1、 1 江苏省张家港市杨舍镇 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1. 已知集合 ,3,1 mA? ， 4,3?B ， 4,3,2,1?BA? ，则实数 m? . 2 【考点】 集合及其运算 2 函数 ? ?2( ) log 2f x x?的定义域是 . ),2( ? 【考点】 函数 的定义域及其求法 3. 若复数 z=（ 1 i）（ m+2i）（ i为虚数单位）是纯虚数，则实数 m的值为 3 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 4.设函数 ? ? ? xxxf2log2 11?xx
2、，则 )2(ff = . 2 【考点】 函数的值 5 若函数 2( ) 6 1f x x x? ? ?在区间 ( ,1 2 )aa? 上不是单调函数 ,则实数 a 的取值范围是 _.（ 1， 3） 【考点】 二次函数应用 6 已知2log 0.3a?，3.02?b，2.03.c，则cba,三者 从小到大 的关系是 bca ? 【考点】 指数与对数的比较大小 7.若角 的终边经过点 P( 3， m)(m0) 且 sin 24 m，则 cos 的值为 _. 64 【考点】 三角函数的定义 8已知函数 ()fx的导函数为 ()fx? ，且满足 2( ) 3 2 (2)f x x xf ? ，则 (3
3、)f? ? -6 【考点】 导数的应用 9若函数 32( ) 2f x x x mx? ? ? ?是 R上的单调函数，则实数 m的取值范围为 ? ?，31【考点】导数研究 恒成立问题 10.已知函数 f(x) sin(x 6)，其中 x 3， 2，则 f(x)的值域是 _. 12， 1 【考点】 三角函数的定义域和值域 11已知 5s ins in)( 357 ? dxxcbxxaxf ，其中 a 、 b 、 c 、 d 为常数，若 7)7( ?f ，则 ?)7(f 11.17 【考点】 函数奇偶性的性质 2 12已知函数 ),()(2 Rbabaxxxf ?的值域为 ),0 ? ，若关于 x
4、 的不等式 cxf ?)( 的解集为)8,( ?mm ，则实数 c 的值为 . 12.16 【考点】 一元二次不等式的解法 13. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 ? ?1,1- 上， ? ? 10,12,01,1xxbxxaxxf 其中Rba ?, 若 )23()21( ff ? ，则 ba 3? 的值为 -10 【考点】 函数性质应用 14.设 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且 ( ) 2 2xxmfx?，设 ( ), 1,()( ), 1,f x xgx f x x ? ? ?若函数()y g x t?有 两 个 不同的 零点，则实数 t 的取值范围是 .
5、），（ ?23 【考点】利用图像研究 函数的零点 二、 解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本题满分 14分） 已知命题 ? ?2 2 8 0A x x x? ? ? ?， 3 0,xmB x mxm? ? ?R （ 1）若 (2,4)AB? ， 求 m 的值； （ 2）若 BA? ，求 m 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算 15【解答】：化简得 A=? ?24xx? ? ? ， B=? ?3x m x m? ? ? . 6分 （ 1）因为 (2,4)AB? 所以有 3 2 4 , 5m m m? ?
6、? ?且 则. 10 分 （ 2）因为 BA? ，即 324mm? ? ?解得 14m?. 14分 16. （本题满分 14分） 3 (1)已知 f(x)sin(2 x)cos (32 x)cos(3 x)sin (112 x)，求 f( 214 )的值 (2)已知 0， cosx0， sinx cosx0， 故 sinx cosx 75. sin2x 2sin2x1 tanx 2sinx(cosx sinx)1 sinxcosx 2sinxcosx(cosx sinx)cosx sinx 2425 1575 24175. 17 （本小题共 14分） 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的
7、资金用于广告促销经调查投入广告费 t(百万元 )，可增加销售额约 为 t2 5t(百万元 )(0 t 5) (注：收益销售额投放 ) （ 1）若该公司将当年的广告费控制在 3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ （ 2）现该公司准备共投入 3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费 x(百万元 )，可增加的销售额约为 13x3 x2 3x(百万元 )请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大 【考点】 导数在最值问题中的应用 17解： (1)设投入 t(t百万元 )的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元 )， 则有 f(t) ( t2 5
