1、 1 广东省深圳市 2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 复数 1z 1i? ? 所对应的的点在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 函数 f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 ( ) A ( ， 2) B (0,3) C (1,4) D (2， ) 3下列各式中值为 1的是 ( ) A 10xdx?B ? ?10 1x dx?C 101dx?D 1 20x dx?4 在 以下的类比推理中结论正确的是 ( ) A若 33ab? ? ?
2、,则 ab? 类比推出 若 00ab? ? ? ,则 ab? B若 ()a b c ac bc? ? ? 类比推出 a b a bc c c? ? （ c0 ） C若 ()a b c ac bc? ? ? 类比推出 ()a b c ac bc? ? ? D 若 nna a b?n（ b） 类比推出 nna a b? ? ?n（ b） 5设 P为曲线 C： 2 23y x x? ? ? 上的点，且曲线 C在点 P处切线倾斜角的取值范围为 04?，则点 P横坐标的取值范围为 ( ) A 112?，B ? ?10?， C ? ?01， D 112?，6用 0， 1, 2， 3, 4， 5 组成没有重
3、复的三位数，其中偶数共有（ ） A 24个 B 30 个 C 52个 D 60个 7设函数 1( ) 2 1( 0 ),f x x xx? ? ? ? 则 ()fx( ) A有最 小 值 B有最 大 值 C是增函 数 D是减函数 8 用反证法证明命 题 “ 三角形的内角中至少有一个角不大于 60” 时，应假设 ( ) A三角形的三个内角都 不 大于 60 B三角形的三个内角都大于 60 C三角形的三个内角至多有一个大于 60 D三角形的三个内角至少有两个大于 60 9 曲线 2yx? 与直线 2yx? 所围成图形的面积为 ( ) A 43 B 83 C 163 D 23 2 10设 a b,函
4、数 2( ) ( )y x a x b? ? ?的图像可能是 ( ) 11 观察下列各式： a b 1， a2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ? ，则 a10 b10 ( ) A 28 B 76 C 99 D 123 12设函数 ()y f x? 在 (, )ab 上的导函数为 ()fx, ()fx在 (, )ab 上的导函数为 ( )fx,若在(,)ab 上 , ( ) 0fx? 恒成立 ,则称函数函数 ()fx在 (, )ab 上为 “ 凸函数 ” 已知当 2m?时 , 3211() 62f x x mx x? ? ?在 ( 1,2)? 上是 “ 凸函
5、数 ” 则 ()fx在 ( 1,2)? 上 ( ) A 既有极大值 ， 也有极小值 B 有极大值， 没有极小值 C 没有极大值，有极小值 D 没有极大值 ， 也没有极小值 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分 13 计算： ?21 )1( dxxex14 如图，用 4种不同的颜色对图中 5个区域涂色 (4 种颜色 全部使用 )，要求每个区域涂 1种颜色，相邻的区域不能涂 相同的颜色，则不同的涂色种数有 种 1 15如图，它满足 ： 2 2 第 n行首尾两数均为 n， 3 4 3 表中的递推关系类似杨辉三角， 4 7 7 4 则第 n行 )2( ?n 第 2个数是 _ 5
6、11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 16 对于定义在区间 , ba 上的函数 )(xf ，给出下列命题： 若 )(xf 在多处取得极大值，则 )(xf 的最大值一定是所有极 大值中最大的一个值； 若函数 )(xf 的极大值为 m ，极小值为 n ，那么 nm? ； 若 ),(0 bax ? ，在 0x 左侧附近 0)( ?xf ，且 0)( 0 ?xf ，则 0x 是 )(xf 的极大值点； 3 若 )( xf 在 , ba 上恒为正，则 )(xf 在 , ba 上为增函数， 其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步
7、骤 17 （本题满分 10分） 已知 x y z m 求证 ： x2 y2 z2? m23 18 （本题满分 12分） 已知 mR ，复数 z m mm 1 (m2 2m 3)i， 当 m为何值时 (1) z是实数？ (2) z是虚数？ (3) z是纯虚数？ 19 （本题满分 12分） 已知数列 an的前 n项和 Sn满足 Sn an 2n 1， (1) 写出 a1， a2， a3并猜想 an的表达式； (2) 用数学归纳法证明 (1)中的猜想 4 20 （本题满分 12分） 已知 x 3是函数 f(x) aln(1 x) x2 10x的一个极值点 (1) 求 a； (2) 求函数 f(x)的
8、单调区间； (3) 若直线 y b与函数 y f(x)的图象有 3个交点，求 b的取值范 围 21 （本题满分 12分） 已知 A（ -1， 2）为抛物线 C: y=2x2上的点，直线 1l 过点 A，且与抛物线 C 相切，直线 2l :x=a(a -1)交抛物线 C于 B，交直线 1l 于点 D. （ 1）求直线 1l 的方程 ； （ 2）设 BAD? 的面积为 S1，求 BD 及 S1的值 ； （ 3）设由抛物线 C，直线 12,ll所围成的图形的面积为 S2， 求证 ： S1:S2的值为与 a无关的常数 22 （本题满分 12分） 已知函数 ( ) 2 lnpf x px xx? ? ?
