1、.第二十六章 二次函数 本章知识重点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念 3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质 4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴 5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解 6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题 261 二次函数 本课知识重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义 MM 及创新思维 （1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s
2、（cm2）是多少？ （2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义 实践与探索 例 1 m 取哪些值时，函数 y (m2 m)x2 mx (m 1)是以 x 为自变量的二次函数？ 分 析 若 函 数 y (m2 m)x2 mx (m 1) 是 二 次 函 数 ， 须 满 足 的 条 件 是 ： m2 m 0 解 若函数 y (m2 m)x2 mx (m 1)是二次函数，则 m2 m 0 解得 m 0，
3、且 m 1 因此，当 m 0，且 m 1时，函数 y (m2 m)x2 mx (m 1)是二次函数 回顾与反思 形如 y ax2 bx c 的函数只有在 a 0 的条件下才是二次函数 探索 若函数 y (m2 m)x2 mx (m 1)是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 值？ 例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 1 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周
4、长 x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与 所存年数 x 之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间 的函数关系 解 （1）由题意，得 S 6a2 (a 0) ，其中 S 是 a 的二次函数； x 2 （2）由题意，得 y (x 0) 4 ，其中 y 是 x 的二次函数； （3）由题意，得 y 10000 1.98%x 10000 （x0 且是正整数）， 其中 y 是 x 的一次函数； 1 1 2 （4）由题意，得 S x(26 x) x
5、13x(0 x 26) ，其 中 S 是 x 的二次函 数 2 2 例 3正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余 下的部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积 15 解 （1） S 152 4x2 225 4x2 (0 x )； 2 （2）当 x=3cm 时， S 225 4 32 189 （cm2） 当堂课内练习 1下列函数中，哪些是二次函数？ （1） y x2 0 （2） y (x 2)(x 2) (x 1)2 （3） y 1 x2
6、（4） y x2 2x 3 x 2当 k 为何值时，函数 y (k 1)xk2 k 1为二次函数？ 3已知正方形的面积为 y(cm2 ) ，周长为 x（cm） (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数 本课课外作业 A 组 2 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 1 已知函数 y (m 3)xm 是二次函数，求 m 的 值 2 2 7 2 已知二次函数 y ax ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的 值 2 3 已知一个圆柱的高为 2
7、7，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱 的底面半径 x 为 3，求此时的 y 4 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围 B 组 5对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） Ay (m 1) x By (m 1)2 x2 Cy (m2 1)x2 Dy (m2 1)x 2 2 2 6下列函数关系中，可以看作二次函数y ax2 bx c （a 0 ）模型的是 （ ） A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B我国人口年自然增长率为
8、1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计 空气阻力） D 圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一)知识与技能 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标 (二)过程与方法 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索
9、能力和创新精 神 2通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一 步培养学生的数形结合思想 3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识 (三)情感态度与价值观 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2具有初步的创新精神和实践能力 3 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 教学重点 1体会方程与函数之间的联系 2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 3.理解一元二次方程的根
10、就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标 教学难点 1探索方程与函数之间的联系的过程 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过程 .创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k0)和一次函数 ykx+b(k0)后，讨论了它们 之间的关系当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b0 的解 现在我们学习了一元二次方程 ax 2+bx+c0(a0)和二次函数 yax2+bx+c(a0)，它 们之
11、间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成. 观察：教材 22 页，学生小组交流. 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. .应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围. 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的 联系 2理解了二次函数与 x 轴交点的个数 与一元二次
