1、 - 1 - 北京师大附中 2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科） 说明：本试卷满分 150分，考试时间 120分钟 一、选择题（每小题 5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上） 1设集合 ? ?|1 3A x x? ? ?，集合 ? ?2|4B x x?，则集合 AB等于 ( ) A ? ?| 2 3xx? B ? ?|1xx? C ? ?|1 2xx? D ? ?|2xx? 2已知函数 ()y f x? 的图象关于 1x? 对称，且在 (1, )? 上单调递增，设 1()2af?，(2)bf? ， (3)cf? ，则
2、 ,abc的大小关系为 ( ) A c b a? B bac? C b c a? D abc? 3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A 2 siny x x? B 2 cosy x x? C 12 2xxy?D sin2y x x? 4设双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的虚轴长为 2，焦距为 23，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A 2yx? B 2yx? C 22yx? D 12yx? 5设全集 U是实数集 R， ? ?2|4M x x?， 2|11Nxx?，则下图中阴影部分所表示的集合是 ( ) - 2 - A ? ?| 2 1xx? ? ?
3、B ? ?| 2 2xx? ? ? C ? ?|1 2xx? D ? ?|2xx? 6 “ab0” 是 “ 222abab ? ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7当 1x? 时，关于函数 1() 1f x x x?，下列叙述正确的是 ( ) A函数 f(x)有最小值 2 B函数 f(x)有最大值 2 C函数 f(x)有最小值 3 D函数 f(x)有最大值 3 8定义在区间 a， b上的连续函数 y=f(x)，如果 , ab? ，使得( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a? ? ?，则称 ? 为区间 a， b上的 “
4、中值点 ” ，下列函数： ( ) 3 2f x x?； 2( ) 1f x x x? ? ?； ( ) ln( 1)f x x?； 31( ) ( )2f x x?中，在区间 O， 1上 “ 中值点 ” 多于一个的函数序号为 ( ) A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在答题纸上） 9已知复数 (1 ) 2z a i? ? ? 为纯虚数，则实 数 a=_ 10若 2( ) 2 4 lnf x x x x? ? ?，则 ( ) 0fx? 的解集为 _ 11已知函数23 2 , 1,() , 1,xxfx x ax x? ? ?，若 ( (0) 4f f a? ，则
5、实数 a=_ 12已知 0, 0, 2a b a b? ? ? ?，则 14y ab?的最小值是 _ 13已知函数 ()fx的导函数 ()fx的图像如图所示，给出以下结论： - 3 - 函数 ()fx在（ -2， -1）和 (1， 2)是单调递增函数； 函数 ()fx在 x=0 处取得极大值 f(0)； 函数 ()fx在 x=-1处取得极大值，在 x=1处取得极小值； 函数 f(x)在 (-2， 0)上是单调递增函数，在 (0， 2)上是单调递减函数 则正确命题的序号是 _（填上所有正确命题的序号） 14如图，矩形 ABCD与矩形 ADEF所在的平面互相垂直，将 DEF 沿 FD翻折，翻折后的
6、点 E（记为点 P）恰好落在 BC上，设 AB=1， FA =x(x1)， AD=y则当 x= 2 时， y有最小值 _ 三、解答题（共 80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（满分 13分）己知函数 ? ? 3 31f x x x? ? ? (I)求函数 f(x)的 极值： (II)求函数 f(x)在 0， 2上的最大值； 16（满分 13分）已知集合 A是函数 2lg(20 8 )y x x? ? ?的定义域，集合 B 是不等式222 1 0 ( 0 )x x a a? ? ? ? ?的解集， : , :p x A q x B? （ I）若 AB? ? ，求 a的取值范围
7、； （ II）若 p? 是 q的充分不必要条件，求 a的取值范围 17（满分 13分）设 F为抛物线 2:4C y x? 的焦点， A、 B是抛物线 C上的两个动点， O为坐标原点 (I)若直线 AB经过焦点 F，且斜率为 2，求线段 AB的长度 |AB|； - 4 - (II)当 OAOB 时，求证：直线 AB 经过定点 M(4， 0) 18（满分 14分）已知四棱锥 P-ABCD中， 底 面 ABCD 为正方形， PA 平面 ABCD， PA=AB=2，E， F分别是 PB,PD的中点 （ I）求证： PB 平面 FAC； （ II）求三棱锥 P-EAD的体积； （ III）求证：平面 E
8、AD 平面 FAC 19（满分 13分）已知椭圆 2229C x y?： ，点 P(2， 0) (I)求椭圆 C的短轴长与离心率； (II)过 (1， 0)的直线 l 与椭圆 C相交于 M、 N两点，设 MN的中点为 T，判断 |TP|与 |TM|的大小，并证明你的结论 20 （满分 14分） 已知函数 ? ? lnxfx x? (I)求函数在点 (1， 0)处的切线方程； (II)设实数 k使得 f(x)0 ，且 1 2 1 23, 1x x x x? ? ?, 所以 21 2 1 2 1 25 5 ( ) 4 5? ? ? ? ? ?A B x x x x x x - 6 - （ II）因
9、为 A， B是抛物线 C上的两点，所以设 22( , ), ( , )44tsA t B s， 由 OAOB ，得 2() 016stO A O B st? ? ? ?，所以 16st? 22( 4 , ) , ( 4 , ) ,44tsM A t M B s? ? ? ?由 22 ( ) ( 1 6 )( 4 ) ( 4 ) 04 4 1 6t s t s tsst ? ? ? ? ?，知 MA MB ，即直线 AB 经过定点 M（ 4,0） 18解：（ I）连接 BD，与 AC交于点 O，连接 OF， 在 PBD 中， O， F 分别是 BD， PD 中点， 所以 OFPB ， 又因为 O
