1、 1 福建省福州市鼓楼区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 （完卷时间： 120分钟，总分： 150分） 一 、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 若复数 z 满足 iz 8610? ，（ i 为虚数单位），则 z 的虚部为 ( ) A. 4 B. 45 C. 4? D. 45?2物体运动的方程为 s 14t4 3，则 t 5时的瞬时速度为 ( ) A 5 B 25 C 125 D 625 3. 设 xR? ，则“ 12x?”是“ 21x?”的 ( ) A 充分 而不必要条件 B. 必要而不充分条件
2、 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 y 3x x3的单调递增区间是 ( ) A (0， ) B ( ， 1) C ( 1,1) D (1， ) 5. 已知等比数列 ?na 的前三项依次为 1a? ， 1a? ， 4a? ，则 na? ( ) A 342n?B 243n?C 1342n?D 1243n?6. 函数 y x2cos x的导数为 ( ) A y 2xcos x x2sinx B y 2xcos x x2sin x C y x2cos x 2xsin x D y xcos x x2sin x 7. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系， 统计 两科成绩
3、得到如图所示的散点图（两轴单位长度相 同），用回归直线?y bx a近似的刻画其相关关系，根 据图形，以下结论最有可能成立的是 ( ) A线性相关关系较强， b的值为 2 25 B线性相关关系较强， b的值为 0 83 C线性相关关系较强， b的值 为 0 87 D线性相关关系太弱，无研究价值 页脚 2 8.在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，若 5 22a b A B?，则 cosB? （ ） A 53B 54C 55D 569. 已知曲线 2 3ln4xyx? 的一条 切线的斜率为 12? ，则切点的横坐标为 （ ） A 2或 -3 B 2 C 4 D
4、e 10 极坐标方程 cos2 0? 表示的曲线为（ ） A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线 11. F 是双曲线 1916 22 ? yx 的左焦点，在 x 轴上点 F 的右 侧有一点 A ,以 FA 为直径的圆与双曲线左右两支在 x 轴上方的交点分别为 NM, ，则FAFMFN?的值为（ ） A.54 B.25 C.45 D. 52 12 数列 an满足 an+1 ( 1)n an 2n 1，则 an的前 60 项和为 ( ) A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。） 13.如果执行如图的程序框图，那么输出
5、的值是 _ 14已知 ABC的三个内角 A、 B、 C成等差数列，且边 a=4， c=3，则 b=_ 15. 过点 (3， 2)且与曲线? x 3cos ，y 2sin ( 为参数 )有相同焦点的椭圆方程是 _ 3 16.已知函数 ?fx的导函数为 ?fx? ，若 ? ? ? ? ? ? ? ?2 s in , 0 , 6 , 2x f x xf x x x f ? ? ? ? ?，则下列结论正确的是 _ . ?xf x 在 ? ?0,6 单调递减 . ?xf x 在 ? ?0,6 单调递增 . ?xf x 在 ? ?0,6 上有极小值 2? . ?xf x 在 ? ?0,6 上有极大值 2?
6、 三、 解答题： （ 本 大题共 6小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. （本题 12分） ABC? 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2 c o s ( c o s c o s ) .C a B + b A c? （ I）求 C； （ II）若 7,c ABC?的面积为 332 ,求 ABC? 的周长 18. （本题 12分） 某数学教师对所任教的两个班级各抽取 20 名学生进行测试，分数分布如 右 表： （） 若成绩 120分以上 （含 120分） 为优 秀，求从乙班参加测试的 90分 以上 （含 90分） 的同学中，随机任取 2名同学，
7、求 恰有 1 人为优秀的概率 ； （） 根据以上数据完成下面的 2 列联表： 在犯错概率小于 0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？ 分数区间 甲班频率 乙班频率 )30,0 0.1 0.2 )60,30 0.2 0.2 )90,60 0.3 0.3 )120,90 0.2 0.2 150,120 0.2 0.1 优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828? ?2 0PK k? ?2 0PK?0.150.100.050.0250.0100.0050.0014 ? ? ? ? ? ? ?
