1、 1 2016 2017学年第二学期期中考试 高二数学（理科）试题 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1、 已知 Rba ?, ，则 ba? 是 ibaba )()( ? 为纯虚数的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 2、由 1 12， 1 3 22， 1 3 5 32， 1 3 5 7 42，?，得到 1 3? (2n 1) n2用的是 ( ) A归纳推理 B演绎推理 C类比推理 D特殊推理 3、用数学归纳法证明 1 1 1 51 2 3 6n n n? ? ? ?
2、 时，从 nk? 到 1nk?，不等式左边需添加的项是 A. 1 1 13 1 3 2 3 3k k k? ? ? B. 1 1 23 1 3 2 3 3k k k? ? ? C. 113 3 1kk? D. 133k? 4、有 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A 10 种 B 20种 C 25种 D 32种 5、 张、王两家夫妇各带 1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6人的入园顺序排法种数共有 ( ) A 12 种 B 24种 C 36种 D 48种 6、
3、已知随机变量服从正态分布?22, )N ?， 且( 4) 0.8p ? ?，则(0 2)P ? ? ?A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2 7、已知 10 2a? ，随机变量 ? 的分布列如下，则当 a增大时（ ） A、 ()E? 增大， ()D? 增大 B、 ()E? 减小， ()D? 增大 C、 ()E? 增大， ()D? 减小 D、 ()E? 减小， ()D? 减小 8、在 10 个球中有 6个红球和 4个白球（各不相同），不放回地 依次摸? 1 0 1 P a 12a? 12 2 出 2 个球，在第一次摸出红球的条件下，第 2次也摸到红球的概率为 A35B2C110D599、
4、 6个 人分乘两辆不同的汽车，每辆车最 多坐 4人，则不同的乘车方法数为 A 35 B 50 C 70 D 100 10、设曲线 )12ln( ? xaxy 在点 )0,0( 处的切线方程为 xy 2? ， 则 a ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 11、 若 2017 2 20170 1 2 2017( 2 1 ) ( )x a a x a x a x x R? ? ? ? ? ? ?， 则3 201722 3 20171 1 11 2 2 2aaa a a a? ? ? ? ?LA12017B12017C14034D14034?12设 )(,)( xgxf 是定义域为 R 的恒大于
5、0 的可导函数，且 0)()()()( ? xgxfxgxf ，则当bxa ? 时有 ( ) A )()()()( bgbfxgxf ? B )()()()( xgafagxf ? C )()()()( xgbfbgxf ? D )()()()( agafxgxf ? 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13设2() 1xfx x? ? ，试通过计算 ( ( ), ( ( ( ),f f x f f f x来猜想 ? ?nxfff )( 的 解析式：? ? n xfff )(=_ 14. 1 21 ( 1 c o s )x x x dx? ? ? ?15已知 26 )
6、1()1( ? axx 的展开式中含 3x 项的系数是 20 ，则 a 的值等于 _。 16.函数 )()( axxexf x ? 恰有两个极点 )(, 2121 xxxx ? ，则 a 的取值范围是 . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分，应出写文字说明或演算步骤 ) 17（ 10分）有 9名学生，其中 2名会下象棋但不会下围棋， 3名会下围棋但不会下象棋， 4名既会下围棋又会下象棋 .现在要从这 9名学生中选出 2名学生，一名参加 象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ 3 18、 (12分 ) 已知 nxx 223 )( ? 的展开式的系数和比 nx )13(
7、? 的展开式的系 数和大 992 ，求nxx 2)12( ? 的展开式中：（ 1）二项式系数最大的项；（ 2）系数的绝对值最大的项。 19、（ 12分） 为了防止受污染的产品影响我 国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否 则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互独立。 （ 1）求该产品不能销售的概率； （ 2）如果产品可以销售 ， 则每台产品可获利 40 元，如果产品不能销售，则每台产品亏损 80元（即获利 -80 元），已知一箱有产品 4件，记一箱产品获利 X元，求 X的分布列及数
8、学期望? ?EX。 20、（ 12 分） 某商场举行优惠促销活动 ，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满 200元减 50元： 方案二：每满 200元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3个红球、 1个白球的甲 箱，装有 2个红球、 2个白球的乙箱，以及装有 1个红球、 3个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价 (I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (II)若某顾客购物金额为 320元，用所学概率知识比较 哪一种方案更划算？ 21