10、F? 平面 FAC， -1分 PB? 平面 FAC， 所以 PB/平面 FAC， 说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分 （ II）法 1：因为 PA 平面 ABCD， AB,AD? 平面 ABCD， 所以 PAAB ， PAAD ， 又因为 ABAD ， PA AB A? ， PA,AB? 平面 PAB， 所以 AD 平面 PAB， 在直角 PAB 中， PA=AB=2， E为 PB中点， 所以 1PAES? ? ， 所以三棱锥 P-EAD 的体积为 1233P E A D P A EV S A D? ? ? ? 法 2：因为 PA 平面 ABCD，所以 PA为棱锥 P-ABD的高 因为
11、PA=AB=2，底面 ABCD是正方形， - 7 - 所以 1 1 1 42223 3 2 3P A B D A B DV S P A? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 E为 PB 中点，所以 PAE ABESS? ， 所以 1223P EAD P ABDVV? ? ? （ III）证明： 因为 AD 平面 PAB， PB? 平面 PAB， 所以 ADPB ， 在等腰直角 PAB 中， AEPB ， 又 AE AD A? ， AE,AD? 平面 EAD， 所以 PB 平面 EAD， 又 OFPB ， 所以 OF 平面 EAD， 又 OF? 平面 FAC， 所以平面 EAD 平面 FAC
12、 19解：（ I） 22:1992xyC ?，故 2 2 2999 , , ,22a b c? ? ? 有 3a? ， 3 22bc? 椭圆 C的短轴长为 2 3 2b? ，离心率为 22ce a? （ II）方法 1：结论是： TP TM? 当直线 l 斜率不存在时， : 1, 0 2l x T P T M? ? ? ? 当直线 l 斜率存在时，设直线 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , )l y k x M x y N x y? 2229( 1)xyy k x? ? ?，整理得： 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 9 0k x k x k? ? ? ? ? 2 2
13、 2 2 2( 4 ) 4 ( 2 1 ) ( 2 9 ) 6 4 3 6 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ? 故 221 2 1 24 2 9,2 1 2 1kkx x x x ? ? ?- 8 - 1 2 1 2( 2 ) ( 2 )P M P N x x y y? ? ? ? ? 21 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )x x k x x? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? 222 2 22 9 4( 1 ) ( 2 ) 42 1 2 1kkk k k? ?
14、 ? ? ? ? 2265021kk ? ?故 90MPN? ? ? ，即点 P在以 MN为直径的圆内，故 TP TM? （ II）方法 2：结论是 TP TM? 当直线 l 斜率不存在时， : 1, 0 2l x T P T M? ? ? ? 当直线 l 斜率存在时，设直线 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , ) , ( , )TTl y k x M x y N x y T x y? 2229( 1)xyy k x? ? ?，整理得： 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 9 0k x k x k? ? ? ? ? 2 2 2 2 2( 4 ) 4 ( 2 1 ) (
15、2 9 ) 6 4 3 6 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ? 故 221 2 1 24 2 9,2 1 2 1kkx x x x ? ? ?212 2212( ) , ( 1 )2 2 1 2 1T T Tkkx x x y k x? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 4 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ( 2 2 ) 4 9 4( 2 ) ( 2 ) ( )2 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )TT k k k k k kT P x y k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2
16、1 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 4 2 4 4? ? ? ? ? ? ? ?T M M N k x x k x x x x 2 2 2 2 4 2222 2 2 2 2 21 4 2 9 ( 1 ) ( 1 6 9 ) 1 6 2 5 9( 1 ) ( ) 4 4 2 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k kk k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?此时， 4 2 4 2 4 2222 2 2 2 2 21 6 2 5 9 4 9 4 1 2 1 6 5 0( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k
17、k kT M T P k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故 TM TP? 20解：（ I） 1yx?； - 9 - （ II）因为 0x? ，所以 lnx kxx ? 恒成立等价于2lnxk x?恒成立， 令2ln() xgx x?，再求函数2ln() xgx x?的最大值 ln 1() 2ege ee?，得 k的范围是12k e? ； （ III）由 ( ) ( ) 0h x f x kx? ? ?，得 ln 0x kxx ?，即 2ln 0x kx?，2lnxk x?， 研究函数2ln() xgx x?，2ln() xgx x?的最大值 ln 1() 2ege ee?， 2()gee ? ，21()gee?所以，当 12k e? 或者 2ke? 时，有 0个零点； 当 12k e? 或者 221eke? ? ?时，有 1个零点； 当2112kee?时，有 2个零点；
