1、 1 20162017 学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高二数学试卷（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，则复数 31 3i1 2iz ? ? 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用反证法证明命题“若自然数 a ， b ， c 的积为偶数，则 a ， b ， c 中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（ ） A a ， b ， c 中至多有一个偶数 B a ， b ， c 都是奇数 C
2、a ， b ， c 至多有一个奇数 D a ， b ， c 都是偶数 3若22nxx?的展开式中二项式系数之和为 64，则 n 等于（ ） A 5 B 7 C 8 D 6 4若曲线 ? ? 32f x x ax b? ? ?在点 ? ?1, 1f 处切线的倾斜角为 34? ，则 a 等于（ ） A 2 B 2? C 3 D 1? 5把 2 名新生分别到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配 1 名新生，则不同的分配方法有（ ） A 3 种 B 4 种 C 6 种 D 8 种 6已知复数 ? ? ?3 2i iz a b? ? ?的实部为 4，其中 a 、 b 为正实数，则 2ab? 的最小值
3、为（ ） A 2 B 4 C 233 D 433 7观察下列各式： 111 2 3? ， 1 1 11 2 1 2 3 2? ? ? ， 111 2 1 2 3? ? ? 131 2 3 4 5? ? ? ，?， 则 111 2 1 2 3? ? ? 11 2 12? ? ? ?L L 等于（ ） A 56 B 1112 C 1113 D 1213 2 8设函数 ?fx在 R 上可导，其导函数为 ?fx? ，且函数 ?fx在 4x? 处取得极小值，则函 数? ?y xf x? 的图象可能是（ ） A B C D 9已知圆 M ： ? ?2 224xy? ? ?，则过点 ? ?1,1 的直线中被
4、圆 M 截得的最短弦长为 22.类比上述方法：设球 O 是棱 长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的外接球 ,过 1AC 的一个三等分点作球的 O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A ? B 4? C 5? D 6? 10设 ? ?6 02 xa? ? ? ? ? ? ?21211a x a x? ? ? ? ?66 1ax?L ，则 0 1 2a a a? 3 5 6a a a? ? ? 等于（ ） A 4 B 71? C 64 D 199 11“ 603 cosad? ? ? ”是“直线 l ： 22 2 0ax y a? ? ?（ 0a? ）与双曲线 C ：
5、222 14xya ?的右支无交点”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12已知函数 ? ? ? ?2exf x x bx?（ Rb? ）在区间 1,22?上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是（ ） A 8,3?B 5,6?C 35,26?D 8,3?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13复数 z 满足 ? ?2i i 3 iz? ? ? ，则 z? 14函数 ? ? 4 cos5f x x x? ? ?在 0,4?上的最大值为 3 15 3 男 3 女共 6 名同学排成一排合影， 要求
6、女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为 16将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 n 行（ 2n? ）从左向右的第 3 个数为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 1）从 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字任取 3 个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？ （ 2）若 ? ? 5523 axxx?的展开式中含 10x 项的系数为 43，求实数 a 的值 . 18已知函数 ? ? 3213f x x x x? ? ?. （ 1）求函数 ?fx在 ? ?1,2? 上的最大值和最小值； （ 2）若函数 ?
7、 ? ? ? 4g x f x x?， ? ?3,2? ，求 ?gx的单调区间 . 19已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AA? 平面 ABC ， 5AB? ， 4AC? ， 3BC? ， 1 4AA? ，点 D 在 AB 上 . （ 1）若 D 是 AB 的中点 .求证： 1AC 平面 1BCD ； （ 2）当 15BDAB? 时，求 二面角 1B CD B?的余弦值 . 20在数列 ?na 中，1 13a?，且 1221 na a an? ? ?L nna? （ n ?N ） . （ 1）写出此数列的前 4 项； （ 2）归纳猜想 ?na 的通项公式，并用数学归纳法加以证明
8、. 4 21已知椭圆 G ： 2213xybb?（ 0b? ）的上、下顶点和右焦点分别为 M 、 N 和 F ，且 MFNV的面积为 42. （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A 、 B 两点，以 AB 为底作等腰三角形，顶点为 ? ?3,2P? ，求 PAB? 的面积 . 22已知函数 ? ? lnf x x a x? ， ? ?Ra? . （ 1）讨论函数 ?fx在定义域内的极值点的个数 ； （ 2）设 ? ? 1agx x? ，若不等式 ? ? ? ?f x g x? 对任意 ? ?1,ex? 恒成立，求 a 的取值范围 . 5 20162
9、017 学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高二数学试卷参考答案（理科） 一、选择题 1-5:CBDAC 6-10:DCCDB 11、 12： AA 二、填空题 13 26 14 1? 15 72 16 2 24nn? 三、解答题 17解：（ 1）若选数字 0，则可组成 122540CA? 个没有重复数字的三位数； 若不选数字 0，则可组成 35 60A? 个没有重复数字的三位数； 故共可组 成 60 40 100? 个没有重复数字的三位数 . （ 2） 52 axx?Q的展开式含 10x 项的系数为 05C ， 52 axx?的展开式含 4x 项的系数为 225aC ， 0 2 2553
