1、专题五专题五 函数函数与导数与导数第第1313讲讲 函数的图象与性质函数的图象与性质1第13讲函数的图象与性质1.若函数f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于对称.答案答案直线x=1解析解析因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称.2.已知f(x)为定义在2-a,3上的偶函数,在0,3上单调递减,并且f f(-m2+2m-2),则m的取值范围是.25am答案答案112,2解析解析由题意可得2-a=-3,a=5,则f(-m2-1)=f(m2+1)f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),所以m2+1m2-2m+23,解
2、得1-m0且a1,设函数f(x)=的最大值为1,则a的取值范为.2,3,2log,3axxx x答案答案1,13解析解析若a1,则函数f(x)不存在最大值,若0a1,2+loga31,则loga3-1=loga ,解得a,故a的取值范围是a1.1a13134.已知函数f(x)=若存在实数a,b,c满足abc且f(a)=f(b)=f(c),则(ab+1)c的取值范围是.4log,04,13,4,2xxxx答案答案(16,64)解析解析画出函数f(x)的图象,由图象可知,0a1b4c6,且-log4a=log4b,得ab=1,则(ab+1)c=2c(16,64).5.若f(x)=ex+ae-x为偶
3、函数,则f(x-1)的解集为.2e1e答案答案(0,2)解析解析因为f(x)=ex+ae-x为偶函数,所以f(-x)=e-x+aex=ex+ae-x=f(x),整理得(a-1)(ex-e-x)=0,则a=1,所以f(x)=ex+e-x,f(x-1)即为eex-1+e-(x-1)e2+1,整理得e2x-ex+2-ex+e20,即为(ex-e2)(ex-1)0,解得1exe2,则0 x2.2e1e6.已知函数y=与函数y=的图象共有k(kN*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),Ak(xk,yk),则(xi+yi)=.1221xx1xx1ki答案答案2解析解析函数y=满足f(x)+f
4、(-x)=2,则该函数图象关于点(0,1)对称,且在R上单调递增,并且y(0,2).又函数y=的图象也关于点(0,1)对称,且在(0,+)和(-,0)上单调递减,所以两个函数图象共有2个公共点,A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于(0,1)对称,所以(xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.1221xx1xx21i题型一函数的性质题型一函数的性质例例1(1)(2018江苏)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)=则f(f(15)的值为.(2)(2018徐州高三考前模拟)若函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为.cos,02,21,2
5、0,2xxxx 42xxax9答案答案(1)(2)-122解析解析(1)因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),则函数的最小正周期是4,且在区间(-2,2上,f(x)=则f(f(15)=f(f(-1)=f=cos=.(2)函数f(x)=为定义在x上的奇函数,cos,02,21,20,2xxxx 1242242xxax0 x 10则f(-1)=-f(1),即=-,解得a=-1.1412a42a【方法归纳】若f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称;若f(x+a)+f(b-x)=c,则f(x)的图象关于点对称;若f(x+T)=f(x),则f(x)是周期为T的周期函数
6、.2ab,22ab c111-1(2018南京高三第三次模拟)若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)=则f(a+1)的值为.2,02,618,23,xxaxxx答案答案2解析解析由f(x)是定义在R上的周期为3的函数,得f(0)=f(3),解得a=0,则f(a+1)=f(1)=2.12题型二函数的图象题型二函数的图象例例2(2018扬州高三第三次调研)已知函数f(x)=的图象恰好经过三个象限,则实数a的取值范围是.31,0,|2|,0axxxaxxx答案答案(-,0)(2,+)13解析解析因为f(0)=-1,x+时,f(x)+,所以函数过第一、三象限,若a0时,f(x)0,此时函数
7、图象恰好经过第一、二、三3个象限;若a0,x0的函数图象只在第三象限,所以x0时,函数图象必须经过第四象限,即f(x)0时有解,即a,当0 x2时,y=x2+-1,y=2x-=,则0 x1,y0,函数递减,1x0,函数递增;当x2时,y=x2-+1递增,所以x=1时,=2,则a2,综上可得,实数a的取值范围是a2.2min2xxx2x22x322(1)xx2x2min2xxx14【方法归纳】(1)函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的性质,同时也会借用函数性质去研究函数图象的有关问题,二者相辅相成.(2)
8、关于函数图象的问题,一般要利用图象变换、等价转化等数学方法和思想进行转化,如图象上存在关于原点对称的点,即将x0的图象有交点,进而转化为方程有解问题,再结合分离参数法转化为函数的值域问题.152-1(2018江苏南通中学高三考前冲刺)若函数f(x)=的图象上存在关于原点对称的点,则实数a的取值范围是.24,0,2,0axxxx x答案答案40|27a a 16解析解析f(x)=x2+-4,x0的图象与f(x)=2x,x0的图象有交点,即方程-x2+4=2x,a=x3+2x2-4x,x0有解,令g(x)=x3+2x2-4x,x0,则g(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),x,g(x)
9、0,g(x)单调递增,则g(x)min=g=-,故a-.axaxax20,32,3234027402717题型三函数的图象和性质的综合应用题型三函数的图象和性质的综合应用例例3(2018苏锡常镇四市高三调研)已知函数f(x)=若存在实数abc,满足f(a)=f(b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是.1(|3|1),0,2ln,0,xxx x答案答案2e2-1218解析解析作出函数f(x)的图象如图,当f(a)=f(b)=f(c),abc时,有a+b=-6,lnc2,ce2,则af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-6)lnc,令g(c)=(c
10、-6)lnc,c(,e2,则g(c)=lnc+,c(,e2单调递增,且g()=-0,所以c0(,e2),使得g(c0)=0,且c(,c0),g(c)0,g(c)单调递增,且g()=(-6)0,则g(c)的最大值即为af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,即2e2-12.12ee6ccee326e26eeee12e19【方法归纳】(1)利用函数图象的对称性对目标函数化简、变形,尤其是目标函数中有多个变量时要结合图形减少变量个数.(2)求解目标函数的最值,首先要建立合适的目标函数,再利用目标函数的特征选择工具(如导数、基本不等式等)求解最值.203-1 (2018苏州第一学期期中)已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点A(m,f(m),B(n,f(n),C(t,f(t)(其中mnt),则n+2的取值范围是.ln,0,21,0,x xxx1m答案答案11,ee21解析解析作出函数f(x)的图象如图,设直线y=ax与y=lnx相切于(x0,lnx0),则曲线在切点处的切线方程为y-lnx0=(x-x0),把原点坐标代入得x0=e,要使直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点,则n(1,e),联立y=x,y=2x+1解得x=,则m,01x1ee12ee1,12e21m12,2e 故n+2.1m11,ee22
