1、 1 福建省福州市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 2017.4.27 第 卷 一、选择题（ 本大题共 10小题 ，每小题 4分，共 40分 .每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1复数321ii?（ i为虚数单位）的共轭复数是 A 2155i? B 2155i? C 2133i? D 2133i? 2. 下列推理过程属于演绎推理的为 A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B由 211? ， 21 3 2? ， 21 3 5 3? ? ? ， ? 得出
2、21 3 5 ( 2 1)nn? ? ? ? ? ? C由三角形的三条中线交于一点联想到四 面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D通项公式形如 ( 0)nna cq cq?的数列 na 为等比数列，则数列 2n? 为等比数列 3. 在 “ 近似替代 ” 中，函数 )(xf 在区间 , 1?ii xx 上的近似值 A.只能是左端点的函数值 )(ixf B.只能是右端点的函数值 )( 1?ixf C.可以是该区间内的任一函数值 ? ? ?iif ? ( , 1?ii xx ） D.以上答案均正确 4.设)f是可导函数，且3)2()(lim 000 ? ? x xxfxxfx，
3、则? )( 0xfA 0 B 12 C 1? D 2? 5.某个自然数有关的命题，如果当 1nk?( *)nN? 时，该命题不成立，那么可推得 nk? 时，该命题不成立现已知当 2016n? 时，该命题成立，那么，可推得 A 2015n? 时，该命题成立 B 2017n? 时，该命题成立 2 C 2015n? 时，该命题不成立 D 2017n? 时，该命题不成立 6.若 45p a a? ? ? ? ， 36q a a? ? ? ?， 0a? ， 则 p 、 q 的大小关系是 A.pq? B.pq? C.pq? D.由 a 的取值确定 7. 函数 3( ) 3f x x x? ? ? 在区间
4、2( 12, )aa? 上有最小值，则实数 a 的取值范围是 A ( 1, 11)? B ( 1,2)? C ( 1,2? D (1,4) 8设 , (0, )ab? ? ，则 1a b? ， 1b a? A都不大于 2 B都不小于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 9下面给出了四个类比推理 ,ab为实数，若 220ab?则 0ab?；类比推出： 1z 、 2z 为复数，若 22120zz?，则120zz? 若数列 na 是等差数列， 12 nn a a ab n? ? ?，则数列 nb 也是等差数列；类比推出：若数列 nc 是各项都为正数的等比数列， nnd? 1 2 3n
5、nnd c c c c? ，则数列 nd 也是等比数列 若 ,abc R? ,则 ( ) ( )ab c a bc? ；类比推出：若 a 、 b 、 c 为三个向量则 ( ) ( )a b c a b c? . 若圆的半径为 a ，则圆的面积为 2a? ；类比推出：若椭圆的长半轴长为 a ，短半轴长为 b ，则椭圆的面积为 ab? 上述四个推理中，结论正确的是 A B C D 10.记 ()()nfx为函数 ()fx的 n ( *)nN? 阶导函数，即 ( ) ( 1)( ) ( )nnf x f x? ? ( 2, *)n n N?若 ( ) cosf x x? ，且集合 () | ( )
6、s i n , * , 2 0 1 7 mM m f x x m N m? ? ? ?，则集合 M中元素的个数为 A 1006 B 1007 C 503 D 504 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 11. 若纯虚数 z 满足 (1 ) 1i z ai? ? ? ，则实数 a 等于 12计算定积分 1 21 ( sin )x x dx? ?= 3 13. 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n（ n N*， n 1）时，由 ( 1)n k k?时，第一步应验证的不等式是 14. 二维空间中，圆的 维测度（周长） 2lr? ；二维测度（面积） 2Sr? ；一维空间中球
7、的二维测度（表面积） 24Sr? ，三维测度（体积） 343Vr? ，应用合情推理 ，若四维空间中，“ 超球 ” 的三维测度 38Vr? ，则其四维测度 W? 三、解答题（本大题共有 3个小题，共 40分 .解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 .） 15（本小题满分 14 分）复数 2(1 ) ( 3 1 0 ) ( 4 9 )z i m i m i? ? ? ? ? ?，（其中 i 为虚数单位，mR? ）， （ 1） 0m?当 时 ，求复数 z 的模； （ 2）当实 数 m 为何值时复数 z 为纯虚数； （ 3）当实数 m 为何值时复数 z 在复平面内对应的点在第二象限？ 16（本小题满
8、分 12 分）设点 P 在曲线 212yx? 上，从原点向 (2,2)A 移动，如果直 线 OP ，曲线 212yx? 及直线 2x? 所围成的阴影部分面积 分 别 记 为1S 、 2S （ ）当 1S = 2S 时，求点 P 的坐标； （ ）当 1S + 2S 有最小值时，求点 P 的坐标和 最小值 17（本小题满分 14分）已知函数 ( ) 2 ln ( 2 ) , ( 0 , f x a x x x e? ? ?， ln( ) , (0 , xg x x ex?，其中 e 是自然对数的底数， aR? . （ ）当 1a? 时，求函数 ()fx的单调区间和极值； （ ）求证：在（ ）的条件
9、下 1( ) ( ) 2f x g x?； 4 （ ）是否存在实数 a ，使 ()fx的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 . 第 卷 四 、选择题（ 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .每题有且只有一个选项是正确的，请 把答案填在答卷相应位置上） 18.若 ? ? ? ?22121 4 , , 3 2z m m m m i m R z i? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 1m? 是 12zz? 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分又不必要条件 19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个
