1、 四川省凉山州四川省凉山州 2020 年中考数学试题年中考数学试题 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（1）2020等于（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据负数的偶次方是正数可以解答 【详解】 （1）2020=1， 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1 的奇次方是-1，-1 的偶次方是 1，是常考题型 2.如
2、图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答 【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、正方体的左视图是矩形（正方形） ，不符合题意 故选：B 【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题 3.点2,3A关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A. 2, 3 B. 2, 3 C. 2,3 D. 2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面直角
3、坐标系内，对称坐标的特点即可解答. 【详解】关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数 点2,3A关于 x 轴对称的点的坐标是（2，-3） 故选 B 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于 y 轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数. 4.已知一组数据 1，0，3，-1，x，2，3 的平均数是 1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1 和 3 D. 1 和 3 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据平均数的定义求出 x 的值，再根据众数的定义解答即可 【详解】解：由题意，得：1
4、 0 3 12 3 1 7x ，解得：1x， 所以这组数据的众数是：1 和 3 故选：C 【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键 5.一元二次方程 x2=2x 的解为（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=0 或 x=2 D. x=0 且 x=2 【答案】C 【解析】 【详解】 2 20,xx 20,x x 0 x或 20,x 1 0,x 2 2.x 故选 C. 6.下列等式成立的是（ ） A. 819 B. 5252 C. 1 1 ()2 2 D. 0 (tan451)1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的
5、三角函数值即可求解 【详解】A. 819 ，故错误； B.5252 ，故错误； C. 1 1 ()2 2 ，正确； D.tan451 1 10 ， 0 (tan451)无意义； 故选 C 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值 7.已知一次函数 y =（2m+1）x+m-3 的图像不经过第二象限，则 m 的取值范围（ ） A. m- 1 2 B. m3 C. - 1 2 m3 D. - 1 2 m3 【答案】D 【解析】 【分析】 一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况. 【详解】当函数
6、图象经过第一，三，四象限时， 21 0 30 m m ，解得： 1 2 m3. 当函数图象经过第一，三象限时， 21 0 3 0 m m ，解得 m3. 1 2 m3. 故选 D. 【点睛】一次函数的图象所在的象限由 k，b 的符号确定：当 k0，b0 时，函数 ykxb 的图象经过第一，二，三象限；当 k0，b0 时，函数 ykxb 的图象经过第一，三，四象限；当 k0，b0 时，函数 ykxb 的图象经过第一，二，四象限；当 k0，b0 时，函数 ykxb 的图象经过第二，三，四象限.注意当 b0 的特殊情况. 8.点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点若线段12A
7、Bcm，则线段 BD 的长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 8cm 或 10cm D. 2cm 或 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意作图，由线段之间的关系即可求解 【详解】如图，点 C 是线段 AB 的中点， AC=BC= 1 2 AB=6cm 当 AD= 2 3 AC=4cm 时，CD=AC-AD=2cm BD=BC+CD=6+2=8cm； 当 AD= 1 3 AC=2cm 时，CD=AC-AD=4cm BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选 C 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系 9.下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆
8、上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案 【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故 A 错误； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故 B 错误； C、圆的切线垂直于过切点的半径，故 C 错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故 D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行
9、判断 10.如图所示，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，取格点 E，连接 BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格点 E，连接 BE， 由题意得：90AEB ， 2BE ， 22 = 2 +2 =2 2AE ， 21 tan= 2 2 2 BE A AE 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键 11.如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于O，则:AD AB （ ）
