1、 - 1 - 福建省东山县第二中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.若 复数 31xiz i? ? 是实数，则实数 x 的值为 ( ) .A 3 .B 3? .C 0 .D 3 2.已知随机变量 ? 服从正态分布 ( ,4)N? ，且 ( 2 ) ( 0 ) 1PP? ? ? ? ?， 则 ? 等于 ( ) .A 2? .B 2 .C 1 .D 1? 3.计算 21 (1 2 | |)x dx? ?（ ） .A 0 .B 2? .C 2 .D
2、4 4.已知 条件 : ( ) lo g ( 1 )mp g x x?为减函数，条件 :q 关于 x 的方程 2 20x x m? ? ?有实数解，则 p 是 q 的 ( ) .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 不充分不必要条件 5.已知 ,xy的取值如表： 从所得的散点图分析， y 与 x 呈线性相关，且 0.95y x a?，则 a? （ ） .A 2.5 .B 2.6 .C 2.7 .D 2.8 6.已知 2: , 2 0p x R mx? ? ? ?； 2: , 2 1 0q x R x mx? ? ? ? ?.若 pq? 为假命题，则实数m 的取值范围是
3、 ( ) .A 1, )? .B ( , 1? .C ( , 2? .D 1,1? 7.设 ,ABC D 是空间不共面的四个点，且满足 0 , 0 , 0A B A C A D A C A D A B? ? ? ? ? ?，则 BCD? 的形状是 （ ） .A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定 . 8.用数学归纳法证明 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 ( 2 1 )nn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?，从 nk? 到 1nk?，左边需要增乘的代数式为 （ ） - 2 - .A 2(2 1)k? ； .B 21k? ； .C 211kk
4、? ； .D 231kk? . 9.某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作，并按出 发顺序前后排成一队，要求甲、乙中至少有 1 辆参加，且若甲、乙同时参加， 则它们出发时不能相邻，那么不同排法的种数为 （ ） .A 360 ； .B 520 ； .C 600 ； .D 720 10.两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工成一等品的概率分别为 23,34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品 的 概率为 ( ) .A 12 .B 512 .C 14 .D 16 11.一个学生通过某种英语听力测试的概率是 12 ，他连续测试 n 次，要保证
5、他至少有一次通过的概率大于 0.9，那么 n 的最小值为 ( ) .A 6 .B 5 .C 4 .D 3 12.函数 2( ) ( 3) xf x x e?，当 m 在 R 上变化时，设关于 x 的方程 2212( ) ( ) 0f x m f x e? ? ?的不同实数解的个数为 n ，则 n 的所有可能的值为 ( ) .A 3 .B 13或 .C 35或 .D 1 3 5或 或 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.若 261()x ax? 的展开式中常数项为 1516 ，则实数 a 的值为 _ 14.从 1,2,3,4,5,6 中任取 2 个不同的数，事
6、件 A? “取到的两个数之和为偶数”，事件 B? “取到的两个数均为偶数”，则 ( | )P B A ? . - 3 - 15.在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 221 :1xyC ab?的渐近线与椭圆222 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?交于第一、二象限内的两点分别为 ,AB，若 OAB? 的外接圆的圆心为 (0, 2 )a ，则 双曲线的离心率为 . 16.已知 00( , )Px y 是抛物线 2 2 ( 0)y px p?上的一点，过 P 点的切线的斜率可通过如下方式求得：在 2 2y px? 两边同时对 x 求导，得 2 2yy p? ，则 pyy?，所以过
7、 P 点的切线的斜率0pk y? ，类 比上述 方法求 出双曲 线 22 12yx ?在 ( 2, 2)P 处 的切线 方程为 . 三、 解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题 满分 10 分） 已知 函数 21( ) ( 1 ) l n ( 1 ) .2f x x a x a x a? ? ? ? ? ? （ 1）若函数 ()fx在 2x? 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，求出函数 ()fx的极值。 18.（本小题满分 12 分） - 4 - 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽 样方法从该地区调查
8、了 500位老年人，结果如下： (1)求 , , ,mnst 的值； (2)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例； (3)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。 19（本小题 满分 12 分） 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40 件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量值落在（ 495,510的产品为合格品，否则为不合格品。图 1 是甲流水线样本频率分布直方图，表 1 是乙流水线样本频数分布表。 - 5 - (1)求从甲流水线上任取 1 件产品为合格品的频率； (2)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任
9、取 5 件产品（看作有放回抽样），求其中合格品的件数 X 的数学期望及方差； (3)从乙流水线样本的不合格品中任取 2件，求其中超过合格品质量的件数 Y 的分布列及期望。 20（本小题 满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P ABC? 中， 90P A B P A C A C B? ? ? ? ? ? ?。 (1)证明：平面 PBC? 平面 PAC ； (2)若 1 , 2 , 2P A A B B C? ? ?,在直线 AC 上是否存在一点 D ，使得直线 BD 与平面PBC 所成角为 30? ？若存在，求出 CD 的长；若不存在，说明理由。 - 6 - 21（本小题 满分 12 分） 设
10、 ,AB分别为双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左右顶点，双曲线的实轴长为 43，焦点到渐近线的距离为 3 . (1) 求双曲线的方程； (2) 已知直线 3 23yx?与 双曲线的右支交于 ,MN两点 ， 且在双曲线的右支上存在点D ，使 OM ON tOD?，求 t 的值及点 D 的坐标。 22 （本小题 满分 12 分）已知 函数 2( ) l n , ( ) 3 .f x x x g x x a x? ? ? ? ? （ 1）求函数 ()fx在 , 2( 0)t t t?上的最小值； （ 2）对一切 ( 0 , ) , 2 ( ) ( )x f x g
11、x? ? ?恒成立，求实数 a 的取值范围。 - 7 - 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A B A C A C B C A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 2? 14. 12 15. 62? 16. 2 2 0xy? ? ? 三、解答题：（共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。） 17 （本小题 满分 10 分） 解 ： （ 1） ()fx的定义域为 (0, ),? 21 ( 1 )( ) .a x a x af x x a xx? ? ? ? ? ?
