1、 1 2016 2017 学年第二学期期中考试 高二数学（理）试题 （时间： 120 分钟 满分： 150 分） （ I 卷） 一、选择题（共 12 道题，每题 5 分，共 60 分） 1复数 3 i1 i等于 ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 2若 y lnx，则其图象在 x 2 处的切线斜率是 ( ) A 1 B 0 C 2 D.12 3下列各式中正确的是 ( ) A (logax) 1x B (logax) ln10x C (3x) 3x D (3x) 3xln3 4.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?x 5x，y 3y 后，曲线 C 变为曲线 x2 y 2
2、 0，则曲线 C 的方程为 ( ) A.25x2 9y2 0 B.25x2 9y2 1 C.9x2 25y2 0 D.9x2 25y2 1 5函数 f(x) x ex的单调增区间是 ( ) A (1， ) B (0， ) C (， 0) D (， 1) 6若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直，则 l 的方程为 ( ) A 4x y 3 0 B x 4y 5 0 C 4x y 3 0 D x 4y 3 0 7已知 f(x) x3 x， x m， n，且 f(m)f(n)0，且 g( 3) 0，则不等式 f(x)g(x)0，则不等式 f(x) x0 的解集为 _ 16 设
3、曲线? ?1ny x n N?在点? ?1,1处的切线与x轴的交点的横坐标为,n令lg ,nnax?则1 2 99.a a a? ? ?的值为 三解答题 （每题 12 分，共计 70 分） 17（本小题满分 10 分） 已知圆 O 的参数方程为?x 2cos y 2sin ( 为参数， 0 2 ). (1)求圆心和半径； 3 (2)若圆 O 上点 M 对应的参数 53 ，求点 M 的坐标 . 18（本小题满分 12 分） 已知下列三个方程：2 2 2 24 4 3 0 , ( 1 ) 0 , 2 2 0x ax a x a x a x ax a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?至少有一
4、个方程有实数根 .求实数a的取值范围 . 19. (本小题满分 12 分 ) 直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为? cos4?，直线l方程为32212xtyt? ? ? ?（ t 为参数），直线l与 C 的公共点为T. (1)求点 T 的极坐标 ; (2)过点 T 作直线l，被曲线 C 截得的线段长为 2，求直线l的极坐标方程 . 20.(本小题满分 12 分 ).设函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8，其中 a R. (1)若 f(x)在 x 3 处取得极值，求常数 a 的值； (2)若 f(x)在 (， 0)上为增函
5、数，求 a 的取值范围 4 21（本小题满分 12 分） 已知数列?na满足? ?11 1, 2n na a a n Na ? ? ?. （ 1）求234,a a； （ 2）猜想数列?na的通项公式，并用数学归纳法证明 . 22（本小题满分 12 分）已知函数)ln()( axxxf ?的最小值为 0，其中.0?a（）求a的值； （）若对任意的), ?x有)(xf2kx成立，求实数k的最小值； （）证明? ?ni ni1 2)12ln(12 2（*Nn） . 5 2016-2017 学年度第二学期期末考试 数学（理）试题答 案 一选择 题 CDDAC ACCBA DC 二 填空题 (本大题共
6、4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13.32,4?14. sin2 cos2(30 ) sin cos(30 ) 34 15（ 2， ) 16.-2 三解答题 （共计 70 分） 17.(10 分） 解 (1)由?x 2cos y 2sin (0 2 )， 平方得 x2 y2 4， 圆心 O(0， 0)， 半径 r 2. 5 分 (2)当 53 时 ， x 2cos 1， y 2sin 3. 点 M 的坐标为 (1， 3). 10 分 18 （本小题满分 12 分） 假设三个方程：2 2 2 24 4 3 0 , ( ) 0 , 2 2 0x ax a x a x a x ax a
7、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?都没有实数根， 则2122221( 4 ) 4( 4 3 ) 0( 1 ) 4 0( 2 ) 4( 2 ) 0aaaaaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 5 分 解得31221 ,1320aaaa? ? ? ? ? ? ? ?或， 即3 12 a? ? ? 10 分 所以所求a的取值范围为? ? ? ,123, 12 分 19. (本小题满分 12 分 ) 解：（ ）曲线C的直角坐标方程2240x x y? ? ? . 2 分 学校姓名班级考场考号6 将32212xtyt? ? ? ?代入上式并整理得2 4 3 12 0tt?
8、 ? ? 解得32?t.?点 T 的坐标为 (1,3)4 分 其极 坐标为 (2,3?) 6 分 () 设直线l的方程.0-3-),1(3 ? kykxxky 即直线l的方程为3?y,或xy 3?10 分 其极坐标方程为3sin ?或R)(3 ? ?12 分 20解析 (1)f( x) 6x2 6(a 1)x 6a 6(x a)(x 1) 因 f(x)在 x 3 处取得极值， 所以 f(3) 6(3 a)(3 1) 0，解得 a 3. 经检验知当 a 3 时， x 3 为 f(x)的极值点 (2)令 f( x) 6(x a)(x 1) 0 得 x1 a， x2 1. 当 a0，所以 f(x)在
9、 ( ， a)和 (1， ) 上为增函数 当 0 a0， 所以 f(x)在 ( ， 1)和 (a， ) 上为增函数，从而 f(x)在 ( ， 0)上为增函数 综上可知，当 a0 时， f(x)在 ( ， 0)上为增函数 21（本小题满分 12 分） 【解析】 解：（ 1）由1 12n na? ? ?可得2 111,22aa?3 2 12 22a aa? ? ?2 ,32aa? ?7 4 312a a? ?122 32aa? ? ?3243aa? ?. 3 分 . （ 2）猜想? ? ? ? ? ? ?121n n n aa n Nn n a ? ? ?. .5 分 下面用数学归纳法证明： 当1
10、n?时，左边1 ,aa?右边? ? ? ? ?1 1 1 2 ,1 1 1 a aa?猜想成立 . .7 分 假设nk? ?kN?时猜想成立，即? ? ? ? ?1k k k aa k k a? ? ? ?， 当1?时，1 12k ka a? ? ? ? ? ? ?11221k k ak k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ( 1 ) 1 2k k ak k a k k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1) ( 1) 1k k ak k a? ? ? ?，故当1时，猜想也成立 . .10 分 由 ，可知，对任意?都有? ? ? ?1n n na n n a? ? ? ?成立 . 12 分 22（本小题满分 12 分） 8
