1、 1 安徽省马鞍山市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题 (本大题共 10 个小题， 每小 题 4分，共 40 分 ) 1一个物体的位移 s (米 )和与时间 t (秒 )的关系为 242s t t? ? ? ，则该物体在 4秒末 的瞬时速度是（ ） A 12米 /秒 B 8米 /秒 C 6米 /秒 D 8米 /秒 2由曲线 2yx= ， 3yx= 围成的封闭图形面积为 （ ） A 712 B 14 C 13 D 112 3 给出下列四个命题：（ 1）若 z C? ，则 2 0z ；（ 2） 2i 1- 虚部是 2i ；（ 3）若 , i ia b a b? ? ?
2、?则 ；(4）若 12,zz，且 12zz ，则 12,zz为实数；其中 正确命题 的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 在复平面内复数 (1 i)(2 i)b+（ i 是虚数单位， b 是实数）表示的点在第四象限，则 b 的取值范围是 （ ） A.b 12? B.b ? 12? C. 12? b 2 D.b 2 5 下面几种推理中是 演绎推理 的为 （ ） A由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； B猜想数列 1 1 1,1 2 2 3 3 4 ? ? ?的通项公式为 1( 1)na nn? ? ()n N?； C半径为 r 圆的面积 2Sr? ，则单位圆的面积
3、 S ? ； D由平面 直角坐标系中圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?，推测空间直角坐标系中球的方程为 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r? ? ? ? ? ? 6. 曲线 2 2yx?在 12x ?点 处 的 切 线的倾斜角为 （ ） A 1 B4?C 34?D 54?7. 已知 0a? ， 0b? ，且 2ab? ，则 （ ） A 12ab? B 12ab? C 223ab? D 222ab? 2 8 ? ?22sin cos dx x x? ? 的值为 （ ） A 0 B 4? C 2 D 4 9函数 ?fx的定义域为 ? ?
4、,ab ，导函数 ?fx? 在 ? ?,ab 内的 图像如图所示，则函数 ?fx在 ? ?,ab 内有极小值点 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 10. 若不等式 22 ln 3x x x ax? ? ? ?对 (0, )x? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ( ,0)? B ? ?,4? C (0, )? D ? ?4,? 二、填空题 (本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20 分 ) 11.若复数 ( 2) 3iza? ? ? (a?R )是纯虚数，则 i1iaa? = . 12函数 2 1( ) 4f x x x?的单调递增区间是 13. 做一个无盖的圆
5、柱形水桶，若要使体积是 27? ，且用料最少，则圆柱的底面半径为 14.在等差数列 ?na 中，若 010?a ，则有 ),19( *192121 Nnnaaaaaa nn ? ?成立， 类比上述性 质，相应的在等比数列 ?nb 中，若 19?b ，则有等式 _ _. 15将全体正整数排成一个三角形数阵： 根据以上排列规律，数阵中第 n ( 3)n? 行的从左到右的第三个数是 _ 三、解答题： (本大题共 5个小题，每小题 8分，共 40 分 ) 16已知 z 1 i是方程 2 0x bx c? ? ? 的一个根 (b， c R) （ ）求 b， c的值； （ ）试证明 z 的共轭复数 z 也
6、是方程的根并求 |z 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . . . 3 17. 已知函数 3( ) 3f x x x? （ ）求函数 ()fx在 33, 2?上的最大值和最小值； （ ）过点 (2, 6)P ? 作曲线 ()y f x? 的切线，求此切线的方程 . 18. 下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论 命题：若 abc? ，且 0abc? ? ? ，则 2 3b aca? ? 4 19. 当 nN? 时， 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nS nn? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1 11 2 3 2nT
7、 n n n n? ? ? ? ? ? ? （ ） 求 1 2 1 2, , ,S S T T ； （ ）猜想 nS 与 nT 的关系，并用数学归纳法证明 . 5 20 已知函数 2( ) lnf x a x x=+（ a 为实常数） （ ） 若 2a=- ，求证：函数 ()fx在 (1, )+? 上是增函数； （ ） 求函数 ()fx在 1,e 上的最小值及相应的 x 值； 6 高二期中考试数学（理科）参考答案 一、选择题 (本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C B D C B 二、填空题 (本大题共
8、5个小题，每小题 4分，共 20分 ) 11 4 3i5- 12 1,2? 13 3 14. ),17( *172121 Nnnbbbbbb nn ? ? 152 62nn?三、解答题： (本大题共 5个小题，每小题 8分，共 40 分 ) 22101 + ( 1 ) 0 ( 2 ) 0 , 202 4216.02i x b x ci b i c b c b ib c bbc? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 方 程 的 根 ，（ ） 即： （分解 ）分， 22- 2 2 0 1 -= 1 - - 2 ( 1 - ) 2 0 , 1 - 7= 1 - 2 8x
9、 x ii i izi? ? ? ?由 方 程 为 的 ， 把 代 入 方 程 的 左 边 得 ，左 边 （ ） 右 边 也 是 方 程 的（ ） （ ）分知根 ，分17. 解：（ ） ( ) 3( 1)( 1)f x x x? ? ?， 当 3, 1)x? ? 或 3(1, 2x? 时， ( ) 0fx? ， 3 3, 1,1, 2? ? ? 为函数 ()fx的单调增区间 当 ( 1,1)x? 时， ( ) 0fx? ， 1,1? 为函数 ()fx的单调减区间 又因为 39( 3 ) 1 8 , ( 1 ) 2 , ( 1 ) 2 , ( )28f f f f? ? ? ? ? ? ? ?