8、? ?22 n ad bcK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中n a b c d? ? ? ?19. （本题 12分） （本 小 题满分 12分 ） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上 部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O到底面中心 1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 20.（本题 12分） 已知函数 xxxf ln2)( 2 ? ， axxxh ? 2)( () 求函数 )(xf 的极值 ; () 设函数 )()()( xhxfxk ? ,若函数 )(xk 在 1,3上恰有两个不同的零点 ,求实数 a的取值范
9、围 . 21.（本题 12分） 已知点 F 为抛物线 2: 2 ( 0)E y px p?的焦点 ,点 (2, )Am在抛物线 E 上 ,且 3AF? . () 求抛物线 E 的方程 ; () 已知点 ( 1,0)G? ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明 :以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 ,必与直线 GB 相切 . 22.（本题 10分） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x轴的正半轴重合直线 l的参数方程是 （ t为参数），曲线 C的极坐标方程为 = sin（ ） （ ）求曲线 C的直角坐标方 程； （ ）设直线 l与曲线 C相交于 M、 N两
10、点，求 M、 N两点间的距离 5 高二年级期中 考数学科考试（文）（答案） （完卷时间： 120分钟，总分： 150分） 一、 选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C C A B B B D A D 二、填空题： （本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 21 . 14. 1315. x215y210 1 16. . 三、解答题： （本题共 6小题，共 70分） 17.（本题 12分） 18.（本题 12分） 解：（ I）乙班参加测试的 90 分以上的同学有 6人，记为 A、 B、 C
11、、 D、 E、 F 成绩优秀的记为 A、 B 从这六名学生随机抽取两名的基本事件有： A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， B， C， B， D， B， E， B， F， C， D， C， E， C， F， D， E， D， F， E， F共 15个 ?3 分 设事件 G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有 A， C， A， D， A， E， A， F， B， C， B， D， B， E， B， F共 8个 ?5 分 所以 158)( ?GP ?6 分 得分 6 （ II） ?8 分 706.27843.02020346 )162184(40 2 ? ?k ?10
12、分 在犯错概率小于 0.1 的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系 ?12 分 19.（本题 12分） 分析： 本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设 1OO 的长度会比较简便。 解：设 1 ()OO x m? , 则 由 题设 可得 正 六 棱锥 底 面边 长为2 2 23 ( 1 ) 8 2x x x? ? ? ? ?（单位： m）。 于是底面正六边形的面积为（单位： m2）： 2 2 2 2 23 3 33 ( 1 ) 6 ( 8 2 ) ( 8 2 )42x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 帐篷的体积为（单位： m3）：
13、233 3 1 3( ) ( 8 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 6 1 2 )2 3 2V x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 求导数，得 23( ) (1 2 3 )2V x x? ?； 令 ( ) 0Vx? ? 解得 x=-2(不合题意，舍去 ),x=2。 当 10,令 f (x)=0,得 x=1.1分 f (x),f(x)随 x的变化情况如下表所示 : x (0,1) 1 (1,+ ) f (x) - 0 + f(x) 极小值 优秀 不优秀 总计 甲班 4 16 20 乙班 2 18 20 总计 6 34 40 7 所以 f(x)的极小值为 f(1)=1,无极大值 .
14、 6 分 (2)因为 k(x)=f(x)-h(x)=-2ln x+x-a,所以 k (x)=-错误 !未找到引用源。 +1,x0, 令 k (x)=0,得 x=2.当 x 1,2)时 ,k (x)0. 故 k(x)在 1,2)上单调递减 ,在 (2,3上单调递增 , 所以 错误 !未找到引用源。 即 错误 !未找到引用源。 所以 2-2ln 2a 3-2ln 3 12 分 21、（本题 12分） (I)由抛物线的定义得 F22p? ? ? . 因为 F3?,即 232p?,解得 2p? ,所以抛物线 ? 的方程为 2 4yx? . 4 分 (II)因为点 ? ?2,m? 在抛 物线 :? 2
15、4yx? 上 , 所以 22m? ,由抛物线的对称性 ,不妨设 ? ?2,2 2? . 由 ? ?2,2 2? , ? ?F1,0 可得直线 F? 的方程为 ? ?2 2 1yx?. 由 ? ?22 2 14yxyx? ?,得 22 5 2 0xx? ? ? ,解得 2x? 或 12x? ,从而 1,22?. 又 ? ?G 1,0? ,所以 ? ?G 2 2 0 2 22 1 3k ? ?,? ?G2 0 2 21312k ? ? ?, 所以 GG0kk?,从而 GF GF? ? ,这表明点 F 到直线 G? ,G? 的距离相等 , 故以 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G? 相切
16、 . 解法二 :(I)同解法一 . (II)设以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆的半径为 r .因为点 ? ?2,m? 在抛物线 :? 2 4yx? 上 , 所以 22m? ,由抛物线的对称性 ,不妨设 ? ?2,2 2? . 由 ? ?2,2 2? , ? ?F1,0 可得直线 F? 的方程为 ? ?2 2 1yx?. 由 ? ?22 2 14yxyx? ?,得 22 5 2 0xx? ? ? ,解得 2x? 或 12x? ,从而 1,22?. 又 ? ?G 1,0? ,故直线 G? 的方程为 2 2 3 2 2 0xy? ? ?,从而 2 2 2 2 428 9 1 7r?. 8 又直线 G? 的方程为 2 2 3 2 2 0xy? ? ?, 所以点 F 到直线 G? 的距离 2 2 2 2 428 9 1 7dr? ? ?. 这表明以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G? 相切 . 12分 22（本题 10分） 解：（ 1）将曲线 C的极坐标方程化为 = sin（ ） =cos +sin 两边都乘以 ，得 2=cos +sin 因为 x=cos ， y=sin ， 2=x2+y2代入上式，得方求曲线 C的直角坐标方程为： x2+y2 x y=0 4分 （ 2）直线 l的参数方程是 （ t为参数），消去参数 t得普通方程： 4x 3y
