1、 1 2016 2017学年第二学期期中考试 高二数学理科试卷 说明： 1.本试卷分卷和卷两部分，卷为选择题，卷为非选择题，考试时间为 120 分钟，满分为 150分。 2将卷答案用 2B铅涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。 卷 (选择题 共 60分 ) 一 选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 1设 为虚数单位，复数 ， ，则复数 在复平面上对应的点在 ( ). A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于 60 度； (B) 假设三内角
2、都大于 60度； (C) 假设三内角至多有一个大于 60度； (D) 假设三内角至多有两个大于 60度 。 3.已知随机变量 X服从正态分布? ? ? ?22 , , 0 4 0.8N P X? ? ? ?，则? ?4PX?（ ） A 0.4 B 0.2 C 0.1 D 0.8. 4用数学归纳法证明 1+2+22+? +2n+1=2n+2 1（ n N*）的过程中，在验证 n=1 时，左端计算所得的项为（ ） A 1 B 1+2 C 1+2+22 D 1+2+22+23 5 从 1,2,3,4,5中任取 2个不同的数，事件 A “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 B “ 取到的 2个数均
3、为偶数 ” ，则 P(B|A) ( ) A.18 B.14 C.25 D.12 6设随机变量 X B(n， p)，且 E(X) 1.6， D(X) 1.28，则 ( ) A n 8， p 0.2 B n 4， p 0.4 C n 5， p 0.32 D n 7， p 0.45 7一个三位自然 数百位、十位、个位上的数字依次为 ,abc，当且仅当 ,a bb c?时称为“ 凹数 ” （如 213），若 ? ?, , 1,2,3,4abc? ，且 ,abc互不相同，则三位数中“凹数”有 A 6个 B 7个 C 8 个 D 9个 8若 2 0 1 7 2 0 1 70 1 2 0 1 7(1 2 )
4、 ( )x a a x a x x? ? ? ? ? ? R，则 2017122 3 20182 2 2aaa? ? ? ?A 21 B 1 C 12? D 1? 2 9.若 ?fx在 R 上可导， ? ? ? ?2 2 2 3f x x f x? ? ?，则 ? ?30 f x dx?( ) A 16 B 54 C 24 D 18 10由 组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 11 函数 )(xf 在其定义域内可导，其图象如右图所示， 则导函数 )( xfy? 的图象可能为（ ） 12. .已知 )(xf 的定义域为 ),0( ? ， )()( xfxf 为?
5、 的导函数，且满足 )()( xfxxf ? ，则不等式 )1()1()1( 2 ? xfxxf 的解集是 （ ） A )1,0( B ),1(? C（ 1， 2） D ),2( ? 卷 (非选择题 共 90分 ) 二填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13.复数 1011 ii?的值是 14. .记者要为 5名志愿者和他们帮助的 2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 _ DxyOxOA xyOCxyOB xy3 15 如图给出了一个 “ 直角三角形数阵 ” ：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第
6、i行第 j列的数为 aij（ ij ， i， j N*），则a88=_ 16.直线 ya? 分别与曲线 ? ?2 1 lny x y x x? ? ? ?， 交于 ,AB，则 AB 的最小值为 _ 三 解答题： 本大题共 6小题，共 70 分 . 17.（ 10 分） 已知复数 i iiz ? ? 2 )1(3)1( 2 （ 1） 求复数 z （ 2） 若 ibazz ? 12 求实数 ba, 的值 18.（ 12 分） 设 ? ?3 nxx? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240. （ 1）求 n 的值； （ 2）求展开式中所有 x 的有理项 . 19.某大
7、学志愿者协会有 6名男同学 ， 4名女同学 在这 10名同学中 ， 3名同学来自数学学院 ， 其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3名同学 ， 到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同 ) (1)求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设 X为选出的 3名同学中女同学的人数 ， 求随机 变量 X的分布列和数学期望 20 某厂生产某种产品的固定成本 (固定投入 )为 2500 元，已知每生产 x件这样的产品需要再增加可变成本 C(x) 200x 136x3(元 )，若生产出的产品都能以每件 500元售出，要使利润4 最大，该
