1、 1 福建省永安市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题（每小题 5 分共 60 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1复数 3 2i2 3i ( ) A 1 B 2 C i D i 2.某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用 2 2列联表进行独立性研究，经计算 K2=7.069，则至少有（ ）的把握认为 “ 学生的视力与座位有关 ” 附： P（ K2 k0） 0.100 0.050 0. 025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A 95% B 99% C 97.5% D
2、 90% 3.某班有 50 名学生，一次考试的成绩 （ N）服从正态分布 N（ 100， 102）已知 P（ 90100 ） =0.3,估计该班数学成绩在 110分以上的人数为（ ） A 10 B 20 C. 30 D 40 4为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5对父子的身高数据如下： 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177 则 y对 x的线性回归方程为 ( ) A y x 1 B y x 1 C y 88 12x D y 176 5. 以双曲线 1916 22 ? yx 的右顶点为焦点的抛物线的标准
3、方程为 （ ） A xy 162 ? B xy 122 ? C xy 82? D xy 82 ? 6在 ABC中， “ AB AC 0” 是 “ ABC为锐角三角形 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7在 10个球中有 6个红球和 4个白球，不放回的依次摸出 2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为 ( ) A.35 B.25 C.13 D.59 8箱子里有 5 个黑球， 4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球那么在第 4次取球之后停止的概率为 ( ) A.C35C14C4
4、5 B C14(59)3 49 C (59)3 49 D.3514 2 9在 ? ?52 23 ? xx 的展开式中 x的系数为 ( ) A 160 B 240 C 360 D 800 10直三棱柱 111 CBAABC? 中，侧棱长为 ，2 ,1?BCAC ?90?ACB ,D 是 11BA 的中点， F 是 1BB 上的动点 , 1AB ,DF 交于点 E ,要使 1AB 平面 DFC1 ， 则线段 FB1 的长为 ( ) A 21B 1 C 23D 2 11已知集合 A 5， B 1,2， C 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (
5、 ) A 36 B 35 C 34 D 33 12. 如图， H 为四棱锥 ABCDP ? 的棱 PC 的三等分点， 且 HCPH 21? ，点 G 在 AH 上， mAHAG ? .四边形 ABCD 为 平行四边形，若 DPBG , 四点共面， 则 实数 m 等于（ ） A 41 B 34 C 43 D 21 二、填空题（每小题 5 分，四题共 20分。答案请写在答题卡上） 13. 612 ? ? xx的二项展开式中的常数项为 _. 14.已知函数 xxfxf s inco s4)( ? ?，则 ?4?f的值为 15.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4人 ,每人至
6、少 1张 ,如果分给同一人的2 张参观券连号 ,那么不同的分法种数是 _. 16抛物线 y2=2px（ p 0）的焦点为 F，准线为 l ， A、 B为抛物线上的两个动点，且满足3?AFB ，设线段 AB 的中点 M在 l 上的投影为 N，则 ABMN 的最大值为 三、解答题 ( 共 70分 17题 10分 18-22各 12分 解答时应按要求写出证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 10 分） 用数学归纳法 证明不等式 ? ?*12 12 124321 Nnnnn ? ?3 18（本小题满分 12分） 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m的严重问题，为了了解强度 D(单位：分贝
7、 )与声音能量 I（单位： W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度 Di和声音能量 Ii(i=1.2?，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 (I)根据表中数据，求声音强 度 D关于声音能量 I的回归方程 D=a+blgI; ( )当声音强度大于 60 分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点 P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是 I1和 I2，且 10121110II? 已知点 P的声音 能量等于声音能量 Il与 I2之和请根据 (I)中的回归方程，判断 P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由 附：对于一组数据（ l， 1），（ 2， 2），?（
8、n， n），其回归直线 = +的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 19 （本小题满分 12分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%.生产 1件甲产品，若是一等品则获得利润 4万元，若是二等品则4 亏损 1万元；生产 1件乙产品，若是一等品则获得利润 6万元，若是二等品则亏损 2万元，设生产各种产品相互独立 (1)记 X(单位：万元 )为生产 1件甲产品和 1件乙产品可获得的总利润，求 X的分布列； (2)求生产 4件甲产品所获得的利润不少于 10万元的概率 20.（本小题满分 12分） 四棱锥 E- ABCD