12、方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的 实根和没有实根. 3.数学方法:分类讨论和数形结合. 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 课后作业 P231.3.5 4 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 262 二次函数的图象与性质（1） 本课知识重点 会用描点法画出二次函数 y ax2 的图象，概括出图象的特点及函数的性质 MM 及创新思维 我们已经知道，一次函数 y 2x 1，反比例函 数 y 3 的图象分别 是
13、 、 x ，那么二次函数 y x2 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 y x 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中 心？ 2 当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数 y x 的图象，你能得出什么结 论？ 2 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有 何共同点？有何不同点？ （1） y 2x （2） y 2x 2 2 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2x 18 8 2 0 2 8 18 2 y 2x -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 2 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是 抛
14、物线，如图 2621 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点 不同点： y 2x2 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对 称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线 自左向右上升 y 2x 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对 2 称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 5 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only
15、. 例 2已知 y (k 2)xk k 是二次函数，且当 x 0时，y 随 x 的增大而 增大 2 4 （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴 k 解 （1）由题意，得 k 2 2 k 0 4 2 ， 解得 k=2 （2）二次函数为 y 4x ，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴 2 例 3已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2 （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S4 cm2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时， 自变
16、量 C 的取值应在取值范围内 1 2 解 （1）由题意，得 S C (C 0) 16 列表： C 2 4 6 8 S 1 16 C 2 1 4 1 9 4 4 描点、连线，图象如图 2622 （2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm （3）根据图象得，当 C8cm 时，S4 cm2 回顾与 反思 （1）此图象原点处为空心点 （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分 当堂课内练习 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标 （1） 1 y 3x （2） y 3
17、x2 （3） y x 2 2 3 2 2（1）函数 y x 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 2 3 1 （2）函数 y x 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 2 4 3已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的 草图 6 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 （1） 1 y 4x2 （2） y 2 x 4 2填空： （1）抛物线 y 5x ，当 x= 时，y 有最 值， 是 2 （2）当
18、 m= 时，抛物线 y m m (m 1)x 开口向下 2 （3）已知函数 y 是二次函数，它的图象开口 ，当 x 时，y (k 2 k)xk2 2k1 随 x 的增大而增大 3已知抛物线 y kxk k 中，当 x 0时，y 随 x 的增大而增 大 2 10 2 10 （1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图） 4已知抛物线 y ax 经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的 值 2 B 组 5底面是边长为 x 的正方形，高为 05cm 的长方体的体积为 ycm3（1）求 y 与 x 之间 的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的
19、值； （4）根据图象，求出 x 取何值时，y45 cm3 6二次函数 y ax 与直线 y 2x 3交于点 P（1， b） 2 （1）求 a、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 7 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2） （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出MON 的面积 本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（2） 本课知识重点 会画出 y ax2 k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 MM 及创新思维
20、同学们还记得一次函数 y 2x 与 y 2x 1的图象的关系吗？ 7 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. ，你能由此推测二次函数 y x2 与 y x2 1的图象之间的关系吗？ ，那么 y x2 与 y x2 2 的图象之间又有何关系？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出函数 y 2x 与 y 2x2 2的图 象 2 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2x 18 8 2 0 2 8 18 2 y 2x2 2 20 10 4 2 4 10 20 描点、连线，画出这两个函数的
