1、 1 安徽省安庆市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 一、 选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内 .） 1 已知 z 2 i1 2i，则 |z| z ( ) A 1 i B 1 i C i D i 2函数 f(x) 1 x sinx 在 (0， 2 )上是 ( ) A增函数 B减函数 C在 (0， )上增，在 (， 2 )上减 D在 (0， )上减，在 (， 2 )上增 3用反证法证明命题：“自然数 a， b， c 中恰有一个是偶数” 时，要做的假设是 ( ) A a， b，
2、c 中至少有两个偶数 B a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数 C a， b， c 都是奇数 D a， b， c 都是偶数 4求曲线 y x2与 y x 所围成图形的面积，其中正确的是 ( ) A S ?01(x2 x)dx B S?01(x x2)dx C S ?01(y2 y)dy D S?01(y y)dy 5若函数 f(x) x3 tx2 3x 在区间 1,4上单调递减，则实数 t 的取值范围是 ( ) A.? ?， 518 B (， 3 C.? ?518 ， D 3， ) 6记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，利用倒序求和的方法，可将 Sn表示成首项 a1、末项 an与项数
3、 n的一个关系式，即公式 Sn n(a1 an)2 ；类似地，记等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，且 bn0(n N*)，试类比等差数列求和的方法，可将 Tn表示成首项 b1、末项 bn与项数 n的一个关系式，即公式 Tn ( ) A n(b1 bn)2 B (b1 bn)n2 C n b1bn D (b1bn)n2 2 7若从 1， 2， 3，?， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( ) A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 8已知点 A(1， 2)在函数 f(x) ax3的图像上，则过点 A 的曲线 C： y f(x)的切线方
4、程是 ( ) A 6x y 4 0 B x 4y 7 0 C 6x y 4 0 或 x 4y 7 0 D 6x y 4 0 或 3x 2y 1 0 9设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f (x)，且函数 f(x)在 x 2 处取得极小值，则函数 y xf (x)的图像可能是 ( ) 10若关于 x 的方程 2x3 3x2 a 0 在区间 2, 2上仅有一个实根，则实数 a 的取值范围为 ( ) A 4， 0 B (1， 28 C 4， 0) (1， 28 D 4， 0) (1， 28) 11某班要从 , , , ,A B C D E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的
5、 ,ABC三人都不连任原职务的方法种数为（ ） A 30 B 32 C 36 D 48 12定义在 ( 1， 1)上的函数 f(x) 1 x x22x33?x2 0162 016，设 F(x) f(x 4)，且 F(x)的零点均在区间 (a， b)内，其中 a， b Z， a0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x) f(x) 2x，且 g(x)在区间 ( 2， 1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 4 20 （本题满分 12 分）设数列 an满足 a1 3， an 1 a2n 2nan 2(n 1,2,3，? ) (1)求 a2， a3， a4的值，并猜想数列 an的
6、通项公式 (不需证明 )； (2)记 Sn为数列 an的 前 n 项和，试求使得 Sn 2n成立的最小正整数 n，并给出证明 21（本题满分 12 分）已知函数 f(x) x lnx a， g(x) x 1x 1(ln )ax ? ， a R. (1)若 f(x) 0 在定义域内恒成立，求 a 的取值范围； (2)当 a 取 (1)中的最大值时，求函数 g(x)的最小值； (3)证明不等式 1 *112ln ( )21( 2 1 ) ( 2 2 ) nnnkkk nN? ? 22（本题满分 12 分）已知函数 f(x) ln x ax bx，对任意的 x (0， )，满足 f(x) f ? ?
7、1x 0，其中 a， b 为常数 . (1)若 f(x)的图象在 x 1 处的切线经过点 (0， 5)，求 a 的值； (2)已知 0 a 1，求证： 2( ) 02af ? ； (3)当 f(x)存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围 . 5 1、 答案 A 解析 由于 z 2 i1 2i (2 i)(1 2i)(1 2i)(1 2i) 5i5 i， |z| 1， |z| z 1 i. 2、 答案 A 解析 f (x) 1 cosx0， f(x)在 (0， 2 )上递增 3、 答案： B 解析： a， b， c 恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数其否定有 a， b， c 均为奇数或 a，
8、 4、答案 B 5、 解析 f (x) 3x2 2tx 3，由于 f(x)在区间 1,4上单调递减，则有 f (x) 0 在 1,4上恒成立，即 3x2 2tx 3 0，即 t 32? ?x 1x 在 1,4上恒成立，因为 y 32? ?x 1x 在 1,4上单调递增，所以 t 32? ?4 14 518 ，故选 C. 答案 C 6、 答案 D 解析 利用等比数列的性质：若 m n p q，则 bm bn bp bq，利用倒序求积方法有? Tn b1b2 ? bn，Tn bnbn 1 ? b1， 两式相乘得 T2n (b1bn)n，即 Tn (b1bn)n2. 7、 答案 D 解析 共有 4
