1、 - 1 - 福建省永春县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 120分钟 试卷总分： 150 分 本试卷分第 I卷和第 II卷两部分 第 I卷（选择题，共 60分） 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后， 请把答案填写在答题卡相应位置上 。 1 设全集 U=R，集合 A、 B满足如图所示的关系，且 A= 2 2 3 0 | x x x ? ， 阴影部分表示的集合为 1 | 1xx? ，则集 合 B可以是（ ） A x|1 x 3 B 3|1xx? C 3|1xx? D ? ?
2、3|1xx? 2 i是虚数单位，复数 1 3i1 i的共轭复数是 ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 3 演绎推理 “ 因为对数函数 y logax(a0 且 a1) 是增函数，而函数12logyx?是对数函数，所以12logyx?是增函数 ” 所得结论错误的原因是 ( ) A大前提错误 B小前 提错误 C推理形式错误 D大前提和小前提都错误 4 用反证法证明命题： “ 若 a， b N， ab能被 3整除，那么 a， b中至少有 一个能被 3整除 ”时，假设应为 ( ) A a， b都能被 3整除 B a， b都不能被 3整除 C a， b不都能被 3整除 D a不能
3、被 3 整除 5 若 P a a 7， Q a 3 a 4(a0) ，则 P， Q的大小 关系为 ( ) A PQ B P Q C P12(n1， n N*)的过程中，从 n k 到 n k 1时左边需增加的代数式是 ( ) A 12k 2 B 12k 1 12k 2 C 12k 1 12k 2 D 12k 1 10 已知结论： “ 在正三角形 ABC中，若 D是 BC的中点， G是三角形 ABC的重心，则 AGGD 2” 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 A BCD 中，若 BCD 的中心为M，四面体内部一点 O到四面体各面的距离都相等，则 AOOM等于 ( ) A 1
4、B 2 C 3 D 4 11 设函数()fx的定义域为 R,00( 0)xx?是()fx的极大值点 ,以下结论一定正确的是 ( ) A0, ( ) ( )x R f x f x? ? ?B0x?是?的极小值点 C0x?是 的极小值点 D 是()?的极小值点 12 已知函数 ( 1)y f x?的图象关于点（ -1， 0）对称，且当 )0,(?x 时， ( ) ( )f x xf x? 0?成立，（其中 )()( xfxf 是 的导函数），若 0 .3 0 .3( 3 ) ( 3 ) , ( l o g 3 ) ( l o g 3 )a f b f? ? ? ?， cbafc ,),91( lo
5、 g)91( lo g 33 则? 的大小关系是 ( ) A c a b? B c b a? C abc? D a c b? 第 II卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题 ：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分， 请把答案填在答题卡的横线上 。 13 变速直线运动的物体的速度为 v(t) 1 t2(m/s)(其中 t为时间，单位： s)，则它在前 1 s内所走过的路程为 _m 14. 若函数 f(x) mx2 2x 3只有一个零点，则实数 m的取值是 _ 15 已知函数 f(x) x3 ax2 x 1在 ( ， ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是_ - 3 - 16 图 1是
6、一个由 27个棱长为 1的小正方体组成的魔方，图 2是由棱长为 1的小正方体组成的 5种简单组合体 . 如果每种组合体的个数都有 7个，现从总共 35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成 1 个图 1 所示的魔方，则所需组合体的 序号 和相应的 个数 是 （提示回答形式，如 2个和 3个，只需写出一个正确答案） 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答 。 17 （本小题满分 12分） 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ，其中左焦点为 F( 2,0) （） 求椭圆 C的方程； （）
7、 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 y2 1上，求 m的值 18（本小题满分 12分） 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元（ t 为常数，且 )52 ?t ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元（ 4025 ?x ），根据市场调查，销售量 q 与 xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为 30元时，日销售量为 100公斤 （）求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式； （）若 5?t ，当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元 时，该工厂的利润 y 最大，并求最大
8、值 19（本小题满分 12分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （ 1） 000202 17c o s13s in17c o s13s in ? ； 图 2 图 1 - 4 - （ 2） 000202 15c o s15s in15c o s15s in ? ； （ 3） 000202 12c o s18s in12c o s18s in ? ； （ 4） 000202 48c o s)18s i n (48c o s)13(s i n ? ； （ 5） 000202 55c o s)25s i n (55c o s)25(s i n ? 。 （） 试从上述五
