1、 1 广东省深圳市宝安区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 时间： 120分钟 ；分值 150 分 第一部分 选择题 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 复数 1 2iz? 的虚部是 （ ） A. 2? B. 2 C. 2i? D. 2i 2 已知函数 2 1yx?的图象上一点 (1,2) 及邻近一点 (1 ,2 )xy? ? ，则 yx? 等于 （ ） A 22 ( )x? B 2 x? C 2x D 2 3. 函数 2 cosy x x? ，则 y? 等于（ ） A 2 cosx? B 2 sinx? C 2
2、 sinx? D 2 sinxx? 4 函数 f（ x） =3x x3 的单调增区间是 （ ） A. （ 0， +? ） B. （ ? ， 1） C. （ 1， 1） D. （ 1， +? ） 5 ? ?10 )2( dxxex等于（ ） A. 1 B. 1?e C. e D. 1?e 6 函数 ()fx的图象如图所示，则 ()fx的极 大 值 点 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 函数 ? ? 1?xxf 的图象在点（ 2， ?2f ）处的切线方程是 （ ） A. 04 ? yx B. 024 ? yx C. 012 ? yx D. 044 ? yx 8 下面使用
3、类比推理正确的是 （ ） . A.“若 33ab? ? ? ,则 ab? ”类推出“若 00ab? ? ? ,则 ab? ” B.“若 ()a b c ac bc? ? ?”类推出“ ()a b c ac bc? ? ? ” C.“若 ()a b c ac bc? ? ?” 类推出“ a b a bc c c? ? （ c 0）” D.“ nna a b?n（ b） ” 类推出“ nna a b? ? ?n（ b） ” 9由 71058， 911810， 1325921， ? 若 ab0 且 m0，则 b ma m与 ba之间大小关系为 ( ) A相等 B前者大 C后者大 D不确定 xyO2
4、10数学归纳法证明（ n+1） ?（ n+2） ? （ n+n） =2n13? （ 2n 1）（ n N*）成立时，从n=k到 n=k+1左边需增加的乘积因式是（ ） A 2（ 2k+1） B C 2k+1 D 11 若函数 )(xfy? 的图象上存在两点 ， 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 ， 则称)(xfy? 具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是 （ ） A. lnyx? B. sinyx? C. xye? D. 3yx? 12已知函数 ? ? 21ln 22f x x ax x? ? ?有两个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A ? ?,1? B ? ?0,2 C ?
5、 ?0,1 D ? ?0,3 第二部分 非选择题 二 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13 函数 xy sin? 在点 )23,3(? 处的切线的斜率为 . 14若复数 z= i ，则 z100 z50的值等于 15 如图，阴影部分的面积是 . 16 设函数 )0(2)( ? xx xxf ，观察 : 2)()(1 ? x xxfxf, 43)()( 12 ? x xxffxf， 87)()(23 ? xxxffxf, 1615)()( 34 ? x xxffxf ?根据以上事实 ，由 归纳 推理可得当 ?n N*且 2?n 时 , ? ? )()( 1 xffxf nn . 三、
6、解答题：（本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。） 17（本小题满分 10分） (1)已知复数 1 ( 1) (2 )z a a i? ? ? ?， 2 2 1 (1 2 )z a a i? ? ? ? (其中 i 为虚数单位， aR? )，若 12zz? 为实数，求实数 a 的值； 3 (2) 已知： ABC的三条边分别为 a b c， ， . 求证： 11a b ca b c? ? ? ?18.（本小题 10分） 某人有 4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 6个点 A、 B、 C、 1A 、 1B 、1C 上各装一个灯泡，要求同一条线段两
7、端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种 . 19.（本小题 12分） 如图，四棱锥 B ACDE? 的底面 ACDE 满足 DE /AC， AC=2DE. （ ）若 DC 平面 ABC， AB BC，求证：平面 ABE 平面 BCD; （ ）求证： 在平面 ABE 内不存在直线与 DC 平行； 某同学用分析法证明第（ 1）问，用反证法证明第 （ 2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容 . （ ）证明：欲证平面 ABE ? 平面 BCD， 只需证 _， 由已知 AB BC，只需证 _， 由已知 DC 平面 ABC 可得 DC AB 成立， 所以平面 ABE 平面
8、BCD. （ ）证明：假设 _， 又因为 DC? 平面 ABE ，所以 /DC 平面 ABE . ABCDE4 又因为平面 ACDE 平面 ABE =AE , 所以 _， 又因为 DE /AC，所以 ACDE 是平行四边形， 所以 AC DE? ，这与 _矛盾， 所以假设错误，原结论正确 . 20 (本小题满分 12分 ) 已知函数 32()f x x ax bx c? ? ? ?，当 1x? 时， ()fx的极大值为 7；当 3x? 时， ()fx有极小值 （ ）求 ,abc的值； （ ）求函数 ()fx的极小值 21（本题满分 12分） 已知 nnSn 2112 14131211 ? ?，
9、 nnnnTn 21312111 ? ? ?*Nn?（ 1）求 1S ， 2S ， 1T ， 2T ； （ 2）猜想 nS 与 nT 的关系，并证明之 . 5 22（本小题满分 14分 ） 已知函数 1( ) ( 1 ) l n , ( , )f x a x b a x a b Rx? ? ? ? ? ?， 2e() e2g x x? ? . （ ） 若函数 ()fx在 2x? 处取得极小值 0，求 ,ab的值； （ ） 在 （ ） 的条件下，求证：对任意 212, e,exx ?，总有 12( ) ( )f x g x? ； （ ） 求函数 ()fx的单调递增区间 . 6 2016-2017
