1、 1 黑龙江省哈尔滨市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 考试说明： 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟 （ 1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （ 2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂 , 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写 , 字迹清楚； （ 3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （ 4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄 皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分
2、，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知随机变量 )6.0,10(B? ，则 )(),( ? DE 分别是（ ） （ A） 6 和 4.2 （ B） 4 和 4.2 （ C） 4 和 6.3 （ D） 6 和 6.1 2已知随机变量 X 服从正态分布 )1,3(N ，且 6826.0)42( ? XP ，则 ? )4(XP （ ） （ A） 0.1588 （ B） 0.1587 （ C） 0.1586 （ D） 0.1585 3. 将 4 名同学录取到 3 所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ） （ A） 12 （ B） 24 （ C） 36
3、 （ D） 72 4. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由)()()( )(2 dbcadcba bcadnK ? ?算得 8.7?k . 附表： P(K2 k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 ( ) 2 （ A）在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” （ B）在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为 “ 爱好该项运动与性别无关 ” （ C
4、）在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” （ D）在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为 “ 爱好该项运动与性别无关 ” 5. 函数 ? ? ? ?2 3 e xf x x?的单调递增区间是（ ） （ A） 1,2? （ B） ? ?2,? （ C） 10,2?（ D） 1,2?6. 一个箱子中有 4 个白球和 3 个黑球，一次摸出 2 个球，在已知它们颜色相同的情况下，这两个球的 颜色是白色的概率为（ ） （ A） 23 （ B） 13 （ C） 25 （ D） 27 7曲线 21xy x? ? 上一点 ? ?1,1 处的切线方程为（ ）
5、（ A） 20xy? ? ? （ B） 20xy? ? ? （ C） 4 5 0xy? ? ? （ D） 4 5 0xy? ? ? 8一个袋中装有大小相同 ,编号分别为 8,7,6,5,4,3,2,1 的八个球 ,从中有放回地每次取一个球 ,共取 2 次 ,则取得两个球的编号和小于 15的概率为 ( ) （ A） 2932 （ B） 6364 （ C） 3132 （ D） 6164 9在 ? ? ? ?4 211xx? ? ?的展开式中 ,x 项的系数为 ( ) （ A） 4? （ B） 2? （ C） 2 （ D） 4 10函数 ( ) 2cosf x x x? 在 ? ?,0 上的极小值点
6、为（ ） （ A） 0 （ B） 6? （ C） 65? （ D） ? 11从区间 ?1,0 随机抽取 n2 个数 , 2121 nn yyyxxx ? 构成 n 个数对 , ? ? ? ? ? ?, 2211 nn yxyxyx ?其中两数的平方和小于 1的数对共有 m 个，则用随机模拟的 方法得到的圆周率 ? 的近似值为 ( ) （ A） mn4 （ B） mn2 （ C） nm4 （ D） nm2 12定义域为 R 的函数 ?fx对任意 x 都有 ? ? ? ?4f x f x?，且在 R 上的导函数 ?fx? 满足 3 ? ? ? ?20x f x?，则当 24a? 时，有（ ） （
7、A） ? ? ? ? ? ?22 2 lo gaf f f a? （ B） ? ? ? ? ? ?22 2 lo gaf f f a? （ C） ? ? ? ? ? ?22 lo g 2 af f a f? （ D） ? ? ? ? ? ?2lo g 2 2af a f f? 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案写在答题卡上相应的位置 13. 已知函数 )(xfy? 的图象在点 ? ?1, 1Mf 处的切线方程是 2yx? ，则? ?11ff? _ 14.从 6,5,4,3,1,0 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没
8、有重复数字的三位数，这样的三位数共有 _ 15.已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的左顶点与抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ? ?1,2? ，则双曲线的焦距为_ 16.已知四面体 ABCD 中 , 6 , 4 , 2 1 3 ,A B A D A C C D A B? ? ? ? ?平面 ACD ，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 某学校篮球队 、 羽毛球队、乒乓球队各有 10
