1、 2020 年十堰市初中毕业生学业水平考试年十堰市初中毕业生学业水平考试 数学试题数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内 1. 1 4 的倒数是（ ） A. 4 B. 4 C. 1 4 D. 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据倒数的概念进行求解即可 【详解】 1 4 的倒数是 4 故选：A 【点睛】本题考查了倒数的概念，熟知两个
2、数互为倒数，其积为 1 是解题的关键 2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形） ，俯视图是圆， 故选：B 【点睛】本题考查三视图 3.如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点 O若130AOC，则BOD（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角的和差关系求解即可 【详解】解：130AOC， 40BOCAOCAOB， 50BODCODBOC， 故选：C 【点睛】本题考查角度的计算问题弄清角
3、与角之间的关系是解题的关键 4.下列计算正确的是（ ） A. 23 aaa B. 632 aaa C. 3 263 a ba b D. 2 (2)(2)4aaa 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的混合运算法则即可求解 【详解】A. 2 aa不能计算，故错误； B. 633 aaa ，故错误； C. 3 263 a ba b ，故错误； D. 2 (2)(2)4aaa，正确， 故选 D 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则 5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5
4、 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数 【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数 故选：C 【点睛】本题主要考查数据的收集和处理解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析根据众数是在一组数据
5、中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考 虑该店主最应关注的销售数据是众数 6.已知ABCD中，下列条件：AB BC；ACBD；ACBD；AC平分BAD，其中能说明ABCD是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据矩形的判定进行分析即可 【详解】A. ABBC，邻边相等的平行四边形是菱形，故 A 错误； B. ACBD，对角线相等的平行四边形是矩形，故 B 正确； C. ACBD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故 C 错误； D. AC平分BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故 D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了矩
6、形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键 7.某厂计划加工 180 万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的 1.5 倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产 x 万个口罩，则可列方程为（ ） A. 180180 1 1.5 xx xx B. 180180 1 1.5 xx xx C 180180 2 1.5xx D. 180180 2 1.5xx 【答案】A 【解析】 【分析】 根据第一周之后，按原计划的生产时间提速后生产时间+1，可得结果 【详解】由题知： 180180 1 1.5 xx xx 故选：A 【点睛】本题考查了分式方程的实际应
7、用问题，根据题意列出方程式即可 8.如图，点, , ,A B C D在O上，OA BC，垂足为 E若30ADC，1AE ，则BC （ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 OC，根据圆周角定理求得60AOC，在RtCOE中可得 11 22 OEOCOA，可得 OC 的长度，故 CE 长度可求得，即可求解 【详解】解：连接 OC， 30ADC， 60AOC， 在RtCOE中， 1 cos60 2 OE OC ， 11 22 OEOCOA， 11 22 AEOCOA 1AE ， 2OAOC， 3CE OABC，垂足E， 2 3BC ， 故选：D 【点
8、睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键 9.根据图中数字的规律，若第 n 个图中出现数字 396，则n（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于 396，解得n为正整数即成立，否则舍去 【详解】根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为：2 (1)nn，若2 (1)396nn，解得n不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为： 2 1n ，若 2 1396n ，解得n不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：21n，若21396n ，解得n不为正整数，
