1、 - 1 - 福州市八县（市）协作校 2017-2018学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷 【完卷时间： 120分钟；满分： 150分】 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分；在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 i是虚数单位，复平面内，复数 7 i3 4i对应点位于 ( * ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 A(1， 2,11)， B(4,2,3)， C(6， 1,4)三点，则 ABC是 ( * ) A直角三角 形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 3用反证法证明命题：“若 a， b? N， ab 能被 3
2、 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 3整除”时，假设应为 ( * ) A a， b都能被 3整除 B a， b都不能被 3整除 C a， b不都能被 3整除 D a不能被 3整除 4由 y 2x 5 是一次函数； y 2x 5 的图象是一条直线；一次函数的图象是一条直线写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是 ( * ) A B C D 5曲线 y 4x x3在点 ( 1， 3)处的切线方程是 ( ) A y 7x 4 B y x 4 C y 7x 2 D y x 2 6曲线 y x3 3x和 y x围成图形的面积为 ( * ) A 4 B 8 C 10 D 9
3、 7在复平面内，若复数 z满足 |z 1| |1 iz|，则 z在复平面内对应点的轨迹是 ( * ) A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 8在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1到截面 AB1D1的距离为 ( * ) A.83 B.38 C.43 D.34 9 已知函数 f(x) x3 ax2 x 1 在 (， )上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( * ) A (， 3) ( 3， ) B ( 3， 3) C 3， 3 D (， 3) 3， ) 10观察 (x2) =2x， (x4) =4x3，?， y=f(x)，由归纳推理可得：若定义在 R
4、 上的函数f(x)满足 f(-x)=f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(-x)=( * ) - 2 - A.g(x) B.-g(x) C.f(x) D.-f(x) 11 已知函数 f(x)的导函数 f (x) a(x b)2 c 的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是 ( * ) 12已知函数 f(x) x3 ln( x2 1 x)，则对于任意实数 a， b(a b 0)，则 ba bfa ? )()(f的值为 ( * ) A恒正 B恒等于 0 C恒负 D不确定 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分；将正确答案填在题中的横线上 ) 13若复数 z 21
5、 3i，其中 i是虚数单位，则 |z | _*_*_*_*_. 14正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD夹角的正弦值是 _*_*_*_ 15 请阅读下列材料： 若两个正实数 a1、 a2满足 a21 a22 1，那么 a1 a2 2.证明：构造函数 f(x) (x a1)2 (x a2)2 2x2 2(a1 a2)x 1.因为对一切实数 x，恒有 f(x) 0，所以 0，从而得 4(a1 a2)2 8 0，所以 a1 a2 2.类比上述结论，若 n个正实数满足 a21 a22? a2n 1，你能得到的结论 为 * * * * * * * * 16 观察下图中各正方
6、形图案，各边上有 n(n 2)个点，第 n个图中圆点的总数是 Sn. n 2， S2 4； n 3， S3 8； n 4， S4 12；? .按此规律，推出 Sn 与 n 的关系式为_*_*_*_*_*_*_*_*_*_*_ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )已知 a? R，问复数 z (a2 2a 4) (a2 2a 2)i 所对应的点在第几象限？复数 z对应点的轨迹是什么？ 18 (本小题满分 12分 )如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC中， AB AC， AB AC 2， A1A 4，点 D
7、是 BC的中点 (1)求异面直线 A1B与 C1D所成角的余弦值； - 3 - (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 19 (本小题满分 12分 ) (1)用分析法证明 :设 a， b， c为一个三角形的三边， S 12(a b c)，且 S2 2ab，求证：S 2a. (2)已知函数 f(x) ax x 2x 1(a1)，用反证法证明方程 f(x) 0没有负根 20 (本小题满分 12 分 )是否存在常数 a， b，使等式 错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。 +? +错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 对于一切 n? N*都成立？若不存在，说明理由；若
8、存在，请用数学归纳法证明 .(提示：可先令 n=1， 2 求出 a， b 的值再证明 ) 21 (12 分 )如图，有一个长方形地块 ABCD，边 AB 为 2km， AD 为 4km，地块的一角是湿地 (图中阴影部分 )，其边缘线 AC 是以 直线 AD为对称轴，以 A为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF， E， F 分别在边 AB， BC 上 (隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计 ).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位： km)， BEF 的面积为 S(单位：km2). (1)求 S 关于 t的函数解析式，并指出该函数的定义域 .
9、(2)是否存在点 P，使隔离出的 BEF面积 S超过 3km2？并说明理由 . - 4 - 22 (本小题满分 12分 )已知函数 f(x) lnx 12ax2 2x(a1)，用反证法证明方程 f(x) 0没有负根 证明： 设存在 x0 0(x0 1)满足 f(x0) 0， 则 ax0 x0 2x0 1，且 0 ax0 1. - 7 - 所以 0 x0 2x0 10 ，得 00) -1分 依题意 f (x) 0在 x0时恒成立，即 ax2 2x 1 0在 x0时恒成立， 则 a 1 2xx2 (1x 1)2 1在 x0时恒成立， 即 a (1x 1)2 1)min (x0)， -3分 当 x
10、1时， (1x 1)2 1取最小值 1， a的取值范围是 (， 1 -4分 (2)a 12， f(x) 12x b?14x2 32x lnx b 0. 设 g(x) 14x2 32x lnx b(x0)，则 g (x) xxx 2 )1)(2( ? .-5分 g(x)， g (x)随 x 的变化如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g (x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 g(x)极小值 g(2) ln2 b 2， g(x)极大值 g(1) b 54， 又 g(4) 2ln2 b 2， -7分 方程 g(x) 0在 1,4上恰有两个不相等的实数根则?0)4(0)2(0)
11、1(ggg ， 得 ln2 2b 54.-8分 (3)设 h(x) lnx x 1， x? 1， )，则 h (x) 1x 1 0， - 10 - h(x)在 1， )上为减函数 h(x)max h(1) 0，故当 x 1时有 lnx x 1.-10分 当 n 1时， a1 1 1成立； 假设 n k时， ak 2k 1，则当 n k 1时， 2k 1 1， ln(2k 1) (2k 1) 1 2k 2， ak 1 lnak ak 2 ln(2k 1) (2k 1) 2 (2k 2) (2k 1) 2 2k 1 1， 所以当 n k 1时结论也成立， 由得，对 ? n? N*有 an 2n 1成立 -12分
