1、 1 黑龙江省齐齐哈尔市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 第卷（共 60分） 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1.若集合 A=x|x| 1 ， B=x| 1，则 A B= ( ) A（ 1， 1 B 1， 1 C（ 0， 1） D（ ， 1 2.在复平面内，复数 对应的点在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.用反证法证明命题：“, , ,a b c d R?，1ab?，1cd，且1ac bd?，则, ,abc中至少有一个负数”时的假设为 ( ) A, , ,abcd
2、中至少有一个正数 B,a cd全为正数 C 全都大于等于 0 Db中至多有一个负数 4.已知 a 0， b 0，且 + =1，则 a+2b的最小值是 ( ) A 3 2 B 3+2 C 2 D 4 5.已知 ,xy的取值如下 表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为： 72y bx?，则 b? ( ) A 110? B 12? C 110 D 12 6. 将曲线 y=cos6x按照伸缩变换 32xxyy?后得到的曲线方程为 ( ). A.y =2cos3x B.y =3cos2x C.y =12 cos2x D.y =2cos2x 7.如图给出的
3、是计算 1+ + +? + 的值的一个程序框图，则判断框内应填 入的条件是 ( ) 2 A i 1009 B i 1009 C i 1010 D i 1010 8.若 a 0， b 0，且函数 f（ x） =4x3 ax2 2bx 2在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值 为 （ ） A 2 B 3 C 6 D 9 9.在 R上可导的函数 f（ x）的图形如图所示，则关于 x的不等式 x?f （ x） 0的解集为 （ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， + ） C（ 2， 1） （ 1， 2） D（ ， 2） （ 2， + ） 10.二项式（ x a） 7的展开式
4、中，含 x4项的系数为 280，则 dx= （ ） A ln2 B ln2+1 C 1 D 11.某企业有 4个分厂，新培训了一批 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为 ( ) A 1080 B 480 C 1560 D 300 12.设函数)(xf是定义在)0,?上的可导函数，其导函数为(xf?， 且有 0)()(3 ? xfxxf，则不等式0)3(27)2015()2015( 3 ? fxfx的解集 为 （ ） A.)2015,2018( ?B.)2016,( ?C.)2015,2016( ?D.)2012,?第卷（共 90分） 二、
5、 填空题 （ 本大题共 4小题 ， 每小题 5分 ， 共 20 分 ） . 13.复数 Z满足（ 1+i） Z=|1 i|， 则 Z的虚部为 3 14.若随机变量 N（ 2， 1），且 P（ 3） =0.158 7，则 P（ 1） = 15.观察下列等式 23(1 1 ) 2 1( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 1 3( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 2 1 3 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 照此规律，第 n 个等式可为 16.如图，点 A 的坐标为 (1,0) ，函数 2y ax? 过点 (2,4)C ，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影
6、部分的概率等于 _. 三、解答题 （ 本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明 ,证明 过程或演算步骤 ） 17. (本小题满分 10分 ) 已知曲线 C1的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为： =4sin （ + ），直线 l的极坐标方程为 = （ ）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （ ）若曲线 C1和曲线 C2与直线 l分别交于非坐标原点的 A， B两点，求 |AB|的值 18. (本小题满分 12分 ) 已知函数 f（ x） =|x 3| 2|x+1|的最大值为 m （ ） 求 m的值
7、和不等式 f（ x） 1的解集； （） 若 a， b （ 0， + ）， a2+2b2+c2=m，求 ab+bc 的最大值 19. (本小题满分 12分 ) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6小时的用户为 “A 组 ” ，否则为 “B 组 ” ，调查结果如下： A组 B组 合计 4 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ ）根据以上数据，能否有 60%的把握认
8、 为 “A 组 ” 用户与 “ 性别 ” 有关？ （ ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5人赠送营养面膜 1份，求所抽取 5人中 “A 组 ” 和 “B 组 ” 的人数；（ ）从（ ）中抽取的 5人中再随机抽取 3人赠送 200元的护肤品套装，记这 3人中在 “A 组 ” 的人数为 X，试求 X的分布列与数学期望 参考公式： K2= ，其中 n=a+b+c+d为样本容量参考数据： P（ K2 k0） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 20. (本小题满分 12分 ) 如图，在四
