1、 1 2017年春高二期中考试数学 (文 )科试卷 考试时间： 120分钟 满分： 150分 一、 选择题（本题共 12题，每题 5分，共 60分） 1在复平面内，复数 iiz ?1 对应的点在（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 用三段论 推理命题 ：“任 何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 2 0a? ”，你认为这个推理（ ） A大前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的 3设有一个回归方程为 ,32? xy ? 变量 x 增加一个单位时，则 ( ) A.y 平均增加 2个单位 B.y 平均减少 3个单位 C.y 平均减少 2个单位 D.y 平
2、均增加 3个单位 4点 M 的直角坐标是 ( 1, 3)? ，则点 M 的极坐标为 ( ) A (2, )3? B (2, )3? C 2(2, )3? D、 2(2, ),3? ?k k z 5 已 知集合 ,1| 2 RxxyyM ? ， 2 | 4 N x y x? ? ?，则 ?NM? （ ） A. 1,2? B. ),1 ? C. 2, )? D. ? 6命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是 ( ) A有两个内角是钝角 B有三个内角是钝角 C至少有两 个内角是钝角 D没有一个内角是钝角 7将参数方程 222 s in ()s inxy ? ? ? ? 为 参 数化为普
3、通方程为 ( ) A 2yx? B 2yx? C 2(2 3)y x x? ? ? ? D 2(0 1)y x y? ? ? ? 8极坐标方程 cos 2 sin 2? ? ? 表示的曲线为（ ） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 A 0 B 1 C 2 D 3 9已 知命题 1: ?xp ；命题 成立不等式 02: 2 ? xxq ，则命题 p 的（ ）是命题 q . 2 A 充分而不必要条件 B充要 条件 C必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 10若 7p a a? ? ?， 3 4 ( 0 )q a a a? ? ? ? ?， 则 ,pq的大小关系是
4、( ) A pq? B pq? C pq? D由 a 的取值确定 11.下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 2 1x? ，则 1x? ”的否命题为：“若 2 1x? ，则 1x? ” B“ 1x ? ”是“ 2 5 6 0xx? ? ? ”的必要不充分条件 C命题“ xR? 使得 2 10xx? ? ? ”的否定是：“ xR? 均有 2 10xx? ? ? ” D 已知命题 ? ?: 0,1 , e xp x a? ? ?，命题 :qx?R ，使得 2 40x x a? ? ? 若命题“ qp? ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ? ? ? ?, 4,e? ? ? 12.设函数
5、2( ) ln ( 1 )f x x x? ? ?，则对任 意实数 a ， b ， 0ab? 是 ( ) ( ) 0f a f b?的 ( ) A充分而非必要条件 B充分必要条件 C必要而非充分条件 D既非充分也非必要条件 二 填空题 (本题共 4题，每题 5分，共 20分 ) 13若复数 2(1 )ai? (i 为虚数单 位， aR? )是纯虚数，则复数 1ai? 的模是 . 14 在同一平面直角坐标系中，由曲线 xy tan? 变 成 曲 线 tan32yx? 的伸缩变换 . 15 在直角坐标系 x0y 中，直线 l 的参数方程为 ? ?12 为 参 数2322xttyt? ? ?，若以直
6、角坐标系x0y 的 O 点为极点， 0x 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程为2 cos( )4?若直线 l与曲线 C交于 A， B两点，则 AB = _ 16已知 2 2 3 3 4 42 2 , 3 3 , 4 4 , , 6 63 3 8 8 1 5 1 5 aatt? ? ? ? ? ? ? ?，若 ,at均为正实数，则由以上等式，可推测 at? . 三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分 ) 17 （ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，3 已知在极坐标系中， ），（），（ 33233 ? B
7、A ，圆 C 的方程为 ? cos2? （ 1）求在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的标准方程； （ 2）已知 P 为圆 C 上的任意一点，求 ABP? 面积的最大值 . 18.（ 12 分） ? ? ? ? ? ?23 1 0 , 9 1 4 0 , 5 2A x x B x x x C x m x m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已 知 集 合 （ ） 求 ? ?,A B C A BR ； （ ） ? ?若 是 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ? ? ?x C x A B 19.（ 12 分） 某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查
8、了 120 人，其中女性 70 人，男性 50人女性中有 40人主要的休闲方式是看电视，另外 30 人主要的休闲方式是运动；男性中有 20人主要的休闲方式是看 电视，另外 30 人主要的休闲方式是运动 （ 1）根据以上数据建立一个 22 列联表； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为 “ 性别与休闲方式有关系 ” ？ 附： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ?n a d b cK a b c d a c b dP（ K2 k） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.