9、 若 2p? ，求曲线 ()fx在点 (1,(1)f 处的切线方程； 若函数 ()fx在其定义域内为增函数，设函数 2()egxx?，若在 ? ?1,e 上至少存在一点 0x ，使得00( ) ( )f x g x? 成立，求实数 p 的取值范围 5 2015-2016学年度第二学期期中考试 高二理科数学答案 1-12 DDCBA CABAC DB 13 16 e2-e-ln2 96 2 22n nna ? 17 证明 ： x y z m， (x y z)2 x2 y2 z2 2(xy yz zx) m2. 又 x2 y22 xy， y2 z22 yz， z2 x22 xz， 2(x2 y2
10、z2)2( xy yz zx)， 即 x2 y2 z2 xy yz zx， m2 x2 y2 z2 2(xy yz zx)3( x2 y2 z2) x2 y2 z2 ? m23. 18 解： (1) ? m2 2m 3 0，m 10 ， 即 ? m 1或 m 3，m1. 当 m 3时， z R. (2)? m2 2m 30 ，m 10 ， 即 ? m1 且 m 3，m1. 当 m1 且 m 3时， z是虚数 (3)? m2 2m 30 ，m mm 1 0，即? m1 且 m 3，m 0或 m 2， 当 m 0或 m 2时， z是纯虚数 19 解： (1)由 Sn an 2n 1得 a1 32，
11、 a2 74， a3 158 ， 故猜想 an 2n 1 12n 212n(n N*) (2) 证明 当 n 1时 a1 32，结论成立， 假设当 n k时结论成立，即 ak 2 12k， 则当 n k 1时， ak 1 Sk 1 Sk 2(k 1) 1 ak 1 (2k 1 a(2k 1 ak) 2ak 1 ak 2 4 12k， ak 1 2 12k 1，即当 n k 1时结论成立 由 知对于任何正整数 n，结论成立 20 (1) 因为 f( x) a1 x 2x 10 所以 f(3) a4 6 10 0 因此 a 16 (2) 由 (1)知， f(x) 16ln(1 x) x2 10x，
12、 x( 1， ) f( x) 2(x2 4x 3)1 x 当 x( 1,1)(3 ， ) 时， f( x) 0 当 x(1,3) 时， f( x) 0 所以 f(x)的单调增区间是 ( 1,1)， (3， ) f(x)的单凋减区间是 (1,3) (3) 由 (2)知， f(x)在 ( 1,1)内单调增，在 (1,3)内单调减，在 (3， ) 上单调增， 所以 f(x)的极大值为 f(1) 16ln2 9，极小值为 f(3) 32ln2 21 又 x -1 时， f（ x） - ； x+ 时， f（ x） + ； 6 可据此画出函数 y=f（ x）的草图，由图可知 要使直线 y b与 y f(x
13、)的图象各有 3个交点，则 f(3) b f(1) 所以 b的取值范围为 (32 ln2 21,16ln2 9) 21 （ 1）由 22 4 ,y x y x?得 当 x=-1时， y =-4 ? 1分 1l 的方程为 y-2=-4(x+1)即 y=-4x-2 ? 2分 (2) 22yxxa? ? ?得 B点坐标为（ 22, aa ）? 3分 由42xayx? ? ?得 D点坐标（ a ,-4a -2）? 4分 点 A 到直线 BD的距离为 1,a? ? 5分 BD = 2a 2+4a +2=2（ a +1） 2 S1= 31?a ? 6分 (3)当 a -1时， S1=（ a +1） 3，
14、22 1 2 ( 4 2 )aS x x d x? ? ? ? ? ? ? ?21 2 4 2a x x dx? ? ? ?32 12 223 ax x x ? ? ? ?32 13 a? 8分 S1:S2=32 ? 10分 当 a -1时， S1= -（ a +1） 3 2 2 32 11 2 2 ( 4 2 ) ( 2 4 2 ) ( 1 )3S x x d x x x d x aaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S1:S2=32 综上可知 S1:S2的值为与 a 无关的常数，这常数是 32 ? 12分 22 解 ： 当 2p? 时，函数 2( ) 2 2 lnf x x xx?
15、 ? ?， (1) 2 2 2 ln 1 0f ? ? ? ?222( ) 2fx xx? ? ? ?， 曲线 ()fx在点 (1,(1)f 处的切线的斜率为 (1) 2 2 2 2f ? ? ? ? ? 从而曲线 ()fx在点 (1,(1)f 处的切线方程为 0 2( 1)yx? ? ? ，即 22yx? 22222() p p x x pf x p x x x? ? ? ? ?令 2( ) 2h x px x p? ? ?， 要使 ()fx在定义 域 (0, )? 内是增函数，只需 ( ) 0hx 在 (0, )? 内恒成立 由题意 0p? ， 2( ) 2h x px x p? ? ?的
16、图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为 1 (0, )xp? ? ?， min 1()h x p p?，只需 1 0pp? ，即 1p 时， ( ) 0 , ( ) 0h x f x? ()fx在 (0, )? 内为增函数，正实数 p 的取值范围是 1, )? 2()egxx?在 ? ?1,e 上是减函数， xe? 时， min( ) 2gx ? ； 1x? 时， max( ) 2g x e? ，即 ? ?( ) 2,2g x e? ， 当 1p 时，由 知 ()fx在 ? ?1,e 上是增函数， (1) 0 2f ? ，又 ()gx 在 ? ?1,e 上是减函数，故只需max min( ) ( )f x g x? ， ? ?1,xe? ，而 m a x 1( ) ( ) 2 lnf x f e p e ee? ? ? ?， min( ) 2gx ? ， 即 1 2 ln 2p e ee? ? ?，解得24 1ep e? ?， 而24 11ee ?， 所以实数 p 的取值范围是24 ,1ee?
