1、 1 湖北省黄石市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 1 随机变量 ? 服从二项分布 ? ? ?pnB , ，且 ,200,300 ? ? DE 则 p 等于（ ） A. 32 B. 31 C. 1 D. 0 2.若随机变量 ，则有下列结论： ? ? 0 .6 8 2 6 ,PX? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 0 . 9 5 4 4 , 3 3 0 . 9 9 7 4P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，高三（ 1）班有 40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为 120 分，方差 100，理论上说在
2、 130 分以上的人数为（ ） A. 19 B. 12 C. 6 D. 5 3. 广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5个年度的广告费和销售额进行 统计，得到统计数据如下表（单位：万元）： 广告费 x 2 3 4 5 6 销售额 y 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程为 ? ?10.2y x a?，据此模型，预测广告费为 10 万元时的销售额约为 （ ） A 111.2 B 108.8 C 101.2 D 118.2 4. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A 34种 B 48种 C 96 种 D 144种 5. 由曲线
3、 y x2， y x3围成的封闭图形的面积为 ( ) A.712 B 14 C 13 D 112 为 36. 如图，某几何体的三 视图中，正视图和侧视图都是半径的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中 点，底边在直径上，则它的表面积是（ ） A. ?6 B.?8 C. ?11 D. ?10 7. 设 F1、 F2分别为双曲线 12222 ?byax 的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足 |PF2|=|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的 离心率 为 ( ) A.34 B.35 C.2 D.25 2 8 如果函数 的图象如图，那么导函数 的
4、图象可能是（ ） A B C D 9. 若函数 y x3 ax2 4在 (0,2)内单调递减，则实数 a的取值范围是 （ ） A.(3， ) B .3， ) C.(- , 3) D.(- , 3) 10. 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ， PA PD? ，PA PD? ， AB AD? ， 1AB? ， 2AD? ， 5AC CD?.则 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 为 ( ) A. 33 B. 31 C. 32 D. 35 11. 若函数 f(x)=lnx+ax2-2在区间 (21 ,2)内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ） A
5、B ( 81 ,+ ) C -2， + ） D 12.设函数 在 上存在导数 ， 对任意的 R，有 ，且 时，若 ，则实数 的取值范围为 ( ) A.1, + ) B.(- ,2 C. (- ,1 D.2, + ) 第卷 3 二、填空题 ：本题共 4小题，每小题 5分。 13 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程是 _. 14 在 nxx ? ?23的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 _ 15.若 f(x)? x3 sinx， 1 x1 ，2， 1 x2. 则 ? 12 f(x)dx等于 _ 16.已知 x=0是函数 f(x)=(x-2a)(x2+a2
6、x+2a3)的极小值 点，则实数 a的取值范围是 _ 三、解答题 ：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10分） 设 a 为实数， 函数 f（ x） =x3-x2-x+a， （）求 f（ x）的极值； （）当 a在什么范围内取值时，曲线 y=f（ x）与 x轴仅有一个交点。 18（本小题满分 12分） 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某校随机抽取 16 名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )如 下： （）指出这组数据的众数和中位数； （）若视力测试结果不低于 5.0，则称
7、为“好视力”，求校医从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1人是“好视力”的概率； （）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校 (人数很多 )任选 3人，记 ?表示抽到“好视力”学生的人数，求 ? 的分布列及数学期望 4 19（本小题满分 12分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中， PA ? 平面 ABCD ， DAB? 为直角， /AB CD ，22AD CD AB? ? ?， ,EF分别为 ,PCCD 的中点 （ 1）证明： AB ? 平面 BEF ； （ 2）若 255PA?，求二面角 CBDE ? 的大小 ； （ 3） 求点 C 到平面 DEB
8、的距离 20 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0) 的 焦距为2， 过 右焦点 F的直线 l 交椭圆于 AB、 两点，当 l 与 x 轴垂直时， AB 长为 433 （ 1） 求椭圆的标准方程； （ 2）若椭圆上存在一点 P，使得OP OA OB?，求直线 l 的斜率 . 21. (本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ? ? ?3xf x x a e x? ? ? ?，其中 aR? （ I）若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?0,Aa处的切线 l 与直线 22y a x?平行，求 l 的方程； （ II）讨论函数
9、 ? ?y f x? 单调性 22 （本小题满分 12分） 函数 21( ) ln ( )2f x x x a x a R? ? ? ?， 23() 2xg x e x? （ ） 讨论 ()fx的极值点的个数； （ ） 若对于 0x?，总有 ( ) ( )f x g x .（ i）求实数 a 的范围； （ ii）求证：对于 0x? ，5 不等式 2 ( 1) 2x ee x e x x? ? ? ? ?成立 6 高二理科数学参考答案 一、选择题： BCACD DBABA DC 二、填空题： 13、 2x+y+1=0 14、 112 15、 2 16、 或 17. 解：（）令 得： ，又当 x
10、(-， )时， f（ x） 0； 当 x ( ， 1)时， f（ x） 0；当 x (1， + )时， f（ x） 0， 与 分别为 f（ x）的极大值与极小值点， f（ x） 极大值 = ， f（ x） 极小值 =a-1； （） f（ x）在 (-， )上单调递增， 当 x -时， f（ x） -； 又 f（ x）在 (1， + )单调递增，当 x +时， f（ x） +，当 f（ x） 极大值 0 或 f（ x） 极小值 0时，曲线 f（ x）与 x轴仅有一个交点，即 或 a-1 0， a (-， ) (1， + )。 18.解 ： （ I）众数： 4.6和 4.7；中位数： 4.75?
