1、 1 广西陆川县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知直线 1 : (3 ) 4 4l m x y? ? ?， 2 : 2 (5 ) 8l x m y? ? ?平行，实数 m 的值为（ ） A -7 B -1 C 133 D -1或 -7 2 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ? ?2 00ax bx c a? ? ? ?有有理根，那么a ,b ,c 中至少有一个是偶 数”时，下列假设中正确的是（ ） A假设 ,abc不都是偶数 B假设 ,abc
2、至多有两个是偶数 C 假设 至多有一个是偶数 D假设 都不是偶数 3过椭圆2 2 14x y?的左焦点1F作直线l交椭圆于,AB两点，2F是椭圆右焦点，则2ABF?的周长为（ ） A. 8B. 42C. 4 D. 224.过点 (3, 1)A ? 且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A 1条 B 2 条 C. 3条 D 4条 5.某单位为了 了解办公楼用电量 y （度）与气温 x （）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（） 18 13 10 -1 用电量 （度） 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程 2y x a? ? ，当气温为 4? 时，
3、预测用电量均为（ ） A 68度 B 52度 C. 12度 D 28度 6.圆 22( 2) 5xy? ? ?关于 y 轴对称的圆的方程为（ ） A 22( 2) 5xy? ? ? B 22( 2) 5xy? ? ? C. 22( 2) ( 2) 5xy? ? ? ? D 22( 2) 5xy? ? ? 7.已知 ABC? 中， ,AB的坐标分别为 (0,2) 和 (0, 2)? ，若三角形的周长为 10，则顶点 C 的轨迹方程是（ ） 2 A 22195xy?（ 0y? ） B 22136 20xy?（ 0y? ） C. 22159xy?（ 0x? ） D 22132 36xy?（ 0x?
4、） 8.已知双曲线 22:1yxC ab?（ ( 0, 0)ab?）的离收率为 53 ，则双曲线 C 的渐近线 方程为（ ） A 34yx? B 43yx? C. 63yx? D 62yx? 9.直线 3y kx?与圆 22( 2) ( 3) 4xy? ? ? ?相交于 ,MN两点，若 23MN? ，则 k 的取值范围是（ ） A 3 ,04? B 33 , 33? C. 3, 3? D 2 ,03? 10.椭圆 2 2 14x y?的焦点为 12,FF，点 P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么1PF 是 2PF 的（ ） A 3倍 B 4 倍 C. 5倍 D 7倍 11
5、抛物线 y2 8x的焦点到准线的距离是 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 12 32( ) 3 2f x ax x? ? ?,若 ( 1) 4f ? ,则 a 的值等于 ( ) A 319 B 316 C 313 D 310 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把正确答案填在题中横线上 ) 13.函数 2( ) 2f x x x?的单调递减区间为 _ 14.空间直角坐标系中，已知 ，则直线 与 的夹角为_ 15已知 yx, 取值如下表： 3 x 0 1 3 5 6 y 1 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 1? ?
6、xy ，则 m 的值为_ 16 已知函数 在 上单调递减，且方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 _ 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17（本题满分 10分） 实 数 m为何值时，复数 2 26 ( 2 1 5 )3mmz m mm? ? ? ? i是 （ 1） 实数？ （ 2） 虚数？ （ 3）纯虚数？ 18.（本题满分 12分） 求曲线 0?yx ， xxy 22 ? 所围成图形的面积。 19. （本题满分 12分） 已知：圆 22: 8 12 0C x y y? ? ? ?，直线 : 2 0l ax y a? ? ?
7、. （ 1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （ 2）当直线 l 与圆 C 相交于 ,AB两点，且 22AB? 时，求直线 l 的方程 . 20 （本题满分 12分） 已知椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 22 ，椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的最大值为 21? . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知点 ( ,0)Cm 是线段 OF 上一个动点（ O 为坐标原点），是不存在过点 F 且与 x 轴4 不垂直的直线 l 与椭圆交于 ,AB两点，使得 AC BC? ，并说明理由 21. （本小题满分 12 分）函数 2( ) ln , ( )f x x
8、g x x? （ 1）求函数 ( ) ( ) 1h x f x x? ? ?的最大值； （ 2 ） 对 于 任 意 12, (0, )xx? ? ，且 21xx? ， 是 否 存 在 实 数 m ，使2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )m g x m g x x f x x f x? ? ?恒成立，若存在求出 m 的范围，若不存在，说明理由； （ 3）若正项数列 ?na 满足1 1 (1 )11,2 2 ( )nnnnaaa a g a? ?，且数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，试判断 2nSe 与 21n? 的大小，并加以证明 解析： (1) ( ) ln 1h x x
9、 x? ? ?,则 11( ) 1 xhx xx? ? ? ? ， 所以 (0,1)x? 函数单调递增， (1, )x? ? 函数单调递减 从而 max( ) | (1) 0h x h? （ 2）若 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )m g x m g x x f x x f x? ? ?恒成立， 则 2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )m g x x f x x f x m g x? ? ?， 设函数 2( ) ( ) ( ) lnx m g x x f x m x x x? ? ? ? ?，又 210 xx?， 则只需函数 ()x? 在 (0, )? 上为
10、单调递减函数， 即 ( ) 2 1 ln 0x m x x? ? ? ? ? ?在 (0, )? 上恒成立 ，则 1 ln2 xm x? ， 记 1 ln() xtx x? ，则2ln() xtx x? ?，从而 ()tx在 ? ?0,1 上单调递减，在 (1, )? 单调递增， 故 min( ) | (1) 1t x t? ? ?， 则存在 12m? ，使得不等式恒成立 （ 3）由21 (1 ) (1 )1 1 1 12 ( ) 2 2 2n n n nn n n na a a aa g a a a? ? ? ? ? ? 即11 1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，由1 12a?，得
11、 1111 1 21 2 1 2nnnnn aa? ? ? ? ?， 因为 (0,1)na? ，由（ 1）知 (0,1)x? 时， 1 ln ln ( 1)x x x x? ? ? ? ?， 5 故 1121l n ( 1 ) l n l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 )12n nnnn naa ? ? ? ? ? ? ?， 1 0 2 1 1120l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 )21l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) l n2nnnnnnS a a a ? ?