9、879 10.828 4 20 (满分 12 分 ) 过点 10( ,0)2P 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 2221?xy交于点 ,MN，求PM PN? 的最小值及相应的 ? 的值。 21 (本题 12分 ) 已知 ,abc是全不相等的正实数，求证 3?c cbab bcaa acb22 (本题 12分 ) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： 2 0 2 0 0 0s i n 1 3 c o s 1 7 s i n 1 3 c o s 1 3?； 2 0 2 0 0 0s i n 1 5 c o s 1 5 s i n 1 5 c o s 1 5?； 2 0 2
10、 0 0 0s i n 1 8 c o s 1 2 s i n 1 8 c o s 1 2?； 2 0 2 0 0 0s i n ( 1 8 ) c o s 4 8 s i n ( 1 8 ) c o s 4 8? ? ? ?； 2 0 2 0 0 0s i n ( 2 5 ) c o s 5 5 s i n ( 2 5 ) c o s 5 5? ? ? ? (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据 (1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 。 5 一、 CADCA CCCAC DB 二 、 13、 2 14、 123xxyy? ? ?15、 102
11、 16、 41 17. （本小题满分 10 分） 解：（ 1）由 ? cos2? ， 可得： ? cos22 ? ，所以 xyx 222 ? 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： 11- 22 ? yx ）（ ? ? 4分 （ 2）在直角坐标系中 ），（），（ 2 3323330 BA 所以 3)332 33()023( 22 ?AB ，直线 AB的方程为： 333 ? yx 所以圆心到直线 AB的距离 34333 ?d ，又圆 C的半径为 1， 所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 13? 故 ABP? 面积的最 大值为 2 33331321 ? ）（S ? 10分 18. ? ?
12、? ? ? ?2| 9 1 4 0 | ( 2 ) ( 7 ) 0 | 2 7B x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 ： （ ） ? 2分 ? ?| 3 7A B x x? ? ? ? ? 3分 ? ? ? ? ? ? ?= 3 10 = 3 10 47 10 6A x x C A x x xC A B x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?RR又 或 分或 分 （ ） 由（ ）知， ? ?| 3 7A B x x? ? ? ? ? ? ? ?x C x A B C A B? ? ? ? ? ?是 的 充 分 不 必 要 条 件 ，? 7分 当
13、 C? 时，满足 ? ?C A B? ,此时 52mm? ，解得 53m?；? 9分 当 C? 时，要使 ? ?C A B? ,当且仅当 5 2 ,5 3,2 7,mmmm?解得 5 23 m? 11分 6 综上所述，实数 m 的取值范 围为 ? ?,2? 12分 19. （本小题满分 12 分） 解：（ 1）根据题意，建立 2 2列联表，如下； 看电视 运动 合计 女性 40 30 70 男性 20 30 50 合计 60 60 120 6分 （ 2）计算观测值 ； 所以在犯错误的概率不超过 0.025的前提下， 没有找到充足证据证 明“性别与休闲方式有关系” 12分 20 解：设直线为 1
14、0 c o s ()2sinxt tyt? ?为 参 数， 3分 代入曲线并整理得 22 3(1 s i n ) ( 1 0 c o s ) 02tt? ? ? ? 5分 则 122321 s inP M P N t t ? ? ? ? 8分 所以当 2sin 1? 时，即 2? ， PM PN? 的最小值为 34 ，此时 2? 。 12分 21法 1：（分析法） 要证 3? c cbab bcaa acb 7 只需证明 1 1 1 3b c c a a ba a b b c c? ? ? ? ? ? ? ? ? 即证 6b c c a a ba a b b c c? ? ? ? ? ?2分
15、而事实上，由 a， b， c是全不相等的正实数 2 ， 2 ， 2b a c a c ba b a c b c? ? ? ? ? ?8分 6b c c a a ba a b b c c? ? ? ? ? ? 3b c a a c b a b ca b c? ? ? ? ? ? ? ?得证。 12分 证法 2：（综合法） a， b， c全不相等 ab与ba，ac与ca，bc与cb全不相等。 2 ， 2 ， 2b a c a c ba b a c b c? ? ? ? ? ? 三式相加得 6b c c a a ba a b b c c? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3b
16、 c c a a ba a b b c c? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 3b c a a c b a b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? 22 解法一： (1)选择式，计算如下： sin215 cos215 sin15 cos 15 11 sin302 ? 1 14 34 3分 (2)三角恒等式为 sin2? cos2(30 ? ) sin? cos(30 ? ) 34 6分 证明如下： sin2? cos2(30 ? ) sin? cos(30 ? ) sin2? (cos 30 cos ? sin30 sin? )2 sin? (cos 30 cos ? sin30
17、sin? ) 8 2 2 2 23 3 1 3 1s i n c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i n4 2 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? 223 3 3sin c o s4 4 4? 12分 解法二 ： (1)同解法一 (2)三角恒等式为 sin2? cos2(30 ? ) sin? cos(30 ? ) 34 证明如下 ： sin2? cos2(30 ? ) sin? cos(30 ? ) 1 c o s 2 1 c o s (6 0 2 )22? ? ? ? sin? (cos30 cos? sin30 sin? ) 1 1 1 1co s 22 2 2 2? ? ?(cos60