9、舍去； 下右三角形的数据的规律为：(4)n n ，若(4)396n n，解得18n ，或22n，舍去 故选：B 【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键 10.如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数 1 k y x 和 2 k y x 的图象上，若120BAD，则 1 2 k k （ ） A. 1 3 B. 3 C. 3 D. 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】 据对称性可知，反比例函数 1 k y x ， 2 k y x 的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O如图：作 CMx 轴于 M，DNx
10、 轴于 N连接 OD， OC证明COMODN，利用相似三角形的性质可得答案 【详解】解：根据对称性可知，反比例函数 1 k y x ， 2 k y x 的图象是中心对称图形， 菱形是中心对称图形， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O，,ODOC 如图：作 CMx 轴于 M，DNx 轴于 N连接 OD，OC DOOC， COM+DON=90 ，DON+ODN=90 ， COM=ODN， CMO=DNO=90 ， COMODN， 2 2 2 1 1 1 2 , 1 2 COM ODN k kSCO SODk k 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O
11、,120BAD, 60 ,OCD 90 ,COD tan603, DO CO 3 , 3 CO DO 2 2 2 1 31 , 33 kCO ODk 1 2 3. k k 故选 B 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11.已知 23xy ，则1 24xy_ 【答案】7 【解析】 【分析】 由23xy可得到246xy，然后整体代入124xy计算即可 【详解】解：23xy， 22242 36xy
12、xy ， 1241 67xy ， 故答案为：7 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键 12.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线若3AE ，ABD的周长为 13，则ABC的周长为_ 【答案】19. 【解析】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得2,ACAE ADDC，从而可得答案 【详解】解： DE是AC的垂直平分线3AE ， 26,ACAEADDC 13,ABBDAD ABC的周长ABBCACABBDADAC 13 619. 故答案为：19. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键 13.某校即将举行 30 周年
13、校庆，拟定了, ,A B C D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案） ，将调查结果进行统计并绘制成如下两幅 不完整的统计图若该校有学生 3000 人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案 B 的人数为_ 【答案】1800 【解析】 【分析】 根据条形统计图和扇形统计图可知赞成 C 方案的有 44 人，占样本的22%，可得出样本容量，即可得到赞成方案 B 的人数占比，用样本估计总体即可求解 【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成 C 方案的有 44 人，占样本的22%， 样本容量为：44 22%200（人） ， 赞成方案 B
14、的人数占比为： 120 100%60% 200 ， 该校学生赞成方案 B 的人数为：3000 60% 1800（人） ， 故答案为：1800 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 14.对于实数 ,m n，定义运算 2 *(2)2m nmn若2* 4*( 3)a ，则a_ 【答案】13 【解析】 【分析】 根据给出的新定义分别求出2*a与4*( 3)的值，根据2*4*( 3)a 得出关于 a 的一元一次方程，求解即可 【详解】解： 2 *(2)2m nmn， 2 2222162aaa， 2 43422342 ， 2*4
15、*( 3)a ， 16 242a，解得13a ， 故答案为：13 【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键 15.如图，圆心角为90的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB若阴影部分的面积为( 1)，则AC _ 【答案】2 【解析】 【分析】 本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解 【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为 S1，S2；两块空白分别为 S3，S4，连接 DC，如下图所示： 由已知得：三角形 ABC 为等腰直角三角形，S1+ S2=-1， BC 为
16、直径， CDB=90 ，即 CDAB， 故 CD=DB=DA， D 点为BC 中点，由对称性可知CD与弦 CD 围成的面积与 S3相等 设 AC=BC=x， 则 3412 SSSSS 扇ACB ， 其中 22 90 = 3604 ACB xx S 扇 ， 2 2 4333 11 2224 ACBBCD xx SSSSxxSS ， 故： 22 33 ()1 44 xx SS ， 求解得： 12 2,2xx （舍去） 故答案：2 【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解 16.如图，D 是等边三角形ABC外一点若 8,6BDCD ，连接AD，则AD的最大
