1、 1 安徽省池州市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知复数 cos sinzi?（ i 为虚数单位），则 zz?（ ） A cos2? B 1 C 2cos? D cos2 sini? 2.曲线 34y x x?在点 ( 1, 3)? 处的切线方程是（ ） A 74yx? B 4yx? C 72yx? D 2yx? 3.若函数 2()f x x bx c? ? ?的图象的顶点在第四象限，则函数 ()fx的图象是（ ）
2、 4.曲线 3 3y x x?和 yx? 围成图形的面积为（ ） A 4 B 8 C 10 D 9 5.已知函数 2013( ) sin xf x x e x? ? ?，令 1( ) ( )f x f x? ， 21( ) ( )f x f x? ，32( ) ( )f x f x? ， 1 ( )nnf f x? ? ，则 2014()fx? （ ） A sin xxe? B cos xxe? C sin xxe? D cos xxe? 6.函数 3( ) 4f x ex x?（ ? ?0,1x? ）的最大值是（ ） A 12 B 1? C 0 D 1 7.设 34xi? ，则复数 | |
3、(1 )z x x i? ? ? ?在复平面上的对应点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8.k 棱柱有 ()fk个对角面，则 1k? 棱柱的对角面个数 ( 1)fk? 为（ ） A ( ) 1f k k? B ( ) 1f k k? C ()f k k? D ( ) 2f k k? 2 9.函数 1sin sin 33y a x x?在 3x ? 处有极值，则 a 的值为（ ） A 6? B 6 C 2? D 2 10.下列求导运算正确的是（ ） A 1(2 ) 2xxx ? B (3 ) 3xxee?C 2211( ) 2xxxx? ? ?D2co s sin( )
4、co s (co s )x x x xxx?11.利用数学归纳法证 明不等式 1 1 11 ( )2 3 2 1n fn? ? ? ? ?（ 2n? ， *nN? ）的过程中，由 nk? 变到 1nk?时，左边增加了（ ） A 1 项 B k 项 C 12k? 项 D 2k 项 12.已知函数 32( ) ln ( 1 )f x x x x? ? ? ?，则对于任意实数 a ， ( 0)b a b? ，则( ) ( )f a f bab? 的值为（ ） A恒正 B恒等于 0 C恒负 D不确定 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在等比数
5、列 ?na 中，若前 n 项之积为 nT ，则有 323 ()nn nTT T?，那么在等差数列 ?nb 中，若前 n 项之和为 nS ，用类比的方法得到的结论是 14.已知函数 32( ) 2 1f x x x ax? ? ? ?在区间 (1,1)? 上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 15.若复数 213z i? ?，其中 i 是虚数单位，则 |z? 16.已知不等式 310xa? 的解集为 ( 1,2)? ，则 20 3(1 )dxxa? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.设复数 2(1 ) 3(1 )2iiz
6、i? ? ? ? ，若 2 1z az b i? ? ? ?，求实数 a ， b 的值 18.设函数 ( ) lnf x x x? 3 （）求 ()fx的单调区间； （）求 ()fx在区间 11,82?上的最大值和最小值 . 19.先观察不等式 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )a a b b a b a b? ? ? ?（ 1a 、 2a 、 1b 、 2b R? ）的 证明过程： 设平面向量 11( , )ab? ， 22( , )ab? ，则 2211| ab? ?， 22| ab? ?，1 2 1 2a a b b? ? ? . | | | | |
7、|? ? ? ? ? ? ， 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2|a a b b a b a b? ? ? ? ?， 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )a a b b a b a b? ? ? ?， 再类比证明： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )a b c a b c a a b b c c? ? ? ? ? ? ?. 20.已知函数 2( ) 1xf x e ax bx? ? ? ?，其中 a 、 bR? ， 2.71828e? 为自然对数的底数，()gx是函数 ()fx的导函数，求函
8、数 ()gx在区间 ? ?0,1 上的最大值 . 21.已知点列 ( ,0)nnAx ， *nN? ，其中 1 0x? ， 2xa? （ 0a? ）， 3A 是线段 12AA 的中点，4A 是线段 23AA的中点， nA 是线段 21nnAA?的中点， （）写出 nx 与 1nx? 、 2nx? 之间的关系式（ 3n? ）； （）设 1n n na x x?，计算 1a 、 2a 、 3a ，由此推测数列 ?na 的通项公式，并加以证明 22.设函数 ( ) ln ( 1) ( 2 )f x x x a x? ? ? ? （）若 2017a? ，求曲线 ()fx在 2x? 处的切线方程； （）
9、若当 2x? 时， ( ) 0fx? ，求 a 的取值范围 4 2016 2017 学年度第二学期期中教学质量检测高二数学试卷（理科）答案 一、选择题 1-5:BDABC 6-10:DBADB 11、 12： DA 二、填空题 13. 323( )n n nS S S? 14.1,7)? 15.1 16.2 3ln3? 三、解答题 17.解： 2(1 ) 3 (1 ) 2 3 3 3 ( 3 ) ( 2 ) 12 2 2 5i i i i i i izii i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 22(1 ) (1 )z a z b i a i b? ? ?
