1、 高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度 洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+
2、 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法：a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集 合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ； （2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A
3、B 或 B A 2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2 n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A 且属 于
4、 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B的 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合， 叫做 A,B 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中 所有不属于A的元素组 成的集合，叫做 S 中子 交集 记作 AB （读 作A 交 B ） ，即 AB=x|xA，且 xB 的并集记作：AB （读作A 并 B ） ，即 AB =x|xA，或 xB) 集 A 的补集（或余集） 记作ACS，即 CSA=,|AxSxx且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 性性 质质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (CuA)
5、(CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 例题： 1.1.下列四组对象，能构成集合的是下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x 2-2x+1,xR,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= 1 2xx ，B= x x a ，若 AB，则a的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化 学实验做得正确得有 31 人
6、， 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 （含边 界上的 点）组成的 集合 M= . 7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值 二、函数的有关概念 1 函数的概念： 设 A、 B 是非空的数集， 如果按照某个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和 它对应， 那么就称f： AB为从集合A到集合B的一个函数 记作： y=f(x)， xA其中，x 叫
7、做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值 域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； S A S A (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义 域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题
8、有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字 母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐 标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来， 以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变
9、换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象） ” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同
10、一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在区间 D
11、 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2， 当 x1x2 时， 都有 f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右 是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x1，x2D，且 x11，且nN * 负数
12、没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 。 当n是奇数时，aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ， ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1） r a srr aa ), 0(Rsra； （2） rssr aa)( ), 0(Rsra； （3） srr aaab)( ), 0(Rsra （二）指数函数及其性质 1、 指数函数的概念：
13、 一般地， 函数) 1, 0(aaay x 且叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a0，a0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( ) 2.计算： 64log 2log 27 3 ; 3log4 2 2 = ； 2log227log 55 3 1 25 = ; 2 1 3 4 3 1 01. 016)2() 8 7 (064. 0 75. 030 = 3.函数 y=log 2 1 (2x 2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 ) 10 (log)(axxf
14、 a 在区间2,aa上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= 5.已知 1 ( )log(01) 1 a x f xaa x 且 ， （1）求( )f x的定义域（2）求使 ( )0f x 的x的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的 实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。 2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根， 亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。 即： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函 数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法： 1 （代数法）求方
15、程0)(xf的实数根； 2 （几何法） 对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数)(xfy 的 图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数)0( 2 acbxaxy （1） ， 方程0 2 cbxax有两不等实根， 二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点 （2） ， 方程0 2 cbxax有两相等实根， 二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 （3），方程0 2 cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无 交点，二次函数无零点 5.函数的模型 集合与函数练集合与函数练习卷习卷 班级 姓名 得分 一、选择题一、选择题（每小题
16、4 分，共 32 分） 1、图中阴影部分表示的集合是 ( ) 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不 符 合 实 际 U A. BCA U B. BACU C. )(BACU D. )(BACU 2、下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是 （ ） A. M, 3.14159N B. 2,3M , (2,3)N C. | 11,MxxxN , 1N D. 1, 3, M, ,1,|3|N 3、已知集合 A=xx2，Rx，B=xxa，且BA，则实数 a 的取值范围是（ ） （A）a （B）a （C）a （D）a 4、设全集NxxxU,
17、8|，若 8 , 1)(BCA U ，6 , 2)(BACU， 7 , 4)()(BCAC UU ，则 （ ） （A） 6 , 2,8 , 1BA （B）6 , 5 , 3 , 2,8 , 5 , 3 , 1BA （C） 6 , 5 , 3 , 2,8 , 1BA （D）6 , 5 , 2,8 , 3 , 1BA 5、设 P=| ),(,| 22 xyyxQxyx，则 P、Q 的关系是 （ ） （A）PQ （B）PQ （C）P=Q （D）PQ= 6、下列四组函数，表示同一函数的是 （ ） （A）f (x) 2 x, g(x)x （B） f (x)x, g(x) x x 2 （C）f (x)4
18、2 x, g(x)22xx （D）f (x)|x1|, g(x) 11 11 xx xx 7、函数 x x xy的图象是图中的 （ ） 8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度 h 与时间 t 的函数关系式是 2 4.914.718h ttt，则 炮弹在发射几秒后最高呢？ （ ） A. 1.3 秒 B. 1.4 秒 C. 1.5 秒 D 1.6 秒 二、填空题二、填空题（每小题 4 分,共 16 分） 9、已知集合, , ,Aa b c，则集合 A 的非空真子集的个数是 10、已知集合 M=0，1，2，N=Maaxx,2，则集合NM = ， NM = 。 11、A=xx5，B=xx3 或 x8，则（
19、ACR）（BCR） 12、设 f(x) 2 |1| 2,| 1, 1 , | 1 1 xx x x ，则 ff( 2 1 ) 三、解答题三、解答题（每大题 13 分，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 13、已知集合25Axx ，121Bx mxm . （1）当 m=3 时，求集合AB，BA； （2）若BA，求实数 m 的取值范围。 A B 14、设集合04| 2 xxxA,01) 1(2| 22 axaxxB （1）若BBA，求 a 的值组成的集合 C。 （2）若BBA，求 a 的值。 15、求下列函数的值域： 1xy； 2 2 1 1 x x y ； 74 2 xx
20、y,x0,1,2,3,4； 74 2 xxy（x0,3） 16、某市场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x（元）与 日销售量 y（件）之间有如下表所示的关系。 x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 （1）根据表中提供的数据，确定 y 与 x 的一个函数关系式 y=f（x） ； （2）设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据上述关系，写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出 销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 参考答案：参考答案： 14：ADBB 58：DDCC 9.6 10. 4 , 2 , 1 , 0 , 2 , 0 11.23 orxxx 12. 13 4 13.5 , 4BA 5 , 2BA 3m 14. 11oraa 1a 15. , 1 1 , 1 3, 4, 7 3, 7 16. 1503 xy 300)40(3 2 xp 当 x=40 时，y 有最大值 300