17、值与最小值的差为_ 【答案】12 【解析】 【分析】 以 CD 为边向外作等边三角形 CDE，连接 BE，可证得 ECBDCA 从而得到 BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论 【详解】解：如图 1，以 CD 为边向外作等边三角形 CDE，连接 BE， CE=CD，CB=CA，ECD=BCA=60 ， ECB=DCA， ECBDCA（SAS） ， BE=AD， DE=CD=6，BD=8， 8-6BE8+6， 2BE14， 2AD14 则AD的最大值与最小值的差为 12 故答案为：12 【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把 AD 转化为 B
18、E 从而求解，是一道较好的中考题 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分）分） 17.计算： 1 0 1 | 2| 2020 2 【答案】1 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂，绝对值的运算，0 次幂分别计算出每一项，再计算即可 【详解】解： 1 0 1 | 2| 2020 2 22 1 1 【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0 次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键 18.先化简，再求值： 22 22 1 244 abab abaabb ，其中33,3ab 【答案】 b ab ，3 【解析】 【分析】 利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式
19、化简成 b ab ，再将 a、b值代入化简后的分式中即可得出结论 详解】解：原式 2 1 2 2 ababab ab ab 2 2 1 2 abab ababab 2 1 ab ab b ab ， 当33,3ab时，原式 3 3 333 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键 19.如图， 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角一般要满足5075 ， 现有一架长为6m的梯子， 当梯子底端离墙面2m时， 此时人是否能够安全使用这架梯子 （参 考数据：sin500.77,cos500.64 ，sin750.97,cos750.26 ）？ 【答案】当
20、梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子 【解析】 【分析】 分别求出当50时和当75时梯子底端与墙面的距离 AC 的长度，再进行判断即可 【详解】解：当50时，cos500.64 6 ACAC AB ，解得3.84mAC ； 当75时，cos750.26 6 ACAC AB ，解得1.56mAC ； 所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m3.84m之间，故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键 20.某校开展“爱国主义
21、教育”诵读活动，诵读读本有红星照耀中国 、 红岩 、 长征三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同 （1）小文诵读长征的概率是_； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 1 3 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解 【详解】 （1）P（小文诵读长征 ）= 1 3 ； 故答案为： 1 3 ； （2）依题意画出树状图如下： 故 P（小文和小明诵读同一种读本）= 31 93 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图 21.已
22、知关于 x 的一元二次方程 2 4280 xxk有两个实数根1 2 ,x x （1）求 k 的取值范围； （2）若 33 1212 24x xx x，求 k 的值 【答案】(1) 2k ；(2) =3k 【解析】 【分析】 (1)根据0建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为 2 121212 ()224 x xxxx x ，再结合韦达定理求解即可 【详解】解：(1)由题意可知， 2 ( 4)4 1 ( 28)0 k， 整理得：16+8320k， 解得：2k ， k的取值范围是：2k 故答案为：2k (2)由题意得： 332 1212121212 ()224 x xx xx xxx
23、x x， 由韦达定理可知： 12 +=4xx， 12 28 x xk， 故有： 2 ( 28) 42( 28)24 kk， 整理得： 2 430kk， 解得： 12 =3,1kk， 又由(1)中可知2k ， k的值为=3k 故答案为：=3k 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时， 方程没有实数根 22.如图，AB为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，AD与过点 C 的切线垂直，垂足为 D，AD交半圆 O 于点 E （1）求证：AC平分DAB； （2）若2
24、AEDE，试判断以, ,O A E C为顶点的四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析 【解析】 【分析】 (1)连接 OC，由切线的性质可知COD=D=180 ，进而得到 OCAD，得到DAC=ACO，再由 OC=OA 得到ACO=OAC，进而得到DAC=OAC 即可证明； (2) 连接 EC、BC、EO，过 C 点作 CHAB 于 H 点，先证明DCE=CAE，进而得到 DCEDAC，再由 AE=2DE 结合三角函数求出EAC=30 ，最后证明 EAO 和 ECO 均为等边三角形即可求 解 【详解】解：(1)证明：连接 OC，如下图所示： CD 为圆 O