12、? ? 因为 ()fx在 2x? 处的切线与 x 轴平行，则 (2) 0,f? ? 即 4 2 ( 1) 0,2aa? ? ? ?得 3.a? ? 5 分 （ 2） 由 （ 1） 知， 21( ) 3 2 ln ,2f x x x x? ? ? 2 3 2 ( 1 ) ( 2 )( ) ,x x x xfx xx? ? ? ? ? 则 ()fx在 (0,1) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减，在 (2, )? 上单调递增， 所以当 1x? 时， ()fx有极大值 5(1) 2f ? ； 当 2x? 时， ()fx有极小值 (2) 4 2 ln 2.f ? ? ? ? 10 分 18.（本
13、小题满分 12 分） 解： (1)由表知 , 7 0 4 0 3 0 , 2 0 0 4 0 1 6 0 ,mn? ? ? ? ? ? 3 0 2 7 0 3 0 0 , 1 6 0 2 7 0 4 3 0 .ts? ? ? ? ? ? ? 3 分 (2)需要志愿者提供帮助的老年人的比例为 70 14%.150? ? 6 分 (3)由 22 5 0 0 ( 4 0 2 7 0 - 3 0 1 6 0 ) 9 . 9 6 7 6 . 6 3 5 ,2 0 0 3 0 0 7 0 4 3 0K ? ? ? ? ? ? ? 故有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。 ? 12
14、 分 19（本小题 满分 12 分） - 8 - 解： (1)由 图 1 知， 从甲流水线上任取 1 件产品为合格品的频率为( 0 .0 6 0 .0 9 0 .0 3 ) 5 0 .9? ? ? ? ? 2 分 (2)依题意，从甲流水线上任取 1 件产品为合格品的概率为 0.9, 且 (5,0.9),XB ( ) 5 0 .9 4 .5 ,EX? ? ? ?( ) 5 0 .9 ( 1 0 .9 ) 0 .4 5DX ? ? ? ? ? ? 6 分 (3)由表 1 知，乙流水线样本中的不合格品共 10 个，超过合格品质量的有 4 件， 则 Y 的所有可能取值为 0,1,2，且 2-46210
15、CC( ) ( 0 , 1 , 2 ) ,CkkP Y k k? ? ? 1( 0) 3PY? ? ? ， 8( 1) 15PY?， 2( 2) ,15PY? 所以 Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 13 815 215 1 8 2 4( ) 0 1 23 1 5 1 5 5EY ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分20（本小题 满分 12 分） (1)证明： 9 0 ,P A B P A C? ? ? ? ? ,PA AB PA AC? ? ? ,AB AC A? PA?平面 ,ABC BC? 平面 ,ABC ,BC PA? 90 ,ACB? ? ? ,BC CA?又 ,PA CA A
16、? BC?平面 ,PAC BC? 平面 ,PBC ?平面 PBC? 平面 PAC .? 4 分 (2)解：由 (1)可知 PA? 平面 ,ABC ,BC CA? 以 C 为原点， CA 为 x 轴 ， CB 为 y 轴，过 C垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立如图的空间直角坐标系 C xyz? ，则( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 1 ) ,C B P C B C P?设 ( , , )n x y z? 是平面PBC 的法向量，则 20n CB yn CP x z? ? ?
17、 ? ? ? ?，取 1x? ，得 (1,0, 2)n?， 设直线 AC 上的点 D 满足 CD CA? ，则 ( 2 , 0, 0)CD ? ， ( 0 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 0 ) ( 2 , 2 , 0 ) ,B D B C C D ? ? ? ? ? ? ? ? - 9 - 直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30? ， 2| | | 2 | 1s in 3 0 ,2| | | | 3 2 2n B Dn B D ? ? ? ? ? 3,? ? ?在直线 AC 上存在点 D ，满足 6CD? ， 使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30? 。 ? 12 分 21（本小题 满分 12 分） 解 :双曲线的渐近线方程为 byxa? ,焦点为 ( ,0)Fc? , 则焦点到渐近线的距离为22| 3bc bab ? ,又 2 4 3a