21、图象，如图 2623 所示 回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些 不同？你能由此说出函数 y 2x2 与 y 2x2 2 的图象之间的关系吗？ 例 2在同一直角坐标系中，画出函数 y x2 1与 y x2 1的图象，并说明，通 过 怎样的平移，可以由抛物线 y x2 1得到抛物线 y x2 1 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 8 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Soft
22、ware For evaluation only. y 2 1 -8 -3 0 1 0 -3 -8 x y 2 1 -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 x 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 2624 所示 可以看出，抛物线 y x2 1是由抛物线 y x2 1向下平移两个单位得到的 回顾与反思 抛物线 y x2 1和抛物线 y x2 1分别是由抛物线 y x2 向 上、向 下平移一个单位得到的 探索 如果要得到抛物线 y x2 4 ，应将抛物线 y x2 1作怎样的平移？ 例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与 1 y x 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经 过 2 2 点（1，
23、1），求这条抛物线的函数关系式 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作 y ax2 2(a 0) ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，1 a 12 2， 解得 a 3 故所求函数关系式为 y 3x2 2 回顾与反思 y ax2 k （a、k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ax2 k a 0 a 0 9 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 当堂课内练习 1 在同一直角坐标
24、系中，画出下列二次函数的图象： 1 1 2 1 2 y x ， y x 2 ， y x 2 2 2 2 2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置你能说 1 出抛物线 y x2 k 2 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 1 2 2抛物线 y x 9 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可 4 1 以看作是由抛物线 y x2 向 平移 个单位得到的 4 3函数 y 3x2 3 ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函 数取得最 值，最 值 y= 本课课外作业 A 组 1已知函数 1 1 2 1 2 y x ， y x 3， y x 2 2
25、3 3 3 （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； 1 2 （3）试说出函数 y x 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 3 1 2 2 不画图象，说出函数 y x 3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函 4 1 数 y x2 通过怎样的平移得到的 4 3若二次函数 y ax2 2 的图象经过点（-2，10），求 a 的值这个函数有最大还是最 小值？是多少？ B 组 4在同一直角坐标系中 y ax2 b 与 y ax b(a 0,b 0) 的图象的大致位置是 ( ) 10 Generated by Foxit PDF Creator Foxit
26、Software For evaluation only. 5已知二次函数 y 8x2 (k 1)x k 7， 当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？ 写出其函数关系式 本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（3） 本课知识重点 会画出 y a(x h)2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 MM 及创新思维 我们已经了解到，函数 y ax2 k 的图象，可以由函数 y ax2 的图象上下平移所 1 1 得，那么函数 y (x 2)2 的图象，是否也可以由函数 y x2 平移而得呢？画图试一 2 2 试，你能从中发现什么规律吗？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画
27、出下列函数的图象 1 1 1 y x ， y (x 2)2 ， y (x 2)2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 2 2 2 2 标 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 1 y 2 x 2 2 1 2 2 1 0 2 9 2 2 y 1 2 y 1 2 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 2625 所示 它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和直线 x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）
28、1 回顾与反思 对于抛物线 y (x 2)2 ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 2 当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 1 1 探索 抛物线 y ( 2)2 和抛物线 ( 2)2 x 2 2 1 y x 向左、向 右 2 2 1 1 平移两个单位得到的如果要得到抛物线 y (x 4)2 ，应将抛物线 y x2 作怎样的 2 2 平移？ 例 2不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 与 y 3(x 2)2 之间的 关系吗? 2 解 抛物线 y 3x2 的顶点坐标为（0，0）；抛物线 y 3(x 2)2 的顶点坐标为（-2， 0）
29、因此，抛物线 y 3x2 与 y 3(x 2)2 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y 轴和直线 x 2抛物 线 y 3(x 2) 是由 y 3x2 向左平移 2 个单位而 得的 2 回顾与反思 y a(x h)2 （a、h 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐 标归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y a(x h) 2 a 0 a 0 12 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 当堂课内练习 1画图填空：抛物线 y (x 1) 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐 标 2 是 ，它可以
