1、 - 1 - 2017-2018 学年度高二下学期期中考试 数学试题 A（理科） 满分： 150分 考试时间： 120 分钟 第 I卷（满分 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.已知 iiZ ? 21 ，则复数 Z=（ ） A. i31? B. i31? C. i31? D. i31? 2.以下式子正确的个数是（ ） . 21)1( xx ? xx sin)(cos ? 2ln2)2( xx ? 10ln1)(lg xx ? A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若曲线 baxxxf ? 23)(
2、在点 )1(,1( f 处的切线的倾斜角为 43? ，则 a 等于 （ ） A.2 B.-2 C.3 D.-1 4.已知 X B（ n， p）， EX=8， DX=1.6，则 n与 p的值分别是（ ） A 100， 0.08 B 20， 0.4 C 10， 0.2 D 10， 0.8 5. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 )(xf ，如果 0)( 0 ? xf ，那么 0xx? 是函数 )(xf 的极值点，因为函数 3)( xxf ? 在 0?x 处的导数值 0)( 0 ?xf ，所以 0?x 是函数3)( xxf ? 的极值点 .以上推理中（ ） A. 大前提错误 B.小前提错误
3、 C.推理形式错误 D.结论正确 6. 已知 ? 得分布列为 ? -1 0 1 p 21 31 61 则在下列式中： 31)( ?E ； 2723)( ?D ； 31)0( ?P .正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.中国有个名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ” ，其中的 “ 筹 ” 原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数- 2 - 位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万
4、位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是 ，则 8335 用算筹可表示为（ B ） A B C D 8.已知函数 f（ x） = +cx+bc在 x=1处有极值 ，则 b=（ ） A 1 B 1 C 1或 1 D 1或 3 9.用数学归纳法证明： )2(21312111 ? nnnnn ?时， 由 )2( ? kkn 不等式成立，推证 1?kn 时，左边增加的代数式是（ ） A.)1(2 1?kB. 22 112 1 ? kk C. 22 112 1 ? kk D. 1112 1 ? kk 10.若 )2ln (21)( 2 ? xbxxf 在（ 1， + ）上是单调减函数，则 b
5、的范围是（ ） A 1， + ） B（ 1， + ） C（ ， 1） D（ ， 1 11.一个篮球运动员投篮一次得 3分的概率为 a ，得 2分的概率为 b ，不得分的概率为 c ，（ )1,0(, ?cba ），已知他投篮一次得分的数学期望是 2，则 ba 312? 的最小值为（ ） A.332 B.328 C.314 D.31612.已知函数 )(xf 在 R上可导，且其导函数为 )(xf? .若 )(xf 满足： 0)()()1( ? xfxfx ，)()2( 22 xfexf x? ，则下列判断一定正确的是（ ） - 3 - A. )0()1( ff ? B. )0()2( eff ?
6、 C. )0()3( 3 fef ? D. )0()4( 4 fef ? 第 II卷（满分 90分） 二、 填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分） 13.已知 Rba ?, ， i 是虚数单位，若 biia ? 2 ，则 bia? = 14. ? dxxx )21(10 2 15.椭圆 =1（ a b 0）在其上一点 P（ x0， y0）处的切线方程为 =1类比上述结论，双曲线 =1（ a 0， b 0）在其上一点 P（ x0， y0）处的切线方程为 16.已知直线 l 与曲线 131 23 ? xxxy 有三个不同的交点 ),(),( 2211 yxByxA ),( 33 yxC ，且
7、ACAB? ,则 ?31 )(i ii yx. 三、 解答题（本大题共 6个小题，满分 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤） 17.（本小题满分 10分） 已知函数 cxaxxxf ? 23)( 且 )32(fa ? . （ 1）求 a 的值； （ 2）求函数 )(xf 的单调区间 18.（本小题满分 12分） 设数列 ?na 的前 n项和为 Sn，且满足 nn naS ?1 （ n N*） （ ） 计算 4321 , aaaa 的值； （ ） 猜想 na 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 . 19.（本小题满分 12 分） 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方
8、式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访， 5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购， 2 名倾向于选择实体店， 5名女性购物者中有 2名倾向于选择网购， 3名倾向于选择实体店 （ ）若从这 10 名购物者中随机抽取 2名，其中男、女各一名，求至少 1名倾向于选择实体店的概率； （ ）若从这 10名购物者中随机抽取 3名，设 X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量 X的分 布列及数学期望 20.（本小题满分 12分） 设函数 2ln2)( xxxf ? - 4 - （ 1）求函数 )(xf 的单调递增区间； （ 2）若关于 x 的方程 02)( 2 ? axx
