1、 - 1 - 2017-2018学年下期期中联考 高二数学试题（理科） 注意： 1、 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120分钟。 2、全部答案在答题卡上完成 ,答在本试题上无效。 3、 每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 第卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确的选项，请把正确的选项填到答题卡上！） 1若复数 z 满足 ? ?13i z i? ? ?，则在复平面内， z 对应的点位于（ ） . A第一象限 B 第二象限 C 第三象
2、限 D 第四象限 2.汽车以 13? tV (单位： sm/ )作变速直线运动时，在第 s1 至第 s2 间的 s1 内经过的位移是( ) A. m5.4 B. m5 C. m5.5 D. m6 3、 下列关于推理的说法归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比 推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理。其中正确的是（ ） A B C D 4用反证法证明命题： “ 已知 a 、 b 是自然数，若 3ab? ，则 a 、 b 中至少有一个不小于2” 提出的假设应该是（ ） A a 、 b 至少有两个不小于 2 B a 、 b 至少
3、有一个不小于 2 C a 、 b 都小于 2 D a 、 b 至少有一个小于 2 5、函数 23)( 23 ? xaxxf ,若 ( 1) 4f? ? ,则 a 的值是（ ） A 319 B 316 C 313 D 310 6. 复数 4312ii? 的共轭复数的虚部是 （ ） A i? B 1? C 1 D i - 2 - 7.若 ? ? xxxxf ln422 ? ， 则 )(xf? 0的解集 A ? ?,0 B ? ?2,0 C.? ? ? ?1,2,0 ? D.? ?,2 8二维空间中圆的一维测度（周长） rl ?2? ，二维测度（面积） 2rS ? ，观察发现 lS? ；三维空间球的
4、二维测度（表面积） 24 rS ? ，三维测度（体积） 334 rV ? ，观察发现 SV? .则由四维 空间中 “ 超球 ” 的三维测度 38r? ，猜想其四维测度 ?W ( ) A. 224r? B. 42r? C. 212r? D. 44r? 9已知函数 xexxxf )2()( 3 ? ，则 x fxfx ? ? )1()1(lim 0的 值为（ ） A e? B 1 C e D 0 10函数 ? ? 1, 1 0c o s , 0 2xxfx xx ? ? ? ? ? ?的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A.32 B.1 C.2 D.12 11已知 ? ? lnxfx
5、x? ，且 3ba?，则下列各结论中正确的是 ( ) A. ? ? ? ?2abf a f a b f ? ?B. ? ? ? ?2abf a b f f b?C. ? ? ? ?2abf a b f f a?D. ? ? ? ?2abf b f f a b?12已知函数 1)( 22 ? bxaxexf x ，其中 eRba , ? 为自然对数的底数，若 )(,0)1( xff ?是 )(xf 的导函数，函数 )(xf? 在区间 )1,0( 内有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A. )1,3( 22 ? ee B. ),3( 2 ?e C. )22,( 2 ? e D. )22,62(
6、 22 ? ee 第卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .请把答案写在答题卷相应位置上 13. 2 20 4 x dx?14. 已知 i 为虚数单位，则 201832 iiii ? L = - 3 - 15. ? )4(s inc o s)4()( ? fxxfxf ，则已知函数 _ . 16、某小朋友按如下规则练习数数， 1大拇指， 2食 指，3 中指， 4无名指， 5小指， 6无名指， 7中指， 8食 指，9 大拇指， 10食指， . ，一直数到 2017时，对应的 指头是 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.
7、（本小题满分 12分）已知复数 1 592 ()1 4 4Zii? ? ? ? （ 1）求复数 Z的模； （ 2）若复数 Z是方程 220x px q? ? ?的一个根，求实数 ,pq的值？ 18. （本小题共 12分）已知 0a? ，求证： 221133aaaa? ? ? ? ?19、（ 本小题满分 12分）已知函数 1()fxx? （ 1）求曲线 1()fxx? 过 ? ?02， 的 切线方程 （ 2）求（ 1） 中所求 的切线与曲线 1()fxx? 及直线 x=2所围成的曲边图形的面积。 - 4 - 20、（ 本小题满分 12分）设曲线 C ： ? ? bxxaxf ? ln ， ()f
8、x? 表示 ()fx导函数 已知函数 ()fx在 1?x 处有 极值 -1 (1)求 ?xf 的解析式 . (2)数列 na 满足 1 1a? ， 求 2, 3, 4aaa ，猜想 数列 na 的通项公式并用数学归纳法加以证明。 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 xxxf ?ln)( ， （ I）求 ()fx的单调区间； （ II）若不等式 221)( xxxaf ? 在 ?x (0, )? 内恒成立，求实数 a 的取值范围； 请考生在（ 22）（ 23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分 22 (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xO
9、y 中，过点 (1, 2)P ? 的直线 l 的倾斜角为 45 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2 cos? ? ? ， 直线 l 和曲线 C 的交点为 ,AB （ 1） 求 直线 l 的参数 方程 和曲线 C 的 直角坐标方程 ； （ 2） 求 PA PB? 23（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 )(6)( Rmxmxxf ? （）当 m 3时，求不等式 )(xf 5的解集； （）若不等式 )(xf 7对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围 1 123n nafa? ?- 5 - 高二数学参考答案（理科）
10、 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1 12： D C D C D C B B D A D A 二、填空题 ：（ 本大题共 4小题 ， 每小题 5分 ， 共 20分 ） 13 ? 14 i?1 15. 1 16. 大拇指 三、解答题： 17（本小题满分 12分） 解：（ 1） 1 592 ( ) 1 21 4 4Z i ii? ? ? ? ? ? ? ? 4分 5Z? ? 6分 （ 2）复数 Z是方程 220x px q? ? ?的一个根 6 (2 8) 0p q p i? ? ? ? ? ? ? 9分 由复数相等的定义，得： 602 8 0pqp? ? ? ?