10、，且红包被全部抢光， 4个红包中有两个 2元，两个 3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A 35种 B 24种 C 18种 D 9种 20. 在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 3 2 21( ) ( 1 ) 1 ( )3f x x a x a x a R? ? ? ? ? ?的导函数()y f x? 的图象，则 (1)f 等于 A. 13 B 73 C. 13? D 13? 或 53 21. 已知定义 在 R 上的可导函数 )(xf 满足： )()( xfxf ? 0? ，则122)(?mmemmf 与 )1(f （ e是自然对数的底数）的大小关系
11、A.122)(?mmemmf ? )1(f B.122)( ?mme mmf ? )1(f C.122)(?mmemmf ? )1(f D.不确定 x y O x y O x y ZO x y O 5 五、 填空题 （本大题共 2小题，每小题 5分，共 10分） 22. 51( 2)( 1)xx?展开式中 2x 项的系数是 _.23. 观察下列等 式： 12133? 7 8 10 11 123 3 3 3? ? ? ? 1 6 1 7 1 9 2 0 2 2 2 3 393 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? 则当 mn? 且 ,mn N? 时， 3 1 3 2 3 4 3 5 3
12、2 3 13 3 3 3 3 3m m m m n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=_.（最后结果用,mn表示） 六 、解答题（本大题共有 2个小题，共 24分 .解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程 .） 24. （本小题满分 12 分）某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 3 3 3 1 学校准备从中选 4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记 1分，每选出一名女生，给其所在小组记 2分，若要求被选出的 4人中理科组、文科组的学生都有 . （ ）求理科组恰好记 4分的概率；
13、（ ）设文科组男生被选出的人数为 ? ，求随机变量的分布列 ? 和数学期望 ()E? . 25.（本小题满分 12分） 已知函数 2( ) 2 ln ( 0 )f x x x a x a? ? ? ? （ ）当 1a? 时，试求函数图像过点 (1, (1)f 的切线方程； （ ）当 2a? 时，若关于 x 的方程 ( ) 3f x x b?有唯一实数解，试求实数 b 的取值范围； （ ）若函数 ()fx有两个极值点 1x 、 2x 12()xx? ，且不等式 12()f x m x? 恒成立，试求实数m 的取值范围 . 6 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准 一、选择题（ 本大题共 10小
14、题，每小题 4分，共 40分 .每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1-10 BDCCB ACCDD 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 11. 1 12 23 13. 14. 42r? 三、解答题（本大题共有 3 个小题，共 40 分 .解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 .） 15解：由已知 整理得：22( 3 4 ) ( 1 0 9 )z m m m m i? ? ? ? ? ? ?2 分 （ 1）当 0 4 9m z i? ? ? ?时 ， ， 22= - + 9 = 9 7z? （ 4） ?6 分 （ 2）当 223 4 010
15、9 0mm? ? ? ? ? ? ?， 4191mm? ? ? ? 或即 且， 4m?即 时 ，复数 z 为纯虚数 ? 10分 （ 3）当 223 4 010 9 0mm? ? ? ? ? ? ?， 4119mmm? ? ? ?即 或， 41m? ? ?即 时 ， 复数 z 在复平面内对 应的点在第二象限 ?14 分 16解：（ ）设点 P 的横坐标为 t (0 2)t? ，则 P 点的坐标为 21(, )2tt， 直线 OP 的方程为 12y tx? 231 0 1 1 1()2 2 1 2tS tx x d x t? ? ? ， 2 232 1 1 1 4()2 2 1 2 3tS x t
16、x d x t t? ? ? ? ? ， 因为 1S = 2S ，所以 43t? ，点 P 的坐标为 48( , )39 . ?6 分 （ ） S =1S + 2S = 3112t + 31412 3tt? = 31463tt? 21 12St?，令 0S? 得 21 102t ? ， 2t? 因为 02t? 时， 0S? ； 22t? 时， 0S? yAOPx7 所以，当 2t? 时，min 4 2 23S ?， P 点的坐标为 ( 2,1) ?12 分 17解：（ ）当 1a? 时， 1 2 1( ) 2 , (0 , xf x x exx ? ? ? ? ? ?1 分 当 10 2x?
17、时， ( ) 0fx? ? ，此时 ()fx单调递减； 当 12 xe?时， ( ) 0fx? ? ，此时 ()fx单调递增 . 所以 ()fx的极小值为 1( ) 12f ? 故： ()fx的单调递减区间为 1(0, )2 ，单调递增区间为 1( , 2e ，极小值为 1( ) 12f ? ，无极大值 . ?4 分 （ ）令 1 ln 1( ) ( ) 22xh x g x x? ? ? ?， 21 ln( ) , (0 , xh x x ex? ? ?5 分 当 0 xe?时， ( ) 0hx? ? ，此时 ()hx 单调递增， 所以m a x 1 1 1 1( ) ( ) 12 2 2h x h e e? ? ? ? ? ?， ?7 分 由（ ）知 min( ) 1fx ? ，所以在（ ）的条件下 1( ) ( ) 2f x g x?. ?9 分 （ ）假设存在实数 a ，使 ( ) 2 l n ( 2 ) , ( 0 , f x a x x
