1、 - 1 - 安徽省巢湖市柘皋中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 一、 选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 用反证法证明命题 “ 已知 a、 b、 c 为非零实数，且 ，求证 a、b、 c 中至少有二个为正数 ” 时，要做的假设是 A. a、 b、 c 中至少有二个为负数 B. a、 b、 c 中至多有一个为负数 C. a、 b、 c 中至多有二个为正数 D. a、 b、 c 中至多有二个为负数 2. 若 ，则 的大小关系是 A. B. C. D. 由 a 的取值确定 3. 已知复数 z 满足 是虚数单位，则 A. B. C. D. 3 4. 已知曲线
2、 在点 处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为 A. B. C. D. 5. 设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为 A. B. C. D. 1 7. 若复数 z 满足 ，则 z 的虚部为 A. B. C. 4 D. 8. 函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在内有极小值点 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 已知命题 p：有的三角形是等 腰三角形，则 A. ：有的三角形不是等腰三角形 B. ：有的三角形是不等腰三角形 C. ：所有的三角形
3、都不是等腰三角形 D. ：所有的三角形都是等腰三角形 10. 下面几种推理中是演绎推理的序号为 - 2 - A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B. 猜想数列 的通项公式为 C. 半径为 r 圆的面积 ，则单位圆的面积 D. 由平面直角坐标系中圆的方程为 ，推测空间直角坐标系中球的方程为 11. 计算 A. B. C. D. 12. 函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. _ 14. 已知复数 z 满足 ，则 _ 15. 设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 _ 16. 已知 ，观察下列各式： ， ， ， 类比得：
4、 ，则 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知 求 的取值范围； 用反证法证明： 中至少有一个大于等于 0 - 3 - 18. 已知数列 的前 n 项和 满足 ， 写出 并猜想 的表达式； 用数学归纳法证明 中的猜想 19. 已知 ，求 ； 已知 是关于 x 的一元二次实系数方程 的一个根，求实数 的值 - 4 - 20. 已知实数 ，函数 求函数 的单调区间； 若函数 有极大值 16，求实数 a 的值 - 5 - 21. 已知函数 求函数 的单调区间与极值 若 对 恒成立，求实数 a 的取值范围 - 6 - 已知函数 若函数 图象上点 处的切线方程 ，求实数 的
5、值； 若 在 处取得极值，求函数 在区间 上的最大值 【答案】 1. A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. A 7. D 8. A 9. C 10. C 11. B 12. D 13. 14. 15. 3 16. 17. 解： ； 证明：假设 中没有一个不小于 0，即 ，所以 又 ，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 所以， 中至少有一个大于等于 0 18. 解： 由 得 ， 故猜想 证明 当 时 ，结论成立， 假设当 时结论成立，即 ， 则当 时， - 7 - ，即当 时结论成立 由 知对于任何正整数 n，结论成 立 19. 解： 由 ， 得 ； 把 代入方程 中，得到 即 且
6、 ，解得 20. ， ， 令 得， ， ， ， 解得 或 当 或 ， 当 ， 函数 的单调递增区间为 和 ，调递减区间为 ； 由 知 在 时，取得极大值 即 解得 21. 解： ， 令 ，解得： 或 ， 令 ，解得： ， 故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 故 的极大值为 ，极小值 ； 由 知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， 对 恒成立， - 8 - ，即 ， 22. 解： ， ， 故切线方程是： ， 即 ， 故 ， 解得： ； 的定义域是 ， ，解得： ， ， ， 令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 递减，在 递增， 故 的最大值是 或 ， 而 ， 故函数的最大值是