9、个式子中选择一个，求出这个常数； （） 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 20.（本小题满分 12分） 已知函数 f(x) ln(1 x) x k2x2(k0) （） 当 k 2时，求曲线 y f(x)在 点 (1， f(1)处的切线方程； （） 求 f(x)的单调区间 21.（本小题满分 12分） 已知函数 1( ) ( c o s ) ( )xf x e a x a? ? ? ? R. ( )若函数 ()fx存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围； ( )若 0a? ，证明： 1 1, 2x? ? ，总有 ( 1 ) 2 ( ) c o s ( 1 )
10、 0f x f x x? ? ? ? ? ?. 请考生在第 22、 23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号 . 22.（本小题满分 10分）选修 4 4；坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 3,233xtyt? ? ?（ t 为参数），圆 C 的参数方程为 2cos ,2sin ,xy ? ?（ ? 为参数），以坐标原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ( )求直线 l 和圆 C 的极坐标方程； ( )设直线 l 和圆 C 相交于 ,AB两点，求弦 AB 与其所对劣弧所围成的图形面积 - 5 - 23. （本小
11、题满分 10分）选修 4 5；不等式选讲 设 ? ? 2 1 1 .f x x x? ? ? ? ( )解不等式 ? ? 3 4;f x x? ( )对任意的 x ，不等式 ? ? ? ?2 33f x m m x? ? ? ?恒成立，求实数 m 的取值范围 永春一中高二年期中 考数学（理科）试卷 参考答案 （ 2017.04） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D D A B C B C C B C D A 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 23 14 0或
12、13 15. 3， 3 16 4个和 1个 . 三、解答题：（第 22题 10分，其他每题 12分，共 70 分） 17 解 ： （ I） 由题意，得? ca 22 ，c 2，a2 b2 c2，解得 ? a 2 2，b 2. ?（ 4分） 椭圆 C 的方程为 x28y24 1. ?（ 5分） （ II） 设点 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0)， 由? x28y24 1，y x m，消去 y得， 3x2 4mx 2m2 8 0， ?（ 8分） 96 8m20， 2 30；在区间 (0， ) 上， f( x)0. 所以，在区间
13、( 1,0)和 (1 kk ， ) 上， f (x)0；在区间 (0， 1 kk )上， f( x)1时， 由 f( x) x kx k1 x 0，得 x1 1 kk ( 1,0)， x2 0. 所以，在区间 ( 1， 1 kk )和 (0， ) 上， f( x)0；在区间 (1 kk ， 0)上， f( x)0. 故 f(x)的单调递增区间是 ( 1， 1 kk )和 (0， ) ，单调递减区间是 (1 kk ， 0) ?（ 12分） 21 解： ( )由题意得 1( ) ( s i n c o s )xf x e a x x? ? ? ? ? ?， ?（ 1分） 若函数 ()fx存在单调减
14、区间， 则 1( ) ( s i n c o s ) 0xf x e a x x? ? ? ? ? ? ?（ 2分） 即 sin cos 0a x x? ? ? ?存在取值区间，即 2 sin( )4ax?存在取值区间 ?（ 4分） 所以 2a? .?（ 5分） ( )当 0a? 时， 11( ) c o s , ( ) ( s i n c o s )xxf x e x f x e x x? ? ? ? 21( 1 ) 2 ( ) c o s ( 1 ) c o s ( 1 ) 2 2 s i n ( ) 4xxf x f x x x e e x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （
15、 6分） 由 11,2x ?有 31 0 , 0 , 22x ? ? ?，从而 cos( 1) 0x?， 要证原不等式成立，只要证 212 2 s i n ( ) 04xxe e x ? ? ? ?对 ? 21,1x恒成立， ?（ 7分） 首先令 )22()( 12 ? ? xexg x ，由 22)( 12 ? ?xexg ，可知， 当 ),21( ?x 时 )(xg 单调递增，当 )21,( ?x 时 )(xg 单调递减， 所以 0)21()22()( 12 ? ? gxexg x ，有 2212 ? xe x ?（ 9分） 构造函数 )4s in (2222)( ? xxxh ， ? 2
16、1,1x， 因为 )4c o s (222)( ? xxh )4c o s (22(22 ? x， - 9 - 可见 ，在 ? ?0,1?x 时， 0)( ?xh ，即 )(xh 在 ? ?0,1? 上是减函数， 在 ? 21,0x时， 0)( ?xh ，即 )(xh 在 ? 21,0上是增函数， 所以 ,在 ? 21,1上， 0)0()( min ? hxh ，所以 0)( ?xg . 所以， 22)4s in (22 ? xx ? ，等号成立当且仅当 0?x 时 ， ?（ 11分） 综上： 21 2 2 2 2 s i n ( )4xe x x ? ? ? ? ?，由于取等条件不同， 故 21 2 2 s in ( ) 04xex ? ? ? ?，所以原不等式成立 . ?（ 12分） 22解：（