8、厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？ 21.(12分 )在各项为正的数列 中，数列的前 项和 满足 . (1)求 , , ； (2)由 (1)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 22（ 12 分） 已知函数 1( ) ln , ( ) ( )af x x a x g x a Rx? ? ? ? ?.（ ）当 1a? 时， 求曲线 ()fx在 1x? 处 的切线方程； （ ）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x?，求函数 ()hx 的单调区间； （ ）若在 ? ?1, ( 2.718.)ee? 上存在一点 0x ，使得 0()fx 0()gx 成立，求 a 的取
9、值范围 5 高二数学理科试卷（参考答案） 一 .选择题 (每小题 5分，共 60分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C C B A C C D B C D 二 .填空题（每小题 5 分，共 20分） 13. -1 14. 960 15. 641 16. 32 三 .解答题 (共 70 分 ) 17.解：（ 1） i iiz ? ? 2 )57()3( 2 = ii?23 = i?1 （ 2）把 iz ?1 代入已知方程，得 ibiai ? 1)1()1( 2 整理，得 iiaba ? 1)2( ， ? ? ? ? ? 4 3,12 1 baa ba18. 解：
10、（ 1）令 、 二项系数之和为 所以 得 （ 2） 所以 当 r=0时 当 r=2时 当 r=4时 所以展开式有理项为 ， ， 19. 解 : (1)设 “ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院 ” 为事件 A， 则 P(A) C13 C27 C03 C37C310 4960. 所以 ， 选出的 3名同 学是来自互不相同学院的概率为 4960. (2)随机变量 X的所有可能值为 0， 1， 2， 3. 6 P(X k) Ck4 C3 k6C310 (k 0， 1， 2， 3) 所以 ， 随机变量 X的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 随机变量 X的数学期望 E(X)
11、 0 16 1 12 2 310 3 130 65. 20. 解：设该厂生产 x 件这种产品利润为 L(x) 则 L(x) 500x 2 500 C(x) 500x 2 500 ? ?200x 136x3 300x 136x3 2 500(xN) 令 L (x) 300 112x2 0，得 x 60(件 ) 又当 0 x0， x60时， L (x)0 所以 x 60是 L(x)的极大值点，也是最大值点 所以当 x 60时， L(x) 9 500元 答：要使利润最大，该厂应生产 60件这种产品，最大利润为 9 500元 21.解 ： (1) ，得 ， ， . ， 得 ， . ，得 ， . (2)
12、猜想 证明如下： 当 时， 命题成立； 假设 时， 成立， 则 时， ，即 7 . . .即 时，命题成立 . 由知， 对任意 都成立 . 22. 解 ： （ ） ()fx的定义域为 (0, )? ， 当 1a? 时， ( ) lnf x x x? ， 11( ) 1 xfx xx? ? ? ? ， (1) 1f ? ， (1) 0f? ? ,切点 (1,1) ，斜率 0k? 曲线 ()fx在点 (1,1) 处 的切线方程为 1y? （） 1( ) lnah x x a xx? ? ?， 22 2 21 (1 ) ( 1 ) (1 ) ( ) 1 a a x ax a x x ahx x x
13、x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当10a?时，即1a?时，在(0, )a?上( ) 0hx? ?，在( , )?上( ) 0hx? ?， 所以()hx在(0,1 a?上单调递减，在, )?上单调递增； 当a?，即1a?时，在 (0, )? 上( ) 0? ?，所以，函数 ()hx 在 (0, )? 上单调递增 （ ）在 ? ?1,e 上存在一点0x，使得0fx?gx成立，即在? ?,e上存在一点x，使得0( ) 0hx?，即函数1) lnah x x a xx? ? ?在 ? ?1,e 上的最小值小于零 由（）可知：当1ea?，即e1a?时， 在 ? ?1,e 上单调递减，
14、 所以 ()hx 的最小值为(e)h，由1(e) e 0e aha? ? ? ?可得2e1a ? ?， 因为2e1e1e1? ?，所以2a ? ?； 当11a?，即0a?时， ()hx 在 ? ?1,e 上单调递增， 所以 ()hx 最小值为(1)h，由(1) 1 1 0? ? ? ?可得2a?； 当1 1 ea? ? ?，即0 e 1a? ? ?时，可得 ()hx 最小值为 (1 ) 2 ln (1 )h a a a a? ? ? ? ?， 8 因为0 ln(1 ) 1a? ? ?，所以，0 ln(1 )a a a? ? ?故 (1 ) 2 ln (1 ) 2h a a a a? ? ? ? ? ? 此时不存在 x 使 ( ) 0hx? 成立 综上可得所求 的范围是：2e1e1a ? ?或2?