10、 学年度 第二学期高二年级期中考试理科数学试卷答案 1-12： ABBCC,BDCBA,BC 13.21;14.0 15.32316. nn xx 2)12( ? 17.(1) 1a? (2) 要 证 11a b ca b c? ? ? ? 成立 , 只需证 cba ? 1 111 11 只需证 cba ? 1 11 1 , 只需证 cba ? 1 11 1 只需证 bac ? 11 , 只需证 bac ? a b c， ， 是 ABC的三条边 bac ? 成立，原不等式成立。 18. 19.（ ）证明：欲证平面 ABE ? 平面 BCD， 只需证 AB? 平面 BCD ， 由已知 AB BC
11、，只需证 AB DC? ， 由已知 DC 平面 ABC可得 DC AB 成立， 7 所以平面 ABE 平面 BCD. （ ）证明：假设 在平面 ABE 内存在直线与 DC 平行 ， 又因为 DC? 平面 ABE ，所以 /DC 平面 ABE . 又因为平面 ACDE 平面 ABE =AE , 所以 /DC AE ， 又因为 DE /AC，所以 ACDE 是平行四边形， 所以 AC DE? ，这与 2AC DE? 矛盾， 所以假设错误，原结论正确 . 20 解：（ ）由已知得 /2( ) 3 2f x x ax b? ? ? /( 1 ) 0 3 2 0 3( 3 ) 0 2 7 6 0 9(
12、1 ) 7 1 7 2f a b af a b bf a b c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）由（ ）， / ( ) 3( 1)( 3)f x x x? ? ?，当 13x? ? ? 时， /( ) 0fx? ；当 3x? 时， /( ) 0fx? 故 3x? 时， ()fx取得极小值，极小值为 (3) 25f ? 。 21.解：（ 1）121 1 1 1 1 71 , 12 2 2 3 4 1 2SS? ? ? ? ? ? ? ?, 121 1 1 1 7,1 1 2 2 1 2 2 1 2TT? ? ? ? ?
13、? ? ?.4分（ 2）猜想： ()nnS T n N? ?5 分 即 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nn? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 3 2n n n n? ? ? ? ? ?()nN? 下面用数学归纳法 证明： 当 1n? 时， 11ST? ;?6 分 假设当 nk? 时， ( 1, )kkS T k k N ? ? ?, 即 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2kk? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 3 2k k k k? ? ? ? ? ? 7分8 那么当 1nk?时，1 1 1 1 12 1 2 ( 1 2 1 2 ( 1k=kkS
14、 S Tk k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?） ）11 1 1 1 1 11 2 3 2 2 1 2 ( 1 )1 1 1 1 1 12 3 2 2 1 1 2 ( 1 )1 1 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 2 2 2 1 2 ( 1 )kk k k k k kk k k k k kk k k k kT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 当 1nk?时，等式也成立 由 可知，对任意 , nnn N S T?都成立? 10 分 22（本小题满分 14分 ） 已知函数 1(
15、 ) ( 1 ) l n , ( , )f x a x b a x a b Rx? ? ? ? ? ?， 2e() e2g x x? ? . （ ） 若函数 ()fx在 2x? 处取得极小值 0，求 ,ab的值； （ ） 在 （ ） 的条件下，求证：对任意 212, e,exx ?，总有 12( ) ( )f x g x? ； （ ） 求函数 ()fx的单调递增区间 . 解：（）函数 ()fx的定义域为 (0, )? ， 211() af x a xx? ? ? ?由题意得11( 2 ) 0421( 2 ) 2 ( 1 ) l n 2 02afaf a b a? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? ?， ? 1 3 1, ln 22 2 2ab? ? ?.经检验符合题意 .-5分 （ ） 22 2 21 1 3 3 2 ( 2 ) ( 1 )() 2 2 2 2x x x xfx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，当 2e,e x? 时， ( ) 0fx? ? ， 所以 ()fx在 2e,e 上单调递增，所以m i n e 1 3( ) (e) l n 2 22 e 2f x f? ? ? ? ?2() egx? ? ，当 2e,ex? 时， () 0gx? ? ， ()gx 在 2e,e 上 单 调 递 减 ， 所 以 m a x e( ) (e) 22g x g
17、? ? ?. - 9 因为m i n m a x 31( ) ( ) l n 2 02ef x g x? ? ? ?， 所以对任意 212, e,e xx? ，总有 12( ) g( )f x x? -10 分 （ ） 222( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )() a x a x a x xfx xx? ? ? ? ? ?. （ 1）当 0a? 时，由 ( ) 0fx? ? 得， 01x?； （ 2）当 0a? 时，由 ( ) 0fx? ? 得， 01x?； （ 3）当 0a? 时， （）若 01a?，由 ( ) 0fx? ? 得， 01x?或 1x a? ； （）若 1a? ，则 ( ) 0fx? ? 恒成立，（在 ? ?0,1 和 ? ?1,? 上 ( ) 0fx? ? ， (1) 0f? ? ），得 0x? ； （ ） 若 1a? ，由 ()0fx? ? 得， 10xa? 或 1x? . - 13 分 综上所述，当 0a? 时，函数 ()fx的 单调递增区间为 (0,1) ；当 01a?时，函数 (