9、棱锥 P ABCD中， PC 底面 ABCD， ABCD是直角梯形， AB AD， AB CD，AB=2AD=2CD=2 E是 PB的中点 （ ）求证：平面 EAC 平面 PBC； （ ）若二面角 P AC E的余弦值为 ，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值 21. (本小题满分 12分 ) 已知 点 ? ?0 2A ?， ， 椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的 离心 率 为 32， F 是椭圆的右 焦点，直线 AF 的 斜率为 233， O 为 坐标原点 . （ ） 求 E 的 方程 ； 5 （）设 过点 A 的 动直线 l 与 E 相 交于 PQ， 两点 ，
10、当 POQ 的 面积最大时，求 l 的 方程 . 22. (本小题满分 12分 ) 已知函数 f（ x） =x ， m R，且 m 0 （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若 m= 1，求证：函数 F（ x） =x 有且只有一个零点 6 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学试题（理科）答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C B D D A D A C C A 二、填空题 13 14 0.8413 15 )12(5312)()3)(2)(1( ? nnnnnn n ? 16 512 三、 解答题 17. (本小题满分 10分 )
11、解：（ 1）曲线 C1的参数方程为： （ 为参数）， 普通方程为 x2+（ y 1） 2=1，曲线 C2的极坐标方程为： =4sin （ + ），即=2sin +2 cos ，直角坐标方程为 x2+y2=2y+2 x； -5分 （ 2）曲线 C1的极坐标方程为： =2sin ， 将 = 代入 C1的极坐标方程得 1=1， 将 = 代入 C2的极坐标方程得 2=4， |AB|= 2 1=3 10 分 18. (本小题满分 12分 ) 解：（ 1）当 x 1时， f（ x） =（ 3 x） +2（ x+1） =x+5 4； 当 1 x 3时， f（ x） =（ 3 x） 2（ x+1） = 3x+
12、1 （ 8， 4）； 当 x 3时， f（ x） =（ x 3） 2（ x+1） = x 5 8 ? 故当 x= 1时， f（ x）取得最大值 m=4； -4分 |x 3| 2|x+1| 1，可化为 当 x 1时， x+5 1， x 4；当 1 x 3时， 3x+1 1， x 0， 0 x 3； 当 x 3时， x 5 1， x 4， x 3， 综上所述，不等式 f（ x） 1的解集为 x|x 4或 x 0； -8分 （ 2）由（ 2）知， a2+2b2+c2=4，则 ab+bc （ a2+b2） +（ b2+c2） =2， ab+bc 的最大值为 2 -12 分 19. (本小题满分 12分
13、 ) 7 解：（ 1）由 2 2列联表可得 K2= = 0.649 0.708； 没有 60%的把握认为 “A 组 ” 用户与 “ 性别 ” 有关； -4分 （ 2）由题意得，所抽取的 5位女性中， “A 组 ” 有 5 =3人， “B 组 ” 有 5 =2人； -6分 （ 3） X的所有可能取值为 1， 2， 3， 则 P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， 所有 X的分布列为： X 1 2 3 P 其数学期望为 EX=1 +2 +3 = -12分 20. (本小题满分 12分 ) （ ）证明： PC 平面 ABCD， AC?平面 ABCD， AC
14、 PC， AB=2， AD=CD=1， AC=BC= ， AC2+BC2=AB2， AC BC， 又 BC PC=C， AC 平面 PBC， AC?平面 EAC， 平面 EAC 平面 PBC ? -4分 （ ）如图，以 C为原点，取 AB中点 F， 、 、 分别为 x轴、 y轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系，则 C（ 0， 0， 0）， A（ 1， 1， 0）， B（ 1， 1， 0） 设 P（ 0， 0， a）（ a 0），则 E（ ， ， ）， ? =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， a）， =（ ， ， ）， 取 =（ 1， 1， 0），则 ? = ? =0， 为面 PAC
15、的法向量 设 =（ x， y， z）为面 EAC的法向量，则 ? = ? =0， 8 即 取 x=a， y= a， z= 2，则 =（ a， a， 2）， 依题意， |cos ， |= = = ，则 a=2 ? 于是 =（ 2， 2， 2）， =（ 1， 1， 2） 设直线 PA与平面 EAC 所成角为 ，则 sin= |cos ， |= = ， 即直线 PA与平面 EAC 所成角的正弦值为 ? -12分 21. (本小题满分 12分 ) 从而 ? ? ? ? ? ? ? ? 222 2 221 2 1 2 1 2 1 2 24 1 4 314 14kkP Q x x y y k x x x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又 点 O 到 直线 PQ 的 距离为22 1d k? ?， 9 所 以 POQ 的 面积 221 4 4 32 4 1P O Q kS d P Q k ? ? ? ?， 设 243kt? ， 则 0t? ，24444OPQ tS tt t? ?， 因为 4 4tt?， 当且仅当 2t? ， 即 72k?时 等号成立，且满足 0? ， 所 以 当 OPQ 的 面积最大时， l
