1、 1 2016 2017学年度第二学期期中考试 高二数学试题（文） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 . 1. 已知全集 U=R, , ,则 = A. x|xl B. x|1x 2 C. x|0x l D. x| O xl 【答案】 B 【解析】试题分析： ， ， 全集 ， ， ，故选 B. 考点：集合的基本运算及性质 . 2. 复数 ， ，则 A. 1 B. C. D. 【答案 】 A 本题选择 A选项 . 3. 如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数 x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】
2、 由题意可得，该流程图计算的函数为分段函数： ， 2 据此可得指数不等式： ， 求解不等式可得 输入的实数 的取值范围是 . 本题选择 B选项 . 点睛： 在画程序框图时首先要进行结构的选择若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤， 且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构 4. 若 ， 是第三象限的角，则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意 ，因为 是第三象限的角，所以 ， 因此 考点： 1诱导公式； 2同角三角函数的基本关系 5. 某
3、长方体的三视图如右图，长度为 的体对角线在正视图中的投影长度为 ,在侧视图中的投影长度为 ,则该长方体的全面积为 A. B. C. 6 D. 10 【答案】 B 【解析】试题分析：由三视图设长 方体中同一顶点出发的三条棱长为 、 、 ，则有，解方程组得到 ，所以该长方体的面积为，故选 B. 考点： 1、空间几何体的三视图； 2、空间几何体的表面积 . 3 6. 已知对于正项数列 满足 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 正项数列 an满足 am+n=am?an(m,n N?)， a2=9， a1=3， a1+n=a1?an=3an， 数列 an是以 3为首项， 3
4、 为公比的等比数列， an=3n， 本题选择 C选项 . 7. 点 P在边长为 1的正方形 ABCD内部运动，则点 P到此正方形中心点的距离均不超过的概率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由几何概型计算公式可得： 点 P到此正方形中心点的距离均不超过的概率为 . 本题选择 C选项 . 点睛： 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A满足的不等式，在图形中画出事件 A发生的区域，通用公式： P(A)= . 8. 已知 ，则函数 的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C.
5、3 D. 4 【答案】 D 【解析】试题分析：函数 的零点即方程 的根，即4 的根，设 ，作出两函数图像，由图像观察可知有 4个交点，即函数 有 4个零点 考点：函数零点 点评：本题中将函数零点的个数问题转化为方程的根，进而将方程分解为两个函数图像交点个数，函数题目中这种方程的根与函数零点，函数交点的互相转化是常用的思路 9. 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm， 两个直径为 5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降（ ） cm. A. B. C. 2 D. 3 【答案】 B 【解析】 设水位下降 hcm， 则 ， 解得 . 本题选择 B选项 . 10. 函数 ，
6、的图像可能是下列图形中的 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由 可得函数为偶函数，排除 A选项； 且当 时： ，函数单调递增，排除 D选项； ，排除 B选项； 本题选择 C选项 . 5 11. 定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有 成立，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析： ， ， 由 得，令，则 ，所以函数 在 上为减函数，则 ，即 ，即 ，故选 D. 考点： 1、利用导数研究抽象函数的单调性； 2、函数的求导法则 . 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题 .求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论
7、进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；本题通过观察四个选项，联想到函数 ，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论 . 12. 已知条件 条件 且 的一个充分不必要条件是 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 解 得 ?3?xa?1，则：不等式 (x+a)(x+1?a)0的解是 a?1x?a； ，解得： a?1； 若 ?aa?1，则：不等式 (x+a)(x+1?a)0的解是 ?axa?1； ，解得： a?2； a的取值范围是 ?1,2. 本题选择 A选项 . 二、填空 题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .请将答案填在答题
