1、 1 2017年春高二年期中考试理科数学试卷 考试时间： 120分钟 满分： 150分 一选择题（每题 5分，共 60分） 1 i是虚数单位， 52ii? =?（ ） A 1+2i B -1-2i C 1-2i D -1+2i2 设 2 ( 0 1)()2 (1 2 )xxfx xx? ? ? ? ? ?，则 20 ()f xdx?等于 ?（ ） A 34 B 45 C 56 D不存在 3. 设 xxy sin1 2? ，则 ?y ?（ ） A x xxxx22s in c o s)1(s in2 ? B x xxxx22s in c o s)1(s in2 ? C x xxx sin )1(
2、sin2 2? D x xxx sin )1(sin2 2? 4. 用火柴棒摆 “ 金鱼 ” ，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个 “ 金鱼 ” 图需要火柴棒的根 数为 ?（ ） A 62n? B 82n? C 62n? D 82n? 5. 函数 xexxf )3()( ? 的单调递增区间是 ?（ ） A. )2,(? B (0,3) C (1,4) D. ),2( ? 6. 对于 R 上可导的任意函数 ()fx，若满足 ( 2) ( ) 0x f x?，则必有 ?（ ） A. (2) (0) ( 3)f f f? ? ? B. ( 3) (0) (2)f f f? ? ? C. (0)
3、(2) ( 3)f f f? ? ? D. (2) ( 3) (0)f f f? ? ? 7 若函数 3 2 1(0 2 )3xy x x? ? ? ? ?的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? ，则 ? 的最小值? 2 是?（ ） A. 4? B. 6? C. 56? D. 34? 8. 从 10 名大学生毕业生中 选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 ?（ ） A 85 B 56 C 49 D 28 9 设 f （ x）是函数 f（ x）的导函数，将 y=f（ x）和 y=f （ x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的 ? （ ） A B
4、 C D 10 2位男生 和 3位女生共 5位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ?（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 11 已知函数2( ) log ( 2 ) 2xf x a x? ? ? ?，若()fx存在零点，则实数a的取值范围是?（ ） A.4, )?B.1,C.2, )?D. ( , 4 4, )? ? ?12. 在 R 上的可导函数 cbxaxxxf ? 22131)( 23 ， 极大值点 )1,0(1?x ，极小值点 )2,1(2?x ，则 12?ab 的 取值范围是 ?（ ） A )41,21(? B )2
5、1,21(? C )1,41( D )1,21( 二、填空题 :（每小题 5分，共 20 分 ） 13. 3 22 1 ( 3)x dx?= 14 曲线 21xy x? ? 在点 ? ?1,1 处的切线方程为 15 已知复数23(1 3 )iz i? ?，z是 z的共轭复数，则zz?= 16 将标号为 1， 2， 3， 4， 5， 6的 6张卡片放入 3个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号3 为 1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 三解答题（ 6 题共 70分） 17、 （ 10 分） 已知曲线 21:2C y x? 与 22 1: 2C y x?.求两条曲 线 所 围图形（
6、如图所示阴影部分）的面积 S. 18、（ 10 分） 已知 0,0 ? ba 且 2?ba ，求证： baab ? 1,1 中至少有一个小于 2. 4 19、（ 10 分） 已知函数 ? ?2,1,32 23 ? xxxxy ，求此函数的 （ 1）单调区间； （ 2）值域 . 20、（ 13 分） 用数学归纳法证明： 12 13 14 ? 12n 1n 22 (n2) 21、（ 13分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 803? 立方米，且 2lr? .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 .已知圆柱形
7、部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为( 3)cc? 千元 .设该容器的建造费用为 y 千元。 （）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小值时的 r . 5 22、（ 14 分） 设函数 ? ? ? ?2 1f x x aIn x? ? ?有两个极值点 12xx、 ，且 12xx? （ I） 求 a 的取值范围，并讨论 ?fx的单调性； （ II）证明： ? ?2 1 2 24Infx ?6 2017 年春高二年期中考试理科数学试卷（答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C D A
8、 D C D C A C 13. 4? 14. 02?yx 15. 41 16. 18 17. 34 18.(略 ) 19.（ 1）增区间： ? 31,1， ? ?2,1 减区间 ? 1,31（ 2）值域： ? ?5,1? 20.证明 当 n 2时，左 120右， 不等式成立 假设当 n k(k2 ， k N*)时，不等式成立 即 12 13 ? 12k 1k 22 成立 那 么 n k 1时， 12 13 ? 12k 1 12k 1 1 ? 12k 1 2k 1 k 22 12k 1 1 ? 12kk 22 12k 12k ? 12k k 22 2k 12k (k 1) 22 ， 当 n k
9、 1时，不等式成立 据 可知，不等式对一切 n N*且 n2 时成立 21. （ 1）设容器的容积为 V ， 由题意知 2343V r l r?，又 803V ? ， 故 32 2 24 8 0 4 4 2 03()3 3 3Vrl r rr r r? ? ? ? ? 由于 2lr? ， 因此 02r? 所以建造费用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 43y r l r c r r r cr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此 2 1604 ( 2) , 0 2y c r rr ? ? ? ? ? 7 （ 2）由（ 1）得， 3221 6 0 8 ( 2) 2 0 8 (
10、2) ( ) , 0 22cy c r r rr r c? ? ? ? ? ? ? ?由于 3c? ，所以 20c?， 当 3 20 02r c? 时， 3 202r c? ?令 3 202rmc?，则 0m? 所以 2228 ( 2) ( ) ( )cy r m r r m mr? ? ? ? ? 当 02m?即 92c? 时， 当 rm? 时， 0y? 当 (0, )rm? 时， 0y? 当 ( ,2)rm? 时， 0y? 所以 rm? 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 . 当 2m? 即 93 2c? 时 当 (0,2)r? 时， 0y? ，函数单调递减， 所以， 2r? 是函数 y
11、 的最小值点 . 综上所述，当 93 2c? 时，建造费用最小时 2r? 当 92c? 时，建造费用最小时 3 202r c? ? 。 22 （ I） ? ? 2222 ( 1 )11a x x af x x xxx? ? ? ? ? ? 令 2( ) 2 2g x x x a? ? ?，其对称轴为 12x? 。由题意知 12xx、 是方程 ( ) 0gx? 的两个均大于1? 的不相等的实根，其充要条件为 4 8 0( 1) 0aga? ? ? ?，得 10 2a? 当 1( 1, )xx? 时， ? ? 0, ( )f x f x? ? 在 1( 1, )x? 内为增函数； 当 12( ,
12、)x x x? 时， ? ? 0, ( )f x f x? ? 在 12( , )xx 内为减函数； 当 2,()xx? ? 时， ? ? 0, ( )f x f x? ? 在 2,()x ? 内为增函数； 8 （ II）由（ I）21(0 ) 0 , 02g a x? ? ? ? ? ?， 222(2 )a x x? +2 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2 21 ( 2 ) 1f x x a l n x x x x l n x? ? ? ? ? ? ?+2 设 ? ? ? ?22 1( 2 2 ) 1 ( )2h x x x x ln x x? ? ? ? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ?2 2 ( 2 1 ) 1 2 2 ( 2 1 ) 1h x x x l n x x x l n x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 1( ,0)2x? 时， ? ? 0, ( )h x h x? ? 在 1 ,0)2? 单调递 增； 当 (0, )x? ? 时， ? ? 0hx? ? ， ()hx 在 (0, )? 单调递减。 ? ?1 1 1 2 l n 2( , 0 ) , ( )2 2 4x h x h ? ? ? ? ? ?当 时 故 ? ?22 1 2 2() 4Inf x h x ?