12、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 2 2 1nS ne ? 21. （本小题满分 12 分）函数 （ 1）求函数 的最大值； （ 2 ） 对 于 任 意 ，且 ， 是 否 存 在 实 数 ，使恒成立，若存在求出 的范围，若不存在，说明理由； （ 3）若正项数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，试判断 与 的大小，并加以证明 22.(本小题满分 12分 ) 已知 2( ) ln , ( ) 2f x x x a x g x x? ? ? ? ?. （ 1）对一切 (0, )x? ? ， ( ) ( )f x g x?
13、 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 1a? 时，求函数 ()fx在 m， m 3( m 0)上的最 值； （ 3）证明：对一切 (0, )x? ? ，都有 12ln 1xx e ex? ? ?成立 . 6 文科数学答案 1-5.DDABA 6-10: ACABC 11. 12. D 13. （ - ， 1） 14. 60 15 16 17. 解： （ 1）当 m=5 时， z是实数 （ 2）当 m 5且 m -3时， z是虚数 （ 3）当 m=2或 m=3时， z是纯虚数 18、 29 19.解： 圆 22: 8 12 0C x y y? ? ? ?化成标准方程为 22( 4) 4
14、xy? ? ?，则此圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2. （ 1）若直线 l 与圆 C 相切，则有242 21aa? ? ，解得 34a? . （ 2）过圆心 C 作 CD AB? ，则根据题意和圆的性质， 得22 2 242141 22aCDaC D D A ACD A AB? ? ? ? ?，解得 7a? 或 1a? 故所求直线 方程为 7 14 0xy? ? ? 或 20xy?. 20.解： （ 1）因 为 2212ceaac? ? ? ?所以 2a? ， 1c? 1b? ，椭圆方程为： 2 2 12x y?. （ 2）由（ 1）得 (1,0)F ，所以 01m?，假设存在满足题意的直
15、线 l ，设 l 的方程为( 1)y k x?， 7 代入 2 2 12x y?，得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ? 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 212 2412kxx k?， 212 22212kxx k?1 2 1 2 22( 2 ) 12 ky y k x x k? ? ? ? ? ?，设 AB 的中点为 M ，则 2222( , )1 2 1 2kkM ? AC BC? ， CM AB? ，即 1CM ABkk? ? 22242201 2 1 2kkmk? ? ? ? 2(1 2 )m k m? 当 10
16、 2m?时，12mk m? ?，即存在这样的直线 l 当 1 12 m?， k 不存在，即不存在这样的直线 l 21.解析： (1) ,则 ， 所以 函数单调递增， 函数单调递减 从而 （ 2）若 恒成立， 则 ， 设函数 ，又 ， 则只需函数 在 上为单调递减函数， 即 在 上恒成立，则 ， 记 ，则 ，从而 在 上单调递减，在 单调递增， 故 ， 则存在 ，使得不等式恒成立 8 （ 3）由 即 ，由 ，得 ， 因为 ，由（ 1）知 时， ， 故 ， 即 22. 解： （ 1）对一切 )()(),0( xgxfx ? 恒成立，即 2ln 2 ? xaxx 恒成立 . 也就是 ? xxa ln
17、 x2 在 ),0( ?x 恒成立 . 令 xxxxF 2ln)( ? ， 则 F?2222 )1)(2(2211)( x xxx xxxxx ?， 在 )10(， 上 F? 0)( ?x ，在 上， )1( ? 上 F? 0)( ?x ， 因此， )(xF 在 1?x 处取极小值，也 是最小值，即 3)1()(min ? FxF ，所以 3?a . （ 2）当 时，1?a xxxxf ? ln)( ,f? 2ln)( ? xx ，由 f? 0)( ?x 得21ex?. 当210 em?时，在 上)1,2emx?上 f? 0)( ?x ，在 上3,1(2 ? mex上 f? 0)( ?x 因此
18、， )(xf 在21ex?处取得极小值，也是最小值 . 2min 1)( exf ?. 由于 01)3) ln (3()3(,0)( ? mmmfmf 因此， 1)3) ln (3()3()(m a x ? mmmfxf . 当 时21em?， 0)( ?xf ，因此 3,)( ?mmxf 在 上单调递增，所以)1(ln)()(m in ? mmmfxf ， 1)3) ln (3()3()(m a x ? mmmfxf . 9 （ 3）证明：问题等价于证明 ),0(2ln ? xeexxxxx, 由 () 知 1?a 时， xxxxf ? ln)( 的最小值是21e?，当且仅当21ex?时取得， 设 ),0(2)( ? xeexxGx，则 G?xe xx ?1)(，易知 eG