10、A. 2 2:3 B. 2 :3 C. 3:2 D. 3:2 2 【答案】B 【解析】 分析】 过点 O 作OMBC，ONAD，设圆的半径为 r，根据垂径定理可得 OBM 与 ODN 是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果 【详解】如图，过点 O 作OMBC，ONAD，设圆的半径为 r， OBM 与 ODN 是直角三角形，ODOBr， 等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于O， 30OBM,45ODNDON ， 2 tan 45 2 DNODr ， 3 cos30 2 BMOBr ， 22ADDNr ， 2= 3BCBMr ， :23r23rAD AB 故答案选 B 【点睛
11、】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键 12.二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，有如下结论：0abc ；20ab；320bc； 2 ambmab（m 为实数） 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的对称轴公式即可对进行判断；由抛物线的开口方向可判断 a，结合抛物线的对称轴可判断 b，根据抛物线与 y 轴的交点可判断 c，进而可判断；由图象可得：当 x=3 时，y0，即 9a+3b+c 0，结合的结论可判断；由于当 x=1 时，二次函数 y
12、取最小值 a+b+c，即 2 ambmcabc（m 为实数） ，进一步即可对进行判断，从而可得答案 【详解】解：抛物线的开口向上，a0， 抛物线的对称轴是直线 x=1，1 2 b a ， b0，20ab，故正确； 抛物线与 y 轴交于负半轴，c0， 0abc ，故正确； 当 x=3 时，y0，9a+3b+c0， 1 2 ab ， 9 30 2 bbc， 整理即得：320bc，故正确； 当 x=1 时，二次函数 y 取最小值 a+b+c， 2 ambmcabc（m 为实数） ，即 2 ambmab（m 为实数） ，故正确 综上，正确结论的个数有 4 个 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象
13、与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 第第卷（共卷（共 90 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.函数1yx中，自变量 x 的取值范围是_ 【答案】x1. 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】由于二次根式需要有意义,则 x+10,x1. 故答案为 x1. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识. 14.因式分解： 32 aab =_. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 分析：本题考查的是提
14、公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为 a(a+b)(a-b). 15.如图，ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O，/OE AB交 AD 于点 E，若 OA=1，AOE的周长等于 5，则ABCD的周长等于_ 【答案】16 【解析】 【分析】 根据已知可得 E 为 AD 的中点，OE 是 ABD 的中位线，据此可求得 AB，根据 OA=1，AOE的周长等于 5，可求得具体的结果 【详解】四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 是对角线， O 为 BD 和 AC 的中点， 又/OE AB， OEAB，2ABOE，E 为 AD 的中点， 又OA
15、=1，AOE的周长等于 5， AE+OE=4， 2248ADABAEOE， ABCD的周长=22816ADAB 故答案为 16 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键 16.如图，点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面 3 2 ，则半圆的半径 OA 的长为_ 【答案】3. 【解析】 【分析】 如图，连接,OC OD CD 证明/ /,CDAB再证明 3 2 OCD SS 阴影扇形 =，从而可以列方程求解半径 【详解】解：如图，连接,OC OD CD 点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点， 60 ,AOCCODDOB ,OCOD
16、 COD为等边三角形， 60 ,OCD ,AOCDCO / /,CDAB , CODBCD SS 3 2 OCD SS 阴影扇形 =， 2 603 , 3602 OA 解得：3,OA （负根舍去） ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键 17.如图，矩形 OABC 的面积为 3，对角线 OB 与双曲线( 0,0) k ykx x 相交于点 D，且 :53OB OD ：，则 k 的值为_ 【答案】 27 25 【解析】 【分析】 过 D 作 DMOA 于 M，DNOC 于 N，设 D 的坐标是（x
17、，y） ，根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出 DM 3 5 AB，DN 3 5 BC，代入矩形的面积即可求出答案 【详解】过 D 作 DMOA 于 M，DNOC 于 N， 设 D 的坐标是（x，y） ， 则 DMy，DNx， OB：OD5：3，四边形是 OABC 矩形， BAO90 ， DMOA， DMBA， ODMOBA， 3 5 DMOD ABOB ， DM 3 5 AB， 同理 DN 3 5 BC， 四边形 OABC 的面积为 3， AB BC3， DM DNxy 3 5 AB3 5 BC 9 25 3 27 25 ， 即 kxy 27 25 故答案为： 27 25 【点睛】本题
18、主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出 DM 3 5 AB 和 DN 3 5 BC 是解此题的关键 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 18.解方程： 221 1 23 xx x 【答案】 2 7 x 【解析】 【分析】 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，依此即可求解 【详解】
19、解： 221 1 23 xx x 63262 21xxx 6366 42xxx 6346 6 2xxx 72x 2 7 x 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是 为使方程逐渐向 xa 形式转化 19.化简求值： 2 (23)(23)(2)4(3)xxxx，其中2x 【答案】 2 31x ，5 【解析】 【分析】 利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将2x 代入求值即可 【详解】原式= 22 (49)(44)412xxxx =