8、卡对应题号的位6 置上 . 13. 在平面直角坐标系中，不等式组 ( 为常数 )表示的平面区 域的面积是 9，那么实数 的值为 _. 【答案】 【解析】试题分析：根据题意，作出约束条件 的可行域，如图，三角形的面积为 ，则 ， 到直线 的距离为 ， 或 (舍 ) ，答案为 . 考点： 1、二元一次不等式的几何意义及可行域； 2、三角形面积公式 . 14. 在 中，已知 分别为 ， ， 所对的边， 为 的面积若向量 满足 ，则 =_ 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，根据向量共线的坐标运算得： 即 ，因为 是三角形的内角，所以 = . 考点：本小题主要考查共线向量的坐标关系、正弦定理、余弦定理
9、和三角形面积公式的应用，考查学生灵活运用公式的能力和运算求解能力 . 点评：向量共线和垂直的坐标运算经常考查，要灵活运用，求出三角函数值求角时要先交代清楚角的范围 . 15. 设抛物线 的焦点为 ，准线为， 为抛物线上一点， ， 7 为垂足 .若直线 的斜率为 ，则 =_； 【答案】 【解析】 F(2,0),准线 l:x=-2,直线 AF 的方 程为 将 代入 得|PF|=|PA|=8. 16. 已知数列 的前 项和构成数列 ，若 ，则数列 的通项公式 _. 【答案】 【解析】试题分析：当 时， ，当 时， ，综上所述， ，故答案为. 考点：数列通项与前 项和之间的关系以及公式 的应用 . 【
10、方法点睛】本题主要考查数列通项与前 项和之间的关系以及公式 的应用，属于难题 .已知 求 的一般步骤：（ 1）当 时，由 求 的值；（ 2）当时，由 ，求得 的表达式；（ 3）检验 的值是否满足（ 2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（ 4）写出 的完整表达式 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（注意： 在试题卷上作答无效 ） 17. 已知 的面积为 ，且满足 ,设 的夹角是 ， （ ）求 的取值范围； （ ）求函数 的最小值 . 【答案】 （ ） ；（ ） . 【解析】本试题主要是借助于向量的数量积公式表示三角不等式，求解三角不等式的
11、运用，以及三角函数给定区间的最值问题。 （ 1）根据已知的向量的数量积公式得到了关于角的三角不等式，结合图像来求解不等式。 （ 2）利用正弦函数的单调性质，整体求解角的 范围，来得到最值的思想。 8 解：（ 1）设 ABC 角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c 由 及 得 -5分 （ 2） -8分 是增函数 又 -11分 当 时， -12 分 18. 已知数列 的前 项和 . （ ） 求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （ ） ；（ ） . 【解析】略 19. 如图，设四棱锥 的底面为菱形，且 ， , . （ ）求证：平面 平面 ； （ ）设 P为 SD
12、的中点 ,求三棱锥 的体积 . 【答案】 （ ）证明见解析；（ 2） . 【解析】试题分析： () 连接 取 的中点 ，连接 、 ，证明 面 ，即可证明平面 平面 ； () 利用转换底面的方法和割补法，即可求出三棱锥 的体积 . 试题解析： （ ）证明：连接 ，取 的中点 ，连接 、 ， ， ， ， ， 9 又四棱锥 的底面为菱形 ,且 ， 是等边三角形， ， 又 ， ， ， ， 面 ，因为 面 ，所以面 面 . （ ） . 考点： 1、线面垂直、面面垂直的判定定理； 2、等积变换求三棱锥体积 . 20. 某高校在 2011年的自主招生考试成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第
13、 1组 75， 80)，第 2 组 80， 85)，第 3组 85， 90)，第 4组 90， 95)，第 5组 95， 100得到的频率分布直方图如图所示 () 分别求第 3， 4， 5 组的频率； () 若该校决定在笔试成绩高的第 3， 4， 5组中用分层抽样抽取 6名学生进入第二轮面试，求第 3， 4， 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试 ? () 在 () 的前提下，学校决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一 名学生被甲考官面试的概率 【答案】 () ； () 人， 人， 人； (). 10 . 试题解析： () 由题设可知，第 组的频率为 ， 第
14、 组的频率为 ， 第 组的频率为 () 第 组的人数为 ， 第 组的人数为 ， 第 组的人数为 因为第 ， ， 组共有 名学生， 所以利用分层抽样在 名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 组： ， 第 组： ，第 组： 所以第 ， ， 组分别抽取 人， 人， 人 () 设第 组的 位同学为 ， ， ， 第 组的 位同学为 ， ，第 组的 位同学为 则从六位同学中抽两位同学有： 共 种可能 其中第 组的 位同学为 ， 至少有一位同学入选的有： 共 种可能， 所以第 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 考点： 1、频率分布直方图及分层抽样方法； 2、古典概型概率公式 . 21. 已知椭圆 C: 的离心率为 ，以椭圆的左顶点 T为圆心作圆T: 设圆 T与椭圆 C交于点 M、 N（如图） .