9、 名队员，某些队员不止参加 了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： （ 1）该队 员只属于一支球队的概率； （ 2）该队员最多属于两支球队的概率 18 （ 本 小 题 满 分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 1:2Cx? ，圆4 ? ? ? ?222 : 1 2 1C x y? ? ? ?，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求 12,CC的极坐标方程； （ 2）若直线 3C 的极坐标方程为 ? ?4?R ，设 2C 与 3C 的交点为 M ,N ,求 MNC2? 的面积 . 19 （本小题满分 12 分） 某品牌汽车的 4S 店，
10、对最近 100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示 .已知分 9 期付款的频率为 4.0 ；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分 3期付款，其利润为 1万元；分 6 期或 9 期付款，其利润为 2 万元；分 12期付款，其利润为 3万元 . 付款方式 分 3 期 分 6 期 分 9 期 分 12 期 频数 20 20 a b （ 1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取 3 位 顾客，求事件 A ： “ 至多有 1 位采用分 6 期付款 “ 的概率 ? ?PA； （ 2）按分层抽样方式从这 100位 顾客中抽取 5 人，再从抽取的 5 人中
11、随机抽取 3 人，记该店从 这 3 人 顾客 获得的总利润为随机变量 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 ?E? . 20.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB 底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PA PB， O 为 AB 的中点， OD PC. （ 1）求证： OC PD； （ 2）若 PD 与平面 PAB 所成的角为 30 ，求二面角 DPCB 的余弦值 21.（本小题满分 12 分） 已知函 数 ? ? ? ?21 1 ln2f x x a x a x? ? ? ?.讨论函数 ?fx的单调区间 . 5 22.（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆
12、 C 的中心在原点， 它的 一个焦点与抛物线 xy 642 ?的焦点相同，又椭圆 C 上有一点 ? ?1,2M ，直线 l 平行于 OM 且与椭圆 C 交于 BA, 两点，连接 MBMA, . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求证：直线 MA， MB 与 x 轴所构成的三角形总是以 x 轴上所在线段为底边的等腰三角形 . 6 理科数学答案 一、 选择题： ABCAD ABDDC CC 二、 填空题： 13. 4 14.48 15. 52 16. ?88 三、解答题： 17.解： 由题图知，三支球队共有队员 10 4 3 3 20 人， 其 中只参加一支球队的队员有 5 4 3 12 人，
13、参加两支球队的队员有 1 2 3 6 人 (1)设 “ 该队员只属于一支球队 ” 为事件 A，则 P(A) 12 320 5? .5分 (2)设 “ 该队员最多属于两支球队 ” 为事件 B， 则 P(B) 12 6 18 920 20 20 10? ? ?(或 P(B) 1 220 910 ).10 分 18.解： 因为 cos , sinxy? ? ? ?，所以 1C 的极坐标方程为 cos 2? ， 2C 的极坐标方程为 2 2 c o s 4 s in 4 0? ? ? ? ? ? ? ?.5 分 （ 2）将 4? 代入 2 2 c o s 4 s in 4 0? ? ? ? ? ? ?
14、 ?， 得 2 3 2 4 0? ? ? ，解得 122 2, 2?，所以2MN? .10 分 又因为 2C 的半径为 1 ， 所 以 2CMN? 的面积为112 1 sin 4522? ? ? ? ?.12 分 19解： （ 1）由题意， 100 0.4 40a ? ? ?， 1 0 0 2 0 2 0 4 0 2 0b ? ? ? ? ?， 则表中分 6 期付款购车的顾客频率 15p? ， 所以 ? ? ? ? ? ?3231 11211 125P A p C p? ? ? ? ?.4 分 （ 2）按分层抽样的方式抽取的 5 人中，有 1 位分 3 期付款，有 3 位分 6 期或 9 期付
15、 款，有1 位分 12 期付款 . 7 随机变量 ? 可能取的值是 5， 6， 7， 则3523)5(CCP ?， 3523)7(CCP ?，3513 1)6(CCP ?， 所以随机变量 ? 的分布列为 ? 5 6 7 p 0.3 0.4 0.3 ? ? 5 0 .3 6 0 .4 7 0 .3 6E ? ? ? ? ? ? ? ?（万元 ）即为所求 .12分 20解： (1)证明：连接 OP， PA PB， O 为 AB 的中点， OP AB. 侧面 PAB底面 ABCD， OP平面 ABCD， OP OD， OP OC. OD PC， OP PC P， OD平面 OPC， OC?平面 OP
16、C， OD OC，又 OP OC， OD OP O， OC平面 OPD， PD?平面 OPD， OC PD.4 分 8 .12 分 21.解：函数 ?fx的定义域为 ? ?0,? ， ? ? ? ?2 11 x a x aaf x x a xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11x x ax? ? ? ， 令 ? ? 0fx? ? ，解得 121, 1x x a? ? ?，当 2a? 时， ? ? 0fx? ? 恒成立，则函数 ?fx的单调递增区间 是 ? ?0,? . 当 11a? ，即 2a? 时，在区间 ? ?0,1 和 ? ?1,a? ? 上 ? ? 0fx? ? ；在区间 ? ?1, 1a? 上? ? 0fx? ? ，故函数 ?fx的单调递增区间是 ? ?0,1 和 ? ?1,a? ? ，单调递减区间是 ? ?1, 1a? . 当 0 1 1a? ? ? ，即 12a?时，在区间 ? ?0, 1a? 和 ? ?1,? 上， ? ? 0fx? ? ；在区间? ?1,1a? 上 ? ? 0fx? ? ，故函数 ?fx的单调递增区间是 ? ?0, 1a? 和 ? ?1,? ，单调递减区间是 ? ?1,1a? .