20、 22 4944412xxxx = 2 31x 将2x 代入得 3 2-1=5 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键 20.如图， ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC120mm，高 AD80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm 【答案】48mm 【解析】 【分析】 设正方形的边长为 x，表示出 AI 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解 【详解】设正方形的边长为 x mm， 则 AIADx80 x， EFHG 是正方形，
21、 EFGH， AEFABC， EFAI BCAD , 即 80 12080 xx ， 解得 x48 mm， 这个正方形零件的边长是 48mm 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 21.某校团委在“五 四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校 20 个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取 A、B、C、D 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两 幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A 班 D
22、班各有一件、B 班 C 班各有两件作品获得一等奖现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率 【答案】 （1）24；150 （2）见解析（3） 13 15 【解析】 【分析】 （1）根据 B 班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的 4 个班共征集的作品件数，再求出 C 班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据 C 班的作品数量即可补全统计图； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解 【详解】 （1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品为 6 25%=24 套， C 班的作品数量为 24-4-6-4=10 套，
23、故 C 班的扇形的圆心角的度数为 150 故答案为 24；150 ； （2）C 班的作品数量为 10 套， 故补全条形统计图如下： （3）依题意可得到树状图： P（抽取的作品在两个不同班级）= 2613 3015 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的 概率也考查了统计图 22.如图，AB 是半圆 AOB 的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分BAC交半圆于点 D，过点 D 作DHAC与 AC 的延长线交于点 H （1）求证：DH 是半圆切
24、线； （2）若2 5DH ， 5 sin 3 BAC，求半圆的直径 【答案】 （1）见详解； （2）12 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，先证明 ODAH，然后根据 DHAH，可得 ODDH，即可证明； （2）过点 O 作 OEAH 于 E，由（1）知，四边形 ODHE 是矩形，可得 OE=DH=2 5， 在 Rt AOE 中，根据 sinBAC= 5 3 ，sinBAC= OE OA ，可得 AO= sin OE BAC =2 5 3 5 =6，即可求出直径 【详解】 （1）连接 OD， OA=OD， OAD=ODA， AD 平分BAC ， CAD=OAD， CAD=ODA， ODAH
25、， DHAH， ODDH， DH 是半圆的切线； （2）过点 O 作 OEAH 于 E，由（1）知，四边形 ODHE 是矩形， OE=DH=2 5， 在 Rt AOE 中， sinBAC= 5 3 ，sinBAC= OE OA ， AO= sin OE BAC =2 5 3 5 =6， AB=2OA=12， 半圆的直径长为 12 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键 23.关于 x 的不等式组 23(3) 1 32 4 xx x xa 有四个整数解，则 a 的取值范围是_. 【答案】-11 4 a- 5 2 【解析】 【
26、分析】 解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出 a 的范围 【详解】 2331 32 4 xx x xa 解不等式得，x8； 解不等式得，x2-4a； 不等式组的解集为 8x2-4a. 不等式组有 4 个整数解， 122-4a13， - 11 4 a- 5 2 24.如图，矩形 ABCD 中，AD=12，AB=8，E 是 AB 上一点，且 EB=3，F 是 BC 上一动点，若将EBF沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距为 【答案】10. 【解析】 【分析】 如图1，连接,ED PD利用三角形三边之间的关系得到PD最短时P的位置，如图2
27、利用勾股定理计算ED，从而可得答案 【详解】解：如图1，连接,ED PD 则EPPDED， 3EPBE定值， 当P落在ED上时，PD最短， 图1 如图2，连接ED， 由勾股定理得： 22 13,EDAEAD 13 3 10.PDEDPE 即PD的最小值为：10. 故答案为：10. 图2 【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键 25.如图，点 P、Q 分别是等边ABC边 AB、BC 上的动点（端点除外） ，点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发 （1）如图 1，连接 AQ、CP 求证：ABQCAP （
28、2）如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 【答案】 （1）证明见解析； （2）不变；60 ； （3）不变；120 【解析】 【分析】 （1）根据点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发，可得 BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可； （2）由（1）中全等可得CPA=AQB，再由三角形内角和定理即可求得AMP 的度