30、看作是由抛物线 y x2 向 平移 个单位得到的 2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 y 2x ， y 2(x 3)2 ， y 2(x 3)2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶 点 2 坐标 本课课外作业 A 组 1已知函数 1 1 1 y 2 ， ( 1)2 x y x ， y (x 1)2 2 2 2 （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质 2根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 1 1 线 y (x 1)2 和 y (x 1)2 ？ 2 2 1 y x 得到抛 物 2 2
31、 3函数 y 3(x 1) ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时， 2 函数取得最 值，最 值 y= 4不画出图象，请你说明抛物线 y 5x 与 y 5(x 4)2 之间的关 系 2 B 组 5将抛物线 y ax 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过 点 2 （1，3），求 a 的值 本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（4） 本课知识重点 1掌握把抛物线 y ax 平移至 y a(x h)2 +k 的规 律； 2 2会画出 y a(x h) +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性 质 2 MM 及创新思维 13 Generated b
32、y Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 由前面的知识，我们知道，函数 y 2x2 的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数 y 2x2 2的图象；函数 y 2x2 的图象，向右平移3 个单位，可以得到函数 y 2(x 3)2 的图象，那么函数 y 2x2 的图象，如何平移，才能得到函数 y 2(x 3)2 2 的图象呢？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 1 1 1 2 y x ， y (x 1)2 ， y (x 1) 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 2 2 2 2 坐标 解 列表 x
33、-3 -2 -1 0 1 2 3 1 y x 2 2 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 1 y 8 (x 1) 2 2 9 2 2 1 2 0 1 2 2 1 y 2 6 (x 1)2 2 5 2 3 0 2 -2 3 0 2 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 2626 所示 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点 坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之 间的关系 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 y a(x h)2 +k 中 k 的值； 左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确 14 G
34、enerated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关 探索 你能说出函数 y a(x h)2 +k（a、h、k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标吗？试填写下表 开口方向 对称轴 顶点坐标 y a(x h) +k 2 a 0 a 0 例 2把抛物线 y x2 bx c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 y x ，求 b、c 的值 2 分析 抛物线 y x2 的顶点为（0，0），只要求出抛物线 y x2 bx
35、c 的顶点，根据顶 点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、c 的值 b b 2 2 解 y x2 bx c x bx c 2 4 4 b 2 b 2 (x ) c 2 4 b b 向上平移 2 个单位，得到 y (x )2 c 2 ， 2 4 2 b b 再向左平移 4 个单位，得到 y (x 4)2 c 2， 2 4 2 b b 2 其顶点坐标是( 4,c 2) 2 4 ，而抛物线 y x2 的顶点为（0，0）， 则 b 4 0 2 b 2 c 2 0 4 解得 b c 8 14 探索 把抛物线 y x2 bx c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 y
36、x ，也就意味着把抛物线 y x2 向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛 2 15 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 物线 y x2 bx c 那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试 当堂课内练习 1将抛物线 y 2(x 4)2 1如何平移可得到抛物线 y 2x2 （ ） A向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 2把抛物线
37、 3 y x 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函 数 2 2 关系式为 3抛物线 1 1 y 1 2x x 可由抛物线 y x2 向 平移 个单位，再向 平 2 2 2 移 个单位而得到 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 y 3x ， y 3(x 2)2 ， y 3(x 2)2 1，并指出它们的开口方向、对称轴和 顶 2 点坐标 2将抛物线 y x2 2x 5先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的 抛物线的函数关系式 3将抛物线 1 2 3 1 2 y x x 如何平移，可得到抛物线 y x 2x 3？ 2 2 2
38、B 组 4把抛物线 y x2 bx c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 y x2 3x 5，则 有 （ ） Ab =3，c=7 Bb= -9，c= -15 Cb=3，c=3 Db= -9，c=21 5抛物线 y 3x2 bx c 是由抛物线 y 3x2 bx 1向上平移 3 个单位，再向 左平 移 2 个单位得到的，求 b、c 的值 6将抛物线 y ax2 (a 0) 向左平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位，其中 h0， k0， 求所得的抛物线的函数关系式 本课学习体会 16 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Softwa
