f （ x）在点 处的切线方程可求 试题解析：（ 1） ， ， 又 在
13、 处取得极值， ，解得 ； （ 2） 在 上， 由（ 1）可知 ， ， 切线方程为 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 19. （ 1）求证： . （ 2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213 cos217 sin13cos17 ； sin215 cos215 sin15cos15 ； sin218 cos212 sin18cos12 ； sin2( 18) cos248 sin( 18)cos48 ； sin2( 25) cos255 sin( 25)cos55. 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； 9 根据 的计算
14、结果，将该同学的发现推广为三角恒等式 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） 【解析】 试题分析 ： （ 1）利用分析法进行证明； （ 2） 根据 的计算结果，可得三角恒等式为： ，进而根据 两角差的余弦公式，展开化简后可得答案 . 试题解析： （ 1）证明：要证明 成立， 只需证明 ， 即 ， 即 从而只需证明 即 ,这显然成立 . 这样，就证明了 （ 2） 选择 (2)式，计算如下： sin215 cos215 sin15cos15 1 sin30 1 . 三角恒等式为 sin2 cos2(30 ) sin cos(30 ) . 20. 若函数 ，当 时，函数 有极值 . （ 1）求函数的解析式； （ 2）若方程 有 3个不同的根，求实数 的取值范围 【答案