25、的切线，OCD=90 ， D+OCD=180 ， OCAD， DAC=ACO， 又 OC=OA， ACO=OAC， DAC=OAC， AC 平分DAB (2) 四边形 EAOC 为菱形，理由如下： 连接 EC、BC、EO，过 C 点作 CHAB 于 H 点，如下图所示， 由圆内接四边形对角互补可知，B+AEC=180 ， 又AEC+DEC=180 ， DEC=B， 又B+CAB=90 ， DEC+DCE=90 ， CAB=DCE， 又CAB=CAE， DCE=CAE，且D=D， DCEDAC， 设 DE=x，则 AE=2x，AD=AE+DE=3x， CDDE ADCD ， 22 =3CDAD
26、DEx， = 3CDx， 在 Rt ACD 中， 33 tan= 33 DCx DAC ADx ， DAC=30 ， DAO=2DAC=60 ，且 OA=OE， OAE 为等边三角形， 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：EOC=2EAC=60 ， EOC 为等边三角形， EA=AO=OE=EC=CO， 即 EA=AO=OC=CE， 四边形 EAOC 为菱形 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键 23.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过 12 天完成这种设备的出厂价为 1200 元/台，该
27、企业第一天生产 22 台设备，第二天开始，每天比前一天多生产 2 台若干天后，每台设备的生产成本 将会增加，设第 x 天（x 为整数）的生产成本为 m（元台） ，m 与 x 的关系如图所示 （1）若第 x 天可以生产这种设备 y 台，则 y 与 x 的函数关系式为_，x 的取值范围为_； （2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于 10800 元的天数 【答案】 （1）y=220 x；112x （2）第 6 天时，该企业利润最大，为 12800 元. （3）7 天 【解析】 【分析】 （1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中 x 的取值范围要使实
28、际问题有意义； （2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可； （3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答 【详解】 （1）根据题意，得 y 与 x 的解析式为：y=22+21 =220 xx（112x） （2）设当天的当天的销售利润为 w 元，则根据题意，得 当 1x6 时， w=（1200-800） （2x+20）=800 x+8000， 8000，w 随 x 的增大而增大， 当 x=6 时，w最大值=800 6+8000=12800 当 6x12 时， 易得 m 与 x 的关系式：m=50 x+500 w=1200-（50 x+500） （2x+20） =-100 x
29、2+400 x+14000=-100（x-2）2+14400 此时图象开口向下，在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，天数 x 为整数， 当 x=7 时，w 有最大值，为 11900 元， 1280011900， 当 x=6 时，w 最大，且 w最大值=12800 元， 答：该厂第 6 天获得的利润最大，最大利润是 12800 元 （3）由（2）可得， 1x6 时， 8008000 10800 x 解得：x3.5 则第 1-3 天当天利润低于 10800 元， 当 6x12 时， 2 01002114008040 x（） 解得 x-4（舍去）或 x8 则第 9-12 天当天利润低于 1080
30、0 元， 故当天销售利润低于 10800 元的天数有 7 天 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论 24.如图 1，已知ABCEBD，90ACBEDB，点 D 在AB上，连接CD并延长交AE于点 F （1）猜想：线段AF与EF的数量关系为_； （2）探究：若将图 1 的EBD绕点 B 顺时针方向旋转，当CBE小于180时，得到图 2，连接CD并延长交AE于点 F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展：图 1 中，过点 E 作EGCB，垂足为点 G当ABC的大小发生变化，其它条件不变
31、时，若EBGBAE，6BC ，直接写出AB的长 【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12 【解析】 【分析】 (1) 延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，证明 ACF EDG，进而得到 GEF 为等腰三角形，即可证明 AF=GE=EF； (2)证明原理同(1)，延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，证明 ACF EDG，进而得到 GEF 为等腰三角形，即可证明 AF=GE=EF； (3)补充完整图后证明四边形 AEGC 为矩形，进而得到ABC=ABE=EBG=60 即可求解 【详解】解：(1)延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接
32、GE，如下图所示 ABCEBD， DE=AC，BD=BC， CDB=DCB，且CDB=ADF， ADF=DCB， ACB=90 ， ACD+DCB=90 ， EDB=90 ， ADF+FDE=90 ， ACD=FDE， 又延长 DF 使得 FG=DC， FG+DF=DC+DF， DG=CF， 在 ACF 和 EDG 中， ACED ACFEDG CFDG ， ACF EDG(SAS)， GE=AF，G=AFC， 又AFC=GFE， G=GFE GE=EF AF=EF， 故 AF 与 EF 的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF； (2)仍旧成立，理由如下： 延长 DF 到 G 点，并