10、? ? ? ?2 ( ) ( 2 ) 1i a a i b a b a i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1,(2 ) 1,aba? ? ?解得 3,4.ab? ?18.解：（）由题意知，函数的定义域为 (0, )? ( ) lnf x x x? ， ( ) ln 1f x x?， 令 ( ) 0fx? ，得 1x e? ， 令 ( ) 0fx? ，得 1x e? ， 令 ( ) 0fx? ，得 10 x e? ， 所以 ()fx的单调递增区间为 1( , )e? ，单调递减区间为 1(0, )e （） 1 1 1 3 1( ) ln ln8 8 8 8 2f ?， 1
11、 1 1( ) ln2 2 2f ? ， 1 1 1 1( ) lnf e e e e? ? ?， 又 1 1 3 1ln ln2 2 8 2? ， 所以 ()fx在区间 11,82?的最大值为 31ln82，最小值为 1e? . 19.证明：设空间向量 111( , , )a b c? ， 222( , , )a b c? ? ，则 222111| a b c? ? ? ?，222| a b c? ? ? ?， 1 2 1 2 1 2a a b b c c? ? ? ?， | | | | | |? ? ? ? ? ? ， 5 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2
12、2|a a b b c c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )a a b b c c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? 20.解：（）由 2( ) 1xf x e ax bx? ? ? ?， 由 ( ) ( ) 2xg x f x e a x b? ? ? ?， ( ) 2xg x e a? 当 ? ?0,1x? 时， ? ?( ) 1 2 , 2g x a e a? ? ? 当 12a? 时， ( ) 0gx? ，所以 ()gx在 ? ?0,1 上单调递增， 因
13、此 ()gx在 ? ?0,1 上的最小值是 (0) 1gb? ； 当 2ea? 时， ( ) 0gx? ，所以 ()gx在 ? ?0,1 上单调递减， 因此 ()gx在 ? ?0,1 上的最小值是 (1) 2g e a b? ? ?； 当 122ea? 时，令 ( ) 0gx? ，得 ln(2 ) (0,1)xa?. 所以函数 ()gx在区间 ? ?0,ln(2 )a 上单调递减，在区间 (ln(2 ),1a 上单调递增， 于是 ()gx在 ? ?0,1 上的最小值是 (ln ( 2 ) 2 2 ln ( 2 )g a a a a b? ? ?； 综上所述，当 12a? 时， ()gx在 ?
14、?0,1 上的最小值是 (0) 1gb? ； 当 122ea? 时， ()gx在 ? ?0,1 上的最小值是 (ln ( 2 ) 2 2 ln ( 2 )g a a a a b? ? ?； 当 2ea? 时， ()gx在 ? ?0,1 上的最小值是 (1) 2g e a b? ? ?. 21.解：（）由题意，当 3n? 时，121 ()2n n nx x x?. （） 1 0x? ， 2xa? ，3 2 11 ()22ax x x? ? ?，4 3 213()24ax x x? ? ?， 1 2 1a x x a? ? ? ，2 3 2 2aa x x? ? ? ?，3 4 3 4aa x x
15、? ? ?， 推测：1( 2)n naa ? ?. 证明：对于任意 *nN? ， 1n n na x x?， 6 1 2 1 1 1 11 1 1( ) ( )2 2 2n n n n n n n n na x x x x x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又 1 0aa?， ?na 是以 a 为首项，以 12? 为公比的等比数列， 故 111()2 ( 2 )nn naaa ? ? ? ? ? ? 22.解：（）当 2017a? 时， ( ) ln ( 1) 2 0 1 7 ( 2 )f x x x x? ? ? ?， 则 ( ) ln ( 1 )
16、2 0 1 71xf x x x? ? ? ?， (2 ) 2 2 0 1 7 2 0 1 5f ? ? ? ?， 又 (2) 0 0 0f ?， 所以曲线 ()fx在 2x? 处的切线方程为 0 2015( 2)yx? ? ? ?，即 015 4030 0xy? ? ? （）由 ( ) 0fx? ，得 ln ( 1) ( 2 ) 0x x a x? ? ? ?，而 2x? ， 所以 ( 2)ln( 1) 0axx x? ? ?，设函数 ( 2 )( ) ln ( 1) axg x x x? ? ?（ 2x? ）， 于是问题转化为 ( ) 0gx? ，对任意的 2x? 恒成立 注意到 (2)
17、0g ? ，所以若 ( ) 0gx? ，则 ()gx单调递增， 从而 ( ) (2) 0g x g?，而 2221 ( 2 ) 2 ( 1 )( ) 1 ( 1 )a x a x x a xgx x x x x? ? ? ? ? ?， 所以 ()gx 0? 等价于 2 2 ( 1) 0x a x? ? ?， 分离参数得 2 11( 1 ) 22 ( 1 ) 2 1xaxxx? ? ? ? ?， 由均值不等式可得 11( 1) 2 221x x? ? ? ?， 当且仅当 2x? 时等号成立，于是 2a? . 当 2a? 时，设 2( ) 2 ( 1)h x x a x? ? ?， 因为 (2 ) 4 2 2 (2 ) 0h a a? ? ? ? ?，又抛物线 2( ) 2 ( 1)h x x a x? ? ?开口向上， 所以函数 2( ) 2 ( 1)h x x a x? ? ?有两个零点， 设两个零点为 1x ， 2x ，则 122xx? ， 7 于是当 2(2, )xx? 时， ( ) 0hx? ，故 ( ) 0gx? ，所以 ()gx单调递减，故 ( ) (2) 0g x g?， 这与题设矛盾，不合题意 综上， a 的取值范围是 ( ,2? .