10、 43C a C? ? ?， 解得 2a? . 18解：（ 1） ? ? 2 21f x x x? ? ? ?Q ? ?210? ? ? ， ?函数 ?fx在 ? ?1,2? 上单调递增 . ? ? ? ?min 1f x f? ? ?73? ， ? ? ? ?max 22 3f x f?. （ 2） ? ? 313g x x?Q 2 3xx? ， ? ? 2 23g x x x? ? ? ?， 由 ? ? 2 23g x x x? ? ? ?0? ，得 1x? 或 3x? ， 由 ? ? 2 23g x x x? ? ? ?0? ，得 13x? ? ? ， ? ?3,2x?Q ， ? ?gx
11、? 的增区间为 ? ?3, 1? ，减区间为 ? ?1,2? . 6 19解：（ 1）证明：连结 1BC ，交 1BC于 E ，连结 DE . Q 侧面 11BBCC 为平行四边形， E 为 1BC 中点， D 是 AB 的中点， DE? 为 1ABCV 的中位线， 1DE AC? ， DE?Q 平面 1BCD ， 1AC? 平面 1BCD ， 1AC 平面 1BCD ， （ 2） AC BC?Q ， ?如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz? . 则 ? ?3,0,0B ， ? ?0,4,0A ， ? ?1 0,0,4C ， ? ?1 3,0,4B . 设 ? ?, ,0Dab
12、（ 0a? ， 0b? ）， Q 点 D 在线段 AB 上，且 15BDAB? ，即 15BD BA?uuur uur ， 125a? ， 45b? . ? ?1 3,0, 4BC? ? ? ?uuur ， ? ?3,4,0BA?uur ， 12 4, ,055CD ?uuur . 平面 BCD 的一个法向量为 ? ?1 0,0,1n ?ur ， 设平面 1BCD 的法向量为 ? ?2 , ,1n x y?uur ， 由 120BC n?uuur uur ， 2 0CD n?uuur uur ，得 3 4 0,12 40.55xxy? ? ? ?43x? ? ， 4y? ， 2 4,4,13n
13、 ?uur . 设二面角 1B CD B?的大小为 ? ， 1212cos nnnn? ?ur uurur uur 313 . ?二面角 1B CD B?的余弦值为 313 . 7 20解：（ 1）由已知1 13a?， 1 2 3 na a a an? ? ? ?L ? ?21nna?，分别取 2,3,4n? ，得2115aa?113 5 15? ， ? ?3 1 2114a a a? ? ?115 7 35? ， ? ?4 1 2 3127a a a a? ? ? ?117 9 63? . 所 以数列的前 4 项是：1 13a?,2 115a?,3 135a?,4 163a?. （ 2）证明
14、：由（ 1）中的计算可以猜想 ? ? ?12 1 2 1na nn? ?. 下面用数学归纳法证明： 当 1n? 时，猜想显然成立 . 假设当 nk? 时猜想成立 ，即 ? ? ?12 1 2 1ka kk? ?. 那么由已知，得 1 2 3 11 kka a a a ak ? ? ? ? ?L ? ? 123kka? ， 即 1 2 3 ka a a a? ? ? ?L ? ?2 123 kk k a ? ，又 12 ka a ak? ? ?L ? ?21kka?， 所以 ? ?21kka? ? ?2 123 kk k a ? ， 即 ? ?21kka? ? 123kka? ， 又由归纳假设，
15、得 ? ? ? ? ?1212 1 2 1k kk? ? ? 123kka?， 所以 ? ? ?1 12 1 2 3ka kk? ? ?，即当 1nk?时，公式也成立 . 由和可知，对一切 Nn ? 都有 ? ? ?12 1 2 1na nn? ?成立 . 21解：（ 1）设椭圆的焦距为 2c ，长轴长为 2a ，则 223ab? ， 2 2 2 232c b b b? ? ? ?，则 cb? ， 8 MFNQV 的面积为 42， 1 2 2 4 22 bb? ? ? ?， 则 2 4b? ， 2 12a? ， ?椭圆 G 的方程为 22112 4xy?. （ 2）设直线 l 的方程为 y x
16、 m? .由 22112 4y x mxy? ?得 224 6 3x mx m?12 0?. 设 A 、 B 的坐标别为 ? ?11,xy ， ? ?22,xy（ 12xx? ）， AB 的中点为 ? ?00,E x y ，则 120 324xx mx ? ? ?，00 4my x m? ? ?， ABQ 是等腰 PABV 的底边， PE AB?.所以 PE 的斜率 2 4 133 4mk m? ? ?，解得 2m? . 此时方程为 24 12 0xx?，解得 1 3x? ， 2 0x? ， 1 1y? ? ， 2 2y? ，则 32AB? . Q 点 ? ?3,2P? 到直线 AB ： 20
17、xy?的距离 3 2 2 3222d ? ? ?， PAB?V 的面积 1922S AB d? ? ?. 22解：（ 1） ? ? 1 a x afx xx? ? ? ?（ 0x? ）， 当 0a? 时， ? ? 0fx? ? 在 ? ?0,? 上恒成立， 函数 ?fx在 ? ?0,? 单调递增， ? ?fx? 在 ? ?0,? 上没有极值点 . 当 0a? 时， ? ? 0fx? ? 得 0 xa? ， ? ? 0fx? ? 得 xa? ， ? ?fx? 在 ? ?0,a 上递减，在 ? ?,a? 上递增，即 ?fx在 xa? 处有极 小值，无极大值 . ?当 0a? 时， ?fx在 ? ?
18、0,? 上没有极值点， 当 0a? 时， ?fx在 ? ?0,? 上有一个极值点 . （ 2）设 ? ? ? ? ? ?h x f x g x? 1 lnax a xx? ? ? （ 0x? ）， 9 ? ? 211 aahx xx? ? ? ? ? ?2 2 1x ax ax? ? ? ? ? ? ?211x x ax? ? ? ， 不等式 ? ? ? ?f x g x? 对任意 ? ?1,ex? 恒成立，即函数 ? ? 1 ah x x x? lnax? 在 ? ?1,e 上的最小值大于零 . 当 1ea?，即 e1a?时， ?hx在 ? ?1,e 上单调递减 . 所以 ?hx的最小值为 ?eh ， 由 ? ? 1ee eah ? 0a?可得 2e1e1a ? ? ，