33、使 FG=DC，连接 GE，如下图所示 设 BD 延长线 DM 交 AE 于 M 点， ABCEBD， DE=AC，BD=BC， CDB=DCB，且CDB=MDF， MDF=DCB， ACB=90 ， ACD+DCB=90 ， EDB=90 ， MDF+FDE=90 ， ACD=FDE， 又延长 DF 使得 FG=DC， FG+DF=DC+DF， DG=CF， 在 ACF 和 EDG 中， ACED ACFEDG CFDG ， ACF EDG(SAS)， GE=AF，G=AFC， 又AFC=GFE， G=GFE GE=EF， AF=EF， 故 AF 与 EF 的数量关系为：AF=EF. 故答案
34、为：AF=EF； (3)如下图所示： BA=BE， BAE=BEA， BAE=EBG, BEA=EBG， AE/CG， AEG+G=180 ， AEG=90 ， ACG=G=AEG=90 ， 四边形 AEGC 为矩形， AC=EG，且 AB=BE， Rt ACBRt EGB(HL)， BG=BC=6，ABC=EBG， 又ED=AC=EG，且 EB=EB， Rt EDBRt EGB(HL)， DB=GB=6，EBG=ABE， ABC=ABE=EBG=60 ， BAC=30 ， 在 Rt ABC 中由 30 所对的直角边等于斜边的一半可知： 212ABBC 故答案为：12 【点睛】本题属于四边形的
35、综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长 DF 到 G 点并使 FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线 25.已知抛物线 2 2yaxaxc过点1,0A 和0,3C，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D （1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标； （2）如图 1，E 为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为 F，EMx轴，垂足为 M，交BC于点 G当BGCF时，求EFG的面积； （3）如图 2，AC与BD的延长线交于点 H，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 P，使OPBAHB？若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由 【
36、答案】 （1） 2 yx2x3 ， (1,4)D； （2）1 EFG S； （3）存在， 1(0,3), P 2 15 55 , 22 P , 3 15 55 , 22 P 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求出 a 的值即可得到解析式，进而得到顶点 D 坐标； （2）先求出 BC 的解析式3yx ，再设直线 EF 的解析式为yxb,设点 E 的坐标为 2 ,23mmm ，联立方程求出点 F，G 的坐标，根据 22 BGCF列出关于 m 的方程并求解，然后求得 G 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3） 过点 A 作 ANHB， 先求得直线 BD， AN 的解析式， 得到 H，
37、N 的坐标， 进而得到45H ， 设点 2 ,23p nnn ， 过点 P 作 PRx 轴于点 R， 在 x 轴上作点 S 使得 RS=PR， 证明OPSOPB， 根据相似三角形对应边成比例得到关于 n 的方程，求得后即可得到点 P 的坐标 【详解】 （1）把点 A（-1，0） ，C（0，3）代入 2 2yaxaxc中， 20 3 aac c ， 解得 1 3 a c ， 2 23yxx ， 当1 2 b x a 时，y=4， (1,4)D （2） 2 23yxx 令0,1,yx 或 x=3 (3,0)B 设 BC 的解析式为(0)ykxbk 将点(0,3),(3,0)CB代入，得 3 30
38、b kb ， 解得 1 3 k b ， 3yx EFCB 设直线 EF 的解析式为yxb,设点 E 的坐标为 2 ,23mmm ， 将点 E 坐标代入yxb中，得 2 3bmm ， 2 3yxmm 2 3 3 yx yxmm 2 2 2 6 2 mm x mm y 22 6 , 22 mmmm F 把 x=m 代入3yx ( ,3)G mm BGCF 22 BGCF 即 22 22 22 (3)(3) 22 mmmm mm 解得 m=2 或 m=-3 点 E 是 BC 上方抛物线上的点 m=-3 舍去 点 (2,3),(1,2)(2,1)EFG， 22 112EF 22 112FG 1 221
39、 2 EFG S （3）过点 A 作 ANHB， 点 (1,4),(3,0)DB 26 DB yx 点( 1,0)A ，点 (0,3)C 33 AC yx 3 26 yx yx 3 5 24 5 x y 3 24 , 55 H 设 1 2 AN yxb，把（-1，0）代入，得 b= 1 2 11 22 yx 11 22 26 yx yx 11 5 8 5 x y 11 8 , 5 5 N 22 2 118 1 55 AN 22 168 55 22 2 5 8 5 16 HN ANHN 45H 设点 2 ,23p nnn 过点 P 作 PRx 轴于点 R，在 x 轴上作点 S 使得 RS=PR 45RSP 且点 S 的坐标为 2 33,0nn 若45OPBAHB 在OPS和OPB中， POSPOB OSPOPB OPSOPB OPOS OBOP 2 OPOB OS 2222 (1) (3)323)nnnnn （ 0n 或 15 2 n 1(0,3) P 2 15 55 , 22 P 3 15 55 , 22 P 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第 3 问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解