9、xf 在区间 1， 3内恰有两个相异实根，求实数 a的取值范围 21（本小题满分 12分） 2017年 3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型（ “ 小绿车 ” 、 “ 小黄车 ” ）采 用分时段计费的方式， “ 小绿车 ” 每 30分钟收费 0.5元（不足 30分钟的部分按 30 分钟计算）；“ 小黄车 ” 每 30 分钟收费 1元（不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行（各租一车一次）设甲、乙、丙不超过 30分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟甲、乙均租用 “ 小绿车 ” ，丙租用 “ 小黄车 ” （ I）求甲
10、、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （ ）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 22.已知函数 2( ) lnf x x x ax? ? ? （）若函数 ()fx在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围； （）当 3?a 时，求出 ()fx的极值； （）在（）的条件下，若 2211( ) (3 6 )2f x x xx? ? ?在 ? ?0,1x? 内恒成立，试确定 a 的取值范围 2017-2018学年度高二下学期期中考试 数学试题 A（理科）答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B A D A C B A
11、C D D C 二、 填空题 13. 5 14. 14? 15. 12020 ? b yyaxx16. 7 三、 解答题 17.（本小题 10分） 解：（ 1） f （ x） =3x2+2ax 1， - 5 - f （ ） = + a 1=a， 解得： a= 1； （ 2）由（ 1）得： f（ x） =x3 x2 x+c， f （ x） =3x2 2x 1=（ 3x+1）（ x 1）， 令 f （ x） 0，解得： x 1或 x ，令 f （ x） 0，解得： x 1， 函数 f（ x） 的单调增区间为 （ ， ），（ 1， + ）， 单调减区间为 （ ， 1） 18.（本小题 12分） （
12、1） ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 。 （ 2）猜想： 。 下面用数学归纳法证明： 当 时， ，猜想显 然成立。 假设当 （ ）时猜想成立，即 。 那么当 时， ，即 。 又 ，所以 ，从而，即当 时，猜想也成立。 故由 和 ，可知猜想成立。 19.（本小题 12分） 解：（ ）设 “ 至少 1名倾向于选择实体店 ” 为事件 A， 则 表示事件 “ 随机抽取 2名，（其中男、女各一名）都选择网购 ” ， 则 P（ A） =1 P =1 = （ ） X的取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=k） = ， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（
13、 X=3） = - 6 - E（ X） =0 +1 +2 +3 = 20.（本小题 12 分） 解：（ 1） f （ x） = ， x 0， x （ 0， 1）时， f （ x） 0，所以函数 f（ x）的单调递增区间是（ 0， 1 （ 2）将 f（ x）代人方程 f（ x） +x2 x 2 a=0得 2lnx x 2 a=0，令 g（ x） =2lnx x 2 a则 g （ x） = ； x 1， 2）时， g （ x） 0； x （ 2， 3时， g （ x） 0； g（ 2）是 g（ x）的极大值，也是 g（ x）在 1， 3上的最大值； 关于 x的方程 f（ x） +x2 x 2 a=
14、0在区间 1， 3内恰有两个相异实 根； 函数 g（ x）在区间 1， 3内有两个零点；则有： g（ 2） 0， g（ 1） 0， g（ 3） 0，所以有： 解得： 2ln3 5 a 2ln2 4，所以 a的取值范围是（ 2ln3 5， 2ln2 4） 21.解：（ I）由题意得，甲乙丙在 30 分钟以上且不超过 60分钟还车的概率分别为 记 甲 、 乙 两 人 所 付 的 费 用 之 和 等 于 丙 所 付 的 费 用 为 事 件 A 则， 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为 ， （ ） 可能取值有 2， 2.5， 3， 3.5， 4， ； ； ； ， 甲、乙、丙三人所付的
15、租车费用 之和 的分布列为： 2 2.5 3 3.5 4 P 22.（本小题 12 分）解：（ 1）函数 2( ) lnf x x x ax? ? ?的定义域为 (0, )? ，则- 7 - 1( ) 2 ( 0 )f x x a xx? ? ? ? 因 为 函 数 ()fx 在 (0, )? 内 是 增 函 数 ， 所 以 1( ) 2 0f x x ax? ? ? ?在 (0, )? 内恒成立，所以 1 2axx? 在 (0, )? 内恒成立，因为当0x? 时， 1 2 2 2xx? ，当且仅当 1 2xx? ，即 22x? 时，等号成立所以实数 a 的取值范围为 ( ,2 2? （ 2）
16、当 3?a 时， 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 3 ( 0 )xxf x x xxx ? ? ? ? ?所以当 1(0, )2x? 时， ()fx为增函数；当 1( ,1)2x? 时， ()fx为减函数；当 (1, )x? ? 时， ()fx为增函数；所以 ()fx在12x? 处取得极大值 1 1 1 3 5( ) ln ln 22 2 4 2 4f ? ? ? ? ? ?， ()fx 在 1x? 处取得极大值(1) 1 3 2f ? ? ? （ 3 ）设 2 2 2221 1 1 1( ) l n ( 3 6 ) l n x 3 ) x2 2 2g x x x a x x x x axx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（，则 311( ) ( ) 3 )g x x axx? ? ? ? ?（由（ 1）可知 a ( ,2 2? ? ，且 (0,1x? ，故 ( ) 0gx? 所以 ()gx在 (0,1 内为增函数因为 m ax( ) (1) 2 0g x g a? ? ? ?，即 2a