11、3分 （ II） 设 iA 表示所取 3 人中有个人是“好视力”，至多有 1 人是“好视力”记为事件，则140121)()()( 3162121431631210 ? C CCCCAPAPAP? 6分 （ III） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 6427)43()0( 3 ?P 6427)43(41)1( 213 ? CP ? 64943)41()2( 223 ? CP ? 641)41()3( 3 ?P 的分布列为 ?E 75.0? ? 12 分 19.解析：（ 1）证：由已知 DF AB且 ?DAB为直角，故 ABFD是矩形，从而 AB?BF 又 PA?底面 ABCD, 平面 PAD
12、?平面 ABCD， AB?AD，故 AB 平面 PAD, AB PD， 7 在 PCD内， E、 F分别是 PC、 CD 的中点， EF/PD， AB?EF由此得 ?AB平面 BEF .4 分 20解： (1)由 题意可知 1c? ， 当 l 与 x 轴垂直时， 22bABa?433? 2分 因为 2 2 2,a b c? 所以 3a? ， 2 2b? 故椭圆的标准方程是： 22132xy?. ? 4分 (2)设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程： ( 1)y k x?，设点 11( , )Ax y , 22( , )Bx y ， 33( , )Px y . 由 221,32( 1)
13、,xyy k x? ? ?可得 2 2 2 2( 3 2 ) 6 3 6 0 .k x k x k? ? ? ? ? ? 6分 则 212 2632kxx k? ?， 212 23632kxx k ? ?. （ *）因 OP OA OB?，则 3 1 23 1 2x x xy y y? ? ，代入椭圆方程有221 2 1 2( ) ( ) 132x x y y?，又 2211132xy?， 22132xy?，化简得 1 2 1 22 3 3 0x x y y? ? ?，即 2 2 21 2 1 2( 3 2 ) 3 ( ) 3 3 0k x x k x x k? ? ? ? ? ?， ? 10
14、 分 将（ *）代入得 22222363 6 3 3 032kkkkk ? ? ? ? ?， 2 2k? ，即 2k? . 故直线 l 的斜率为 2? .? 12分 21解 8 当 13a? 时， ? ? ? ?11,033xf x x e f? ? ?， l 的方程为： 4133yx? （ II）令 ? ? ? ?10xf x x a e? ? ? ? ?得 1xa? ? ， 当 13a? ? ? ，即 2a? 时， ? ? ? ? ? ?1 0 ,xf x x a e f x? ? ? ? ?在 ? ?3,? ? 上递增 当 13a? ? ? 即 2a? 时，令 ? 0fx? ? 得 1x
15、a? ? ， ?fx 递增；令 ? 0fx? ? 得? ?3 1,x a f x? ? ? ? ? 递减，综上所述，当 2a? 时， ?fx的增区间为 ? ?1,a? ? ? ，减区间为? ?3, 1a? ? ? ；当 2a? 时， ?fx在 ? ?3,? ? 上递增 22.解： （） 解法一： 由题意得 211( ) = ( 0 )x a xf x x a xxx? ? ? ? ?， 令 2 4a? ? （ 1）当 2 40a? ? ? ，即 22a? ? ? 时， 2 10x ax? ? ? 对 0x? 恒成立 即 2 1( ) 0x axfx x? ?对 0x? 恒成立，此时 ()fx没
16、有极值点； ? ? 2分 （ 2）当 2 40a? ? ? ，即 22aa? ?或 2a? 时，设方程 2 1=0x ax? 两个不同实根为 12,xx，不妨设 12xx? 则 1 2 1 20 , 1 0x x a x x? ? ? ? ? ?，故 210xx? 12x x x x?或 时 ( ) 0fx? ；在12x x x? 时 ( ) 0fx? 故 12,xx是函数 ()fx的两个极值点 . 2a? 时，设方程 2 1=0x ax? 两 个不同实根为 12,xx， 则 1 2 1 20 , 1 0x x a x x? ? ? ? ? ?，故 210, 0xx? 0x? 时， ( ) 0
17、fx? ；故 函数 ()fx没有极值点 . ? 4分 综上，当 2a? 时，函数 ()fx有两个极值点 ； 当 2a? 时，函数 ()fx没有极值点 . ?5 分 9 解法二： 1()f x x ax? ? ? ?, ? 1分 0 , ( ) 2 , )x f x a? ? ? ? ?, 当 20a? ，即 2, )a? ? 时， ( ) 0fx? 对 0x? 恒成立，()fx在 (0, )? 单调增， ()fx没有极值点； ? 3分 当 20a? ，即 ( , 2)a? ? 时，方程 2 10x ax? ? ? 有两个不等正数解 12 , xx， 2 12( ) ( )11( ) ( 0 )x x x xx a xf x x a xx x x? ? ? ? ? ? ?不妨设 120 xx?，则当 1(0, )xx?时， (