10、?， 所以当 3x? 时， min( ) 18fx ? ， 当 1x? 时， max( ) 2fx ? 4分 （ ）设切点为 30 0 0( , 3 )?Q x x x ，则所求切线方程为 320 0 0 0( 3 ) 3 ( 1 ) ( )? ? ? ? ?y x x x x x 由于切线过点 (2, 6)P ? ， 326 ( 3 ) 3 ( 1 ) ( 2 )x x x x? ? ? ? ? ? ?， 解得 0 0?x 或 0 3?x 所以切线方程为 3 6 2 4 ( 2 )y x y x? ? ? ? ?或 即 7 30xy?或 24 54 0xy? ? ? 8分 18.证明： 解：
11、此命题是真命题 0abc? ? ? ， abc? ， 0a? ， 0c? 要证 2 3b aca? ?成立，只需证 2 3b ac a? ， 2分 即证 223b ac a? ，也就是证 22( ) 3a c ac a? ? ? ， 即证 ( )(2 ) 0a c a c? ? ? 6分 0ac? ， 2 ( ) 0a c a c a b a? ? ? ? ? ? ? ?， ( )(2 ) 0a c a c? ? ? 成立， 故原不等式成立 8分 19.解：（ ）1 111 22S ? ? ?，2 1 1 1 71 2 3 4 1 2S ? ? ? ? ?1 111 1 2T ?，2 1 1
12、72 1 2 2 1 2T ? ? ? 2分 （ ）猜想： *()nnS T n N? 即： 1 1 1 1 1 1 1 1 11.2 3 4 2 1 2 1 2 3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n n n n n n（ n N*） 下面用数学归纳法证明 n=1时，已证 S1=T1 4分 假设 n=k时， Sk=Tk（ k1 ， k N*），即： 1 1 1 1 1 1 1 1 11.2 3 4 2 1 2 1 2 3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k k k 则1 112 1 2 ( 1)? ? ? ?kkSS kk112 1
13、 2( 1)? ? ?kT kk 1 1 1 1 12 3 2 1 1 2 ( 1 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k k 1 1 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 2 2 2 1 2 ( 1 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k k?kT 由 ， 可知，对任意 n N*， Sn=Tn都成立 . 8分 8 20解： （ ）当 2?a 时， xxxf ln2)( 2 ? ， (1, )x? ? ， 22( 1)( ) 0xfx x? ?. 故函数 ()fx在 (1, )? 上是增函数 3分 （ ） 22( ) 0xafx x? ?. 当 1,ex?
14、， 222 2 , 2 e x a a a? ? ? ?. 若 2a - ， ()fx? 在 1,e 上非负（仅当 2a=- ， 1x= 时， ( ) 0fx? ? ）， 故函数 ()fx在 1,e 上是增函数 . 此时， min ( ) (1) 1f x f= 若 22e 2a- - ， 当2ax=-时， ( ) 0fx? ? 当 12ax - 时， ( ) 0fx? ? ， 此时， ()fx是减函数 当 e2a x- 时， ( ) 0fx ，此时， ()fx是增函数 . 故m i n ( ) ( ) l n ( )2 2 2 2a a a af x f= - = - - 若 22ea - ， ()fx? 在 1,e 上非正（仅当时 22ea=- ， ex= 时， ( ) 0fx = ） 故函数 ()fx在 1,e 上是减函数， 此时 2m in ( ) (e ) ef x f a= = + 综上可知，当 2a - 时， ()fx的最小值为 1，相应的 x 的值为 1； 当 22e 2a- - 时， ()fx的最小值为 ln( )2 2 2a a a- 相应的 x 值为2a?； 当 22ea? 时， )(xf 的最小值为 2+ea ，相应的 x 值为 e 8分