8、t) t t2 4t (t 2) 2 4(0 t 3)， 4 所以当 t 2百万元时， f(t)取得最大值 4百万元 即投入 2百万元时 的广告费时，该公司由此获得的收益最大 (2)设用技术改造的资金为 x(百万元 )，则用于广告促销的资金为 (3 x)(百万元 )， 则有 g(x) ? ? 13x3 x2 3x (3 x)2 5(3 x) 3 13x3 4x 3(0 x3) 所以 g( x) x2 4.令 g( x) 0，解得 x 2，或 x 2(舍去 ) 又当 0 x 2时， g ( x) 0，当 2 x3 时， g( x) 0 故 g(x)在 0,2上是增函数，在 2,3上是减函数 所以
9、当 x 2时， g(x)取最大值， 即将 2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大 18 已知函数 ()xaxfxe?在 0x? 处的切线方程为 yx? . （ 1）求 a 的值；（ 2）若对任意的 (0,2)x? ，都有21() 2fx k x x? ?成立，求正数 k 的取值范围； 【考点】 导数几何意义，导数在最值问题中的应用 18、 解：（ 1）由题意得 (1 )()xaxfx e? ?，因函数在 0x? 处的切线方程为 yx? ， 所以 (0) 11af? ?，得 1a? . 6分 （ 2）由（ 1）知21() 2xxfx e k x x? ?对任意 (
10、0,2)x? 都成立， 0?k? 又不等式整理可得 2 2xek x xx? ? ? ， 8分 令 2( ) 2xeg x x xx? ? ?， 所以22( 1 )( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 0xxe x eg x x x? ? ? ? ? ? ? ?，得 1x? ， 12 分 当 (1,2)x? 时， ( ) 0gx? ? ，函数 ()gx在 (1,2) 上单调递增， 同理，函数 ()gx在 (0,1) 上单调递减，所以 m in( ) (1) 1k g x g e? ? ? ?， 综上所述，实数 k 的取值范围是 )10 ?e，（ . 16 分 5 19（本题 16分）
11、 已知函数2( ) ln ,af x x a Rx? ? ? （ 1）若函数()fx在2, )?上是增函数，求实数a的取值范围； （ 2）若函数 在1,e上的最小值为 3，求实数 的值 【考点】 导数的运算；对数函数图象与性质的综合应 用 20 解： （ 1） 2( ) ln af x x x?， 212() afx xx? ? -2分 ()fx在2, )?上是增函数， 2() a? 0在2, )上恒成立，即ax在 , )?上恒成立 -4分 令2xgx?，则a? ?m in( ) , 2, )g x x ? ? 在2, )?上是增函数， ? ? in( ) (2) 1g? a 1所以实数a的取
12、值范围为( ,1? -7分 （ 2）由（ 1）得22() xax? ?，, xe? 若21a?，则20xa?，即( ) 0fx? ?在1,e上恒成立，此时()在1,e上是增函数 所以? ? m in (1) 2 3f x f a? ? ?， 解得32a?（ 舍去） -10分 若12ae ，令( ) 0? ?，得?当xa?时，( ) 0? ?， 所以fx在(1,2a上是减函数，当2a x e时，? ?， 所以 在(2 )ae上是增函数 所以? ? ? ?m in 2 ln( 2 ) 1 3f x f a a? ? ? ?， 解得22ea?（ 舍去） -13分 若2ae?，则?，即( ) 0fx?
13、 ?在1,e上恒成立，此时()在1,e上是减函数 所以? ? ? ?m in 213af x f e e? ? ? ?， 所以? -16分 6 20（本题满分 16分） 已知定义在 R 上的 函数 ? ? 2ln (e 1) ( )xf x a x a? ? ? ? R是偶函数 （ 1）求实数 a 的值 ； 并 判断 ?fx在 0, )? 上的单调性 ； (不必 证明 ) （ 2） 若 221( ) ( )mf x f m xxx? ? ?恒成立，求实 数 m 的取值范围 【考点】 函数性质综合应用 ,及恒成立问题 20【解答】： （ 1）因为 ?fx是 定义在 R 上的偶函数，所以 ? ?1
14、 ( 1)ff?， 即 22ln (e 1) ln (e 1)aa? ? ? ? ?，即 22e12 ln( ) 2e1a? ? ? ? ，得 1a? ， 4分 当 1a? 时， ? ? 2ln(e 1)xf x x? ? ?， 对于 ? ? ? ?22, l n ( e 1 ) l n ( e 1 )xxx f x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R ，综上 1a? 6分 ?fx在 0, )? 上是单调增函数， 8分 （ 2） ?fx在 0, )? 上是单调增函数，且 是偶函数，又 221( ) ( )mf x f m xxx? ? ?， 所以 221 mx mxxx? ? ?， 9分 令 1txx? ，则 ? ? ? ?, 2 2,t ? ? ? ?， 所以 2 2mt t?， 2mtt?恒成立， 12分 因为 2tt?，关于 t 在 ? ?2,? 上单调递增， 所以 2 1tt?，所以 1m? 恒成立，所以 11m? ? ? . 16 分