11、 ? ? 11分 解得： 4, 10pq? ?12 分 18证明：要证 221 3a a? 1 3a a?， 只需证 221 3a a? 1 3a a? ? 2分 a 0 两边均大于 0 只需证 2221( 3)a a? 21( 3)a a? ，? 4分 即证 221 3 1()3aaaa? ? ?，? 6分 即证 22221 1 1( 2 )3aaaa? ? ? ? 8分 即证 221 1a a?，而 221 1a a?显然成立 ? 10分 原不等式成立? 12 分 - 6 - 19.解：（ 1）设切点 00,)Px y（ ，因为21y x?201k x? ? ， 切线方程 2 2 20 0
12、 01 1 2( 2 )y x y xx x x? ? ? ? ? ? ? 则00220000121yxxxy x? ? ? ? ?020022 1xxx? ? ? ?所以切线方程 2yx? ? 6分 （ 2） ,解得 ,交点坐标 21 2)xS x dx? ? ? 1（8分 2 2 21 1 12 2 2 21 1 1121ln | | 2 |21ln 2 ln 1 ( 4 1 ) 2( 2 1 )23ln 2 221ln 22dx xdx dxxx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20. 解：（ 1）函数定义域为 (0 , ), ( ) af x bx? ? ?
13、 依题意得： (1) 1, (1) 0ff? ? ? 即：1 ,0baab?=1解 得 b=-1( ) lnf x x x? ? ? ? 4分 （ 2）由（ 1）得： 11 11 , 2 ( ) 3 2 ( 1 ) 3 2 1n n nna a f a aa? ? ? ? ? ? ? ?2132432 1 32 1 72 1 15aaaaaa? ? ? ? ? ? ?猜想： (2 1), ( *)nna n N? ? ? ? 8分 12分 1( ) 1fx x?- 7 - 证明：当 n=1时， 1 (2 1) 1a ? ? ? 成立； 假设当 n=k时， (2 1)kka ?成立 当 n=k+
14、1时，1112 1 2 ( 2 1) 1( 2 2 ) 1( 2 1)kkkkkaa? ? ? ? ? ? ? ?所以，当 n=k+1时，结论也成立 综上所述， (2 1), ( *)nna n N? ? ?时成立。 ? 12分 21. 解 ： （ I） 1() xfx x? ? , f（ x）的单调递增区间是（ 0， 1），单调递减区间是（ 1， +） ? 4分 （ II） 221)( xxxaf ? 即 oxaa In xxxQ ? )1(21)( 2 成立 , x xaxaxaxxQ )1)()1()( ? , 若 0?a 时， )(xQ? 在（ 0， 1)小于 0， Q（ x) 递减；
15、 )(xQ? 在（ 1， +? )大于 0， Q（ x) 递增 0)1(21)1( ? aQ ，解得 21?a ，又 0?a ，故 21?a ； 若 10 ?a 时， 0)( ? xQ 解得 ax? 或 1?x ，列表如下 x ),0( a a )1,(a 1 ),1(? )(xQ? 0 0 )(xQ 增 减 增 又 0)1(21)1( ? aQ ，故不满足要求； 若 1?a 时， 0)( ? xQ 解得 ax? 或 1?x ，列表如下： x )1,0( 1 ),1(a a ),( ?a )(xQ? 0 0 )(xQ 增 减 增 同理 0)1(21)1( ? aQ ，故也不满足要求； - 8
16、- 综合上述，要使 不等式 221)( xxxaf ? 在 ?x (0, )? 内恒成立， 则实数 a 的取值范围为 ? ? 21,a. ? 12分 22. 解：（ 1）直线 l 过点 (1, 2)P ? ，且倾斜 角为 45 直线 l 的参数方程为 1 cos 452 sin 45xtyt? ? ? ? ?（ t 为参数）， 即直线 l 的参数方程为212222xtyt? ? ? ?（ t 为参数） . （ 3分） 2sin 2 cos? ? ? ， 22sin 2 cos? ? ? ? . cos , sinxy? ? ? ?，曲线 C 的直角坐标方程为 2 2yx? . （ 5分） （ 2）把212222xtyt? ? ? ?代入 2 2yx? 并整理得 2 6 2 4 0tt? ? ?. （ 7分） ? ?26 2 4 4 0? ? ? ? ? ? 设 ,AB两点所对应的参数分别为 12,tt，则 124tt?. （ 9分） 4PA PB?. （ 10分） 23（本题 10 分） 解：（ 1）当 3m? 时， ( ) 5fx? 即 | 6 | | 3 | 5xx? ? ? ?， 当 6x? 时，得 95?，所以 x? ； 当 63x? ? ? 时，得 6 3 5