9、（本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ?3axf x e a R?的图像 C 在点 ? ?1, 1Pf 处切线的斜率为 e ，记奇函数4 ? ? ? ?, , 0g x kx b k b R k? ? ? ?的图像为 l （ 1）求实数 ,ab的值； （ 2）当 ? ?2,2x? 时，图像 C 恒在 l 的上方，求实数 k 的取值范围； 22 (12分 )已知函数 xxaxxf ? 11)1ln ()( （ x0 ） ，其中 a0. (1)若 )(xf 在 1?x 处取得极值，求 a的值； (2)求 )(xf 的单调区间； (3)若 )(xf 的最小值为 1，求 a的取值范围 5 20
10、16 2017学年第二学期期中考试 高二数学（理科）答案 一、选择题 1 C 2. A 3 B 4 D 5 B 6 C 7 B 8 D 9 B 10 A 11 C 12 C 二、填空题 1321xnx? 14 2? 15 0或 5 16 1(0, )2 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 【解析】设 2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A， 3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B， 4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C，则选派 2名参赛同学的方法可以分为以下四类： 第一类： A中选 1人参加象棋比赛， B中选 1人参 加
11、围棋比赛，方法数为1123C C 6?种； 第二类： C中选 1人参加象棋比赛， B中选 1人参加围棋比赛，方法数为4312种； 第三类： C中选 1人参加围棋比赛， A中选 1人参加象棋比赛，方法数为428种； 第四类： C中选 2人分别参加两项比赛，方法数为24A 12?种 . 由分类加法计数原理，选派方法数共有 6+12+8+12=38 种 . 18、解：由题意知 992222 ? nn ，解得 5?n 。 （ 1） 10)12( xx? 的展开式中第 6项的二项式系数最大，即 8064)1()2( 555106 ? xxCT （ 2）设第 1?r 项的系数的绝对值最大，因为 rrrr
12、xxCT )1()2( 10101 ? ? rrrr xC 2101010 2)1( ? ? 则 ? ? ?110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC，得 ? ?110101101022rrrrCCCC即 ? ? ? rr rr 10)1(2 211解得 ?r38 311 所以 r=3，故系数的绝对值最大的项是第 4项 ,即 4373104 15360)1()2( xxxCT ? 19：（ ）记 “ 该产品不能销售 ” 为事件 A，则 6 1 1 1( ) 1 (1 ) (1 )6 10 4PA ? ? ? ? ? ?.所 以，该产品不能销售的概率为14. 4分
13、（ ）由已知，可知 X的取值为320 , 200 , 80 , 40 ,160?. 5分 411( 320) ( )4 256PX ? ? ? ?， 134 1 3 3( 200) ( )4 4 64P X C? ? ? ? ? ?， 2221 3 27( 80) ( ) ( )4 4 128X ? ? ? ? ? ?， 334 1 3 27( 40) ( )4 4 64X C? ? ? ? ?， 43 81( 160) ( )4 256? ? ?. 10分 所以 X的分布列为 X -320 -200 -80 40 160 P 125636427128648125611分 E(X)1 1 27
14、 27 81320 200 80 40 160256 64 128 64 256? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?40?所以，均值 E(X)为 40. 12分 20解： （ ）记顾客获得半价优惠为事件 A，则 P(A) 3 2 14 4 4 332， 两个顾 客至少一个人获得半价优惠的概率 P 1 P(A)P(A) 1 (1 332)2 1831024 ? 5 分 （ ）若选择 方案 一，则付款金额为 320 50 270元 若选择 方案 二，记付款 金额 为 X元，则 X可取 160， 224， 256， 320 P(X 160) 332， P(X 224) 3 2 3 3 2 1
15、1 2 14 4 4 1332， P(X 256) 3 2 3 12 3 12 14 4 4 1332， P(X 320) 1 2 34 4 4 332， 7 则 E(X) 160 332 224 1332 256 1332 320 332 240 270 240， 第二种 方案比较 划算 ? 12分 21.解： （ 1） ? ? ? ?33 13 , 1 3 3a x af x a e f a e e a? ? ? ? ? ?， ? ?g x kx b?为奇函数， 0b?； ? 4分 （ 2）由（ 1）知 ? ? xf x e? ， ? ?g x kx? ， 因为当 ? ?2,2x? 时，图
16、像 C 恒在 l 的上方，所以 ? ?2, 2 , xx e kx? ? ? ?恒成立， 记 ? ? ? ? ? ?, 2 , 0 0 , 2xeh x xx? ? ?，则 ? ?21 xxh x ex? ?，由 ? ? ? ?0 1, 2h x x? ? ? ?， ? ?hx? 在 ? ?2,0? 单调减，在 ? ?0,1 单调减，在 ? ?1,2 单调增， ? ? ?2, 0 , 2 1,2, 2 , 0xxekxx keeekxx? ? ? ? ? ? ? ? ? 综上，所求实数 k 的取值范围是21 , )2 ee?； ? 12 分 22 (1)f( x) aax 1 2 x 2 ax2 a 2ax x 2， f(x)在 x 1处取得极值， f(1) 0，即 a1 2 a 2 0，解得 a 1. (2)f( x) ax2 a 2ax x 2， x0 ， a0， ax 10. 当 a2 时，在区间 0， ) 上， f( x)0， f(x)的单调增区间为 0， ) 当 00，解得 x 2 aa . 由 f( x)0，解得 x 2 aa . f(x)的单调减区间为 (0, 2 aa )，单调增区间为 ( 2 aa