29、数，再根据对顶角相等可得QMC的度数； （3）先证出CBPACQ，可得Q=P，再由对顶角相等，进而得出QMC=CBP=120 【详解】解： （1）证明：三角形 ABC 为等边三角形， AB=AC，ABC=CAB=60 ， 点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发， BQ=AP， 在 ABQ 与 CAB 中， ABAC ABCCAB BQAP ABQCAP SAS （2）角度不变，60 ，理由如下： ABQCAP CPA=AQB， 在 AMP 中， AMP=180 -（MAP+CPA）=180 -（MAP+AQB）=ABC=60 ， QMC=AMP=60 ， 故QMC 的度数不变
30、，度数为 60 （3）角度不变，120 ，理由如下： 当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时， 有 AP=BQ，BP=CQ ABC=BCA=60 ， CBP=ACQ=120 ， BCAC CBPACQ BPCQ CBPACQ SAS Q=P， QCM=BCP， QMC=CBP=120 ， 故QMC 的度数不变，度数为 120 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键 26.如图，已知直线 5lyx ： （1）当反比例函数(0,0) k ykx x 的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求 k 的取值范围
31、 （2）若反比例函数(0,0) k ykx x 的图象与直线l在第一象限内相交于点 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，当 21 3xx时，求 k 的值并根据图象写出此时关的不等式5 k x x 的解集 【答案】 （1） 25 0 4 k； （2）4k ；01x或4x； 【解析】 【分析】 （1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于 0，可得答案； （2）根据韦达定理，可得方程两根关系，结合 21 3xx，即可求出 k 的值；进而求出点 A、B 的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集 【详解】解： （1）5yx 与(0,0) k ykx x 的图像在
32、第一象限内至少有一个交点， 令5 k x x ，则 2 50 xxk， 254 ( 1) ()0k ， 25 4 k ； k 的取值范围为： 25 0 4 k； （2）由（1）得 2 50 xxk， 12 5xx， 12 xxk， 22 121212 ()()4xxxxxx 21 3xx， 25 49k， 4k ； 2 540 xx， 解得： 1 1x ， 2 4x ， 不等式5 k x x 的解集是：01x或4x； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题 27.如图，O的半径为 R，其内接
33、锐角三角形 ABC 中， A、 B、C所对的边分别是 a、b、c （1）求证：2 sinsinsin abc R ABC （2）若60A，45C， 4 3BC ，利用（1）的结论求 AB 的长和sinB的值 【答案】(1)详见解析;(2)AB=4 2, 26 sin 4 B . 【解析】 【分析】 (1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证. (2)利用(1)中的结论代入求出 AB,在作 BDAC,利用三角函数求出 AC 的值,再根据(1)的结论求出sinB. 【详解】(1) 如图所示,连接 BO 并延长交圆于 A1,连接 A1C,可得 1 90BCA, 1 AA
34、 ,根据三角函数可得 1 1 sinsin 2 BCa AA ABR ,则 2 sin a R A . 同理可得2 sin b R B ,2 sin c R C . 2 sinsinsin abc R ABC . (2)根据(1)结论可得 sinsin ac AC , 4 3aBC , 1 sin 2 A, 2 sin 2 C .将值代入得: 4 3 32 22 c ,解得 4 2c ,即 AB=4 2. 4 3 28 sin3 2 a R A 过点 B 作 BDAC,由题意可得130 ,245 o, AD=AB sin1= 1 4 22 2 2 , AD=BC sin2= 2 4 32 6
35、2 ? . AC=AD+CD=2 2 2 6 . 2 sin b R B 即 2 22 6 8 sinB ,得 2 22 626 sin 84 B . 【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线. 28.如图，二次函数 2 yaxbxc的图象过0 0O( ，)、 0(1 )A ，、 33 , 22 B 三点 （1）求二次函数的解析式； （2）若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交于点 D，求直线 CD 的解析式； （3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作PQx轴，交直线 CD 于 Q，
36、当线段 PQ 的长最大时，求点 P 的坐标 【答案】 （1） 2 2 32 3 33 yxx； （2）y=-3x+3； （3） （- 1 4 ， 5 3 24 ） 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出直线 OB 的解析式为 y= 3 3 x 与线段 OB 的中点 E 的坐标，可设直线 CD 的解析式为 y= 3x+m，再把 E 点代入即可求出直线 CD 的解析式； （3）设 P 的横坐标为 t，先联立直线 CD 与抛物线得到 D 点的横坐标，得到 t 的取值，再得到线段 PQ 关于 t 的关系式，利用二次函数的性质即可求解 【详解】 （1）把0 0O( ，)、0(1
37、 )A ，、 33 , 22 B 代入 2 yaxbxc 得 000 0 393 242 c abc abc 解得 2 3 3 2 3 3 0 a b c 二次函数的解析式为 2 2 32 3 33 yxx； （2）如图，0 0O( ，)， 33 , 22 B 其中点 E 的坐标为 33 , 44 设直线 OB 的解析式为 y=kx 把 33 , 22 B 代入得 33 22 k 解得 k= 3 3 直线 OB 的解析式为 y= 3 3 x， 直线 CD 垂直平分 OB， 可设直线 CD 的解析式为 y=- 3x+m, 把 E 33 , 44 代入得 33 3 44 m 解得 m= 3 直线
38、CD 的解析式为 y=- 3x+3； （3）联立 2 2 32 3 33 33 yxx yx 得到 2 2 32 3 33 33 xxx 解得 x1=- 5 2 ,x2=1， 设 P 的横坐标为 t，则 P（t, 2 2 32 3 33 tt） ， 过点 P 作PQ x 轴，交直线 CD 于 Q， Q（t，- 3t+3） PQ=（- 3t+3）-（ 2 2 32 3 33 tt）=- 2 2 3125 3 () 3424 t 故当 t=- 1 4 时 PQ 有最大值 25 3 24 此时 P 的坐标为（- 1 4 ， 5 3 24 ） 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质