9、个不同的偶数和 5 个不同的奇数 ， 要使和为偶数 ， 则 4 个数全为奇数 ， 或全为偶数 ，或 2 个奇数 2 个偶数 ， 故不同的取法有 C54 C44 C52C42 66 种 8、 答案 D 解析 由于点 A(1， 2)在函数 f(x) ax3的图像上 ， 则 a 2， 即 y 2x3， 所以 y 6x2.若点 A 为切点 ， 则切线斜率为 6， 若点 A 不是切点 ， 设切点坐标为 (m， 2m3)， 则切线的斜率为 k 6m2.由两点的斜率公式 ， 得 2m3 2m 1 6m2(m 1)， 即有 2m2 m 1 0.解得 m 1(舍去 )或 m 12.综上 ， 切线的斜率为 k 6
10、 或 k 6 14 32， 则过点 A 的曲线 C： y f(x)的切线方程为 y 2 6(x 1)或 y 2 32(x 1)，即 6x y 4 0 或 3x 2y 1 0.故选 D. 9、 答案 C 解析 由 f(x)在 x 2 处取得极小值可知 ， 当 x0； 当 20， 则 xf (x)0 时 ， xf (x)0. 10、 解析 f(x) 2x3 3x2 a， 则 f (x) 6x2 6x 6x(x 1)， x 2， 2令 f (x)0， 得 x6 2， 0) (1， 2；令 f (x)0， 因而 f(x)在 ( 1， 1)上单调递增 ， f( 1) (11) 12 13? 12 016
11、0， 因而函数 f(x)仅有 1 个零点 ， 且在 ( 1， 0)内 ， 那么 F(x) f(x 4)也有 1 个零点在 ( 5， 4)内 ， 故 b a 的最小值为 1， 则圆 x2 y2 b a 的面积的最小值为 ， 故选 A. 13、 解析 z 2 i1 i (2 i)(1 i)2 12 32i. 答案 12 32i 14、 答案 23 23 3 解析 ? 11 (x2 x 4 x2)dx 2?01(x2 4 x2)dx 2(?01x2dx?01 4 x2dx) 2(13 2212 12 1 3) 23 23 3. 15、 答案 1 122 132 142? 1(n 1)20)， 当 x
12、 (， 0)时， f (x)0；当 x (0， a)时， f (x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为 (， 0)， (a， )，单调递减区间为 (0， a) (3)g (x) x2 ax 2，依题意，存在 x ( 2， 1)， 使不等式 g (x) x2 ax 20， f (x)单调递增 ， f(x)min f(1) 1 a， 1 a 0， a 1， 故 a 的取值范围是 ( ， 1 (2)当 a 1 时 ， g(x) x 1x (lnx)2， g(x)的定义域是 (0， ) g (x) 1 1x2 2lnx 1x x2 2xlnx 1x2 ， 令 h(x) x2 2xlnx 1， h
13、(x) 2(x lnx 1)， 由 (1)知 ， h (x)的最小值是 h (1) 0， h (x) 0， h(x)在 (0， )上单调递增 ， 又 h(1) 0， 当 x (0， 1)时 ， h (x)0， g (x)0， g(x)单调递增 ， g(x)min g(1) 2. (3)由 (2)得 ， 当 x1 时 ， g(x)g(1)， x 1x (lnx)22， 即 ( x 1x)(lnx)2， 开平方得 x 1xlnx. 令 x 2k 22k 11(k N*)， 则 2k 22k 12k 12k 21（ 2k 1）（ 2k 2） ln2k 22k 1， nk 1 1（ 2k 1）（ 2k
14、 2） ln2 22 1 ln22 222 1 ? ln2n 22n 1 ln2（ 20 1）2 1 2（ 2 1）22 1 ?2（ 2n 1 1）2n 1 ln2n 12n 1. 22、 (1)若 f(x)的图象在 x 1 处的切线经过点 (0， 5)，求 a 的值； (2)已知 0 a 1，求证： f? ?a22 0； (3)当 f(x)存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围 . (1)解 在 f(x) f? ?1x 0 中，取 x 1，得 f(1) 0， 又 f(1) ln 1 a b a b 0，所以 b a. 从而 f(x) ln x ax ax， f (x) 1x a? ?1 1
15、x2 ， f (1) 1 2a. 又 f(1) 5 f（ 1）0 1 5，所以 1 2a 5， a 2. 10 (2)证明 f? ?a22 lna22a322a 2ln a2aa32 ln 2. 令 g(x) 2ln x 2x x32 ln 2，则 g( x)2x2x23x22 3x4 4（ x 1）2x2 . 所以 x (0， 1)时， g (x) 0， g(x)单调递减， 故 x (0， 1)时， g(x) g(1) 2 12 ln 2 1 ln e 0， 所以 0 a 1 时， f? ?a22 0. (3)解 f( x) 1x a? ?1 1x2 ax2 x ax2 . 当 a 0 时，
16、在 (0， )上， f (x) 0， f(x)单调递增， 所以 f(x)至多只有一个零点，不合题意； 当 a 12时，在 (0， )上， f (x) 0， f(x)单调递减， 所以 f(x)至多只有一个零点，不合题意； 当 0 a 12时，令 f( x) 0，得 x1 1 1 4a22a 1， x2 1 1 4a22a 1. 此时， f(x)在 (0， x1)上单调递减，在 (x1， x2)上单调递增， 在 (x2， )上单调递减，所以 f(x)至多有三个零点 . 因为 f(x)在 (x1， 1)上单调递增，所以 f(x1) f(1) 0. 又因为 f? ?a22 0，所以 ? x0 ?a22， x1 ，使得 f(x0) 0. 又 f? ?1x0 f(x0) 0， f(1) 0， 所以 f(x)恰有三个不同的零点： x0， 1， 1x0.