9、 中， ABD 为正三角形， BCD=120 ， CB=CD-CE=1， AB=AD=AE= 3 ，且EC BD (1)求证：平面 BED平面 AEC; (2)求二面角 D-BM-C 的平面角的余弦值 21.（本小题满分 1 2 分） 已知函数 mmxxxf ? ln)( . (1)求函数 )(xf 的单调区间； (2)若 0)( ?xf f(x) 0在 x （ 0， + ）上恒成立，求实数 m 的取值范围 22.（本小题满分 1 2 分） 已知椭圆 C: 22xyab? =1（ a0， b0）的离心率为 32 ，点 A(1， 32 )在椭圆 C上 (1)求椭圆 C的方程； (2)设动直线 l
10、 与椭圆 C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O为圆心的圆，满 足此圆与 l 相交于两点 P1， P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线 OP1， OP2的斜率之 积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 5 永安一中 2016 2017学年高二（下）期中考试 数学（理科）试卷参考答案 一、选择题（每小题 5 分共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A C A B D C B A D C 二、填空题（每小题 5 分，四题共 20分） 13.60 14.1 15.96 16.1 三、解答题 ( 共 70分 17题 10 分 18
11、-22各 12分 ) 17.证明 (1)当 n 1 时，左边 12，右边 13，显然 12 13，不等式成立 ? 2分 (2)假设 n k时，不等式成立，即 12 34? 2k 12k 12k 1， 则 n k 1时， 1234?2k 12k 2k 12k 212k 12k 12k 22k 12k 2 ， ? 6分 要证 n k 1时，不等式成立，只要 2k 12k 2 12k 3成立 即证 (2k 1)(2k 3)(2k 2)2. 即证 4k2 8k 34k2 8k 4. 该不等式显然成立即 n k 1时，不等式成立 ? 9分 由 (1)(2)知， 对任意的正整数 n，不等式成立 ? 10
12、分 18. 解：（） 根据散点图 ， lgD a b I? 适合作为 声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 令 ii Iw lg? ，先建立 D关于 I的线性回归方程，由于 1051.0 1.5)()(?1012101 ?iiiiiwwDDwwb 7.160? ? wbDa D关于 w的线性回归方程是： 7.16010? ? wD ? 5分 D关于 I的线性回归方程是： 7.160lg10? ? ID ? 6分 （）点 P 的声音能量 12I I I?， 1021 1041 ? II1 0 1 0 1 0211 2 1 21 2 1 24141 0 ( ) ( ) 1 0 ( 5 ) 9
13、 1 0III I I I II I I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 根据（）中的回归方程，点 P 的声音强度 D 的预报值： 607.609lg107.160)109lg (10? 10 ? ?D , 点 P 会受到噪声污染的干扰 . ? 12分 19.解 (1)由题设知， X 可能取值为 10,5,2， 3， ? 2分 P(X 10) 0.80.9 0.72， P(X 5) 0.20.9 0.18， P(X 2) 0.80.1 0.08， P(X 3) 0.20.1 0.02? 6分 由此得 X的分布列为 X 10 5 2 3 P 0.72 0.18 0.08
14、0.02 ? 7分 (2)设生产的 4件甲产品中一等品有 n件，则二等品有 4 n件 由题意知， 4n (4 n)10 ，解得 n 145，又 n N，得 n 3，或 n 4? 9分 所以 P C340.8 30.2 C440.84 0.8192.故所求概率为 0.8192? 12分 20.解（ 1）由于 ABD?为正三角形， BCD=120o， CB=CD=CE=1， 故连接 AC交 BD于 O点，则 ADCABC ? DACBAC ? BDAC? ，又 EC BD， EC AC=C， 故 BD面 ACE，所以平面 BED平面 AEC? 4分 （ 2）由（ 1）知 AC BD，且 CO=21
15、 ， AO=23 ，连接 EO，则 21ACCECECO ? ， CEACOE ? 又0222 904 ? C E AACAECE . 0900 ? CEAEC 故 ACEO? ； 又 OEBD? ，故如图建立空间直角坐标系，则 B（ 0, 32 , 0）， D（ 0， 23- ， 0）， C（ 21- ， 0， 0）， M（ 43 ， 0， 43 ） 3 3 3( , , )4 2 4DM ? , (0, 3,0)DB ? 设 DBM的法向量 )1,( 11 yxm? ，则由? ? 00DMm DBm得 )1,0,33(?m 1 3 5 3( , , 0 ), ( , 0 , )2 2 4
16、4C B C M? 同理的平面 CBM的法向量 )1,51,53(?n ， 故二面角 D-BM-C的平面角的余弦值为 A B C D M E O x y z N 7 29873|cos ? nm nm? ? 12 分21. 解：（ ） 11( ) ( (0 , )mxf x m xxx? ? ? ? ?， 当 0m? 时， ( ) 0fx? 恒成立，则函数 ()fx在 (0, )? 上单调递增， 此时函数 ()fx的单调递增区间为 (0, )? ，无单调递减区间； 当 0m? 时，由 11( ) 0mxf x mxx? ? ? ?，得 1(0, )x m? ， 由 11( ) 0mxf x mxx? ? ? ?，得 1( , )x m? ? ， 此时 ()fx的单调递增区间为 1(0, )x m? ，单调递减区间为 1( , )m? ?