39、re For evaluation only. 262 二次函数的图象与性质（5） 本课知识重点 1能通过配方把二次函数 y ax2 bx c 化成 y a(x h)2 +k 的形式，从而确定开口 方向、对称轴和顶点坐标； 2会利用对称性画出二次函数的图象 MM 及创新思维 我们已经发现，二次函数 y 2(x 3)2 1的图象，可以由函数 y 2x2 的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数 y 2(x 3)2 1 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函 数，如 y x2 3x 2 ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出
40、图象吗？ 实践与探索 例 1通过配方，确定抛物线 y 2x2 4x 6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点 画图 解 y 2x2 4x 6 2(x 2x) 2 6 2(x 2x 11) 2 6 2(x 1) 1 2 6 2(x 1) 2 8 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为（1， 8） 由对称性列表： x -2 -1 0 1 2 3 4 y 2x2 4x 6 -10 0 6 8 6 0 -10 描点、连线，如图 2627 所示 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到， （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚
41、线画对称轴，然 后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点 17 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 探索 对于二次函数 y ax2 bx c ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请 你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例 2已知抛物线 y x2 (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，求a的值 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（2） 顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0 解 y x2 (a 2)x 9 a 2 2 (a 2) 2 (x ) 9 ， 2
42、 4 a 2 (a 2)2 则抛物线的顶点坐标是 ,9 2 4 a 2 当顶点在 x 轴上时，有 0 2 解得 a 2 ， (a 2) 2 当顶点在 y 轴上时，有 9 0 ， 4 解得 a 4 或 a 8 所以，当抛物线 y x2 (a 2)x 9的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 2，4， 8 当堂课内练习 1（1）二次函数 y x2 2x 的对称轴是 （2）二次函数 y 2x2 2x 1的图象的顶点是 ，当 x 时，y 随 x 的 增大而减小 （3）抛物线 y ax2 4x 6 的顶点横坐标是-2，则a= 1 2抛物线 y ax2 2x c 的顶点是( ,1)，则 a 、c 的值是
43、多少？ 3 本课课外作业 A 组 1已知抛物线 1 2 5 y x 3x ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图 象 2 2 2利用配方法，把下列函数写成 y a(x h) +k 的形式，并写出它们的图象的开口方 向、 2 18 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 对称轴和顶点坐标 （1） y x2 6x 1 （2） y 2x2 3x 4 （3） y x2 nx （4） y x2 px q 3已知 y (k 2)xk k 是二次函数，且当 x 0时，y 随 x 的增大而 增大 2 2 6 （1
44、）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴 B 组 4当 a 0时，求抛物 线 y x2 2ax 1 2a 的顶点所在的 象限 2 5. 已知抛物线 y x2 4x h 的顶点 A 在直线 y 4x 1上，求抛物线的顶点坐标 本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（6） 本课知识重点 1会通过配方求出二次函数 y ax2 bx c(a 0)的最大或最小值； 2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际 问题中的最大或最小值 MM 及创新思维 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 1
45、00 元出售，一天可销出约 100 件 该 店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每 降低 1 元，其销售量可增加约 10 件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二 次函数 y 10 x2 100 x 2000那么，此问题可归结为：自变量 x 为何值时函数 y 取 得最大值？你能解决吗? 实践与探索 例 1求下列函数的最大值或最小值 （1） y 2x2 3x 5； （2） y x2 3x 4 分析 由于函数 y 2x2 3x 5和 y x2 3x 4 的自变量 x
46、 的取值范围是全体实 数， 所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值 解 （1）二次函数 y 2x2 3x 5中的二次项系数 20， 19 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only. 因此抛物线 y 2x2 3x 5有最低点，即函数有最小值 3 49 因为 y 2x2 3x 5= 2(x )2 ， 4 8 3 所以当 x 时，函数 y 2x2 3x 5有最 小值是 4 49 8 （2）二次函数 y x2 3x 4 中的二次项系数-10， 因此抛物线 y x2 3x 4 有最高
47、点，即函数有最大值 因为 y x2 3x 4 = 3 25 (x )2 ， 2 4 所以当 3 x 时，函数 y x2 3x 4 有 最大值是 2 25 4 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a0 有最小值，a0 有最大 值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 探索 试一试，当 25x35 时，求二次函数 y x2 2x 3的最大值或最小值 例 2某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y （件）之间关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少 元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 y x 200 设每日销售利润为 s 元，则有 s y(x 120) (x 160)2 1600 因为 x 200 0, x 120 0 ，所以120 x 200 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润
