1、 1 湖南省醴陵市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 时量： 120分钟 总分： 150分 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共计 60分） 1 已知复数 z满足 ，那么 的虚部为（ ） A 1 B -i C 1? D i 2 定积分 10(2 )xx e dx?的值为（ ） A B C D 3 观察下列各式： 222255?， 333310 10?， 444417 17?，?若99mmnn? ，则 nm? =（ ） A 43 B 73 C 57 D 91 4 按 ABO血型系统学说，每个人的血型为 A， B， O， AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人
2、的血型是 AB 型时，子女 的血型一定不是 O型，若某人的血型的 O 型，则父母血型的所有可能情况有（ ） A 12种 B 6种 C 9种 D 10种 5 曲线 与坐标轴所围成图形面积是（ ） A 4 B 2 C D 3 6 的展开式中常数项是（ ） A 160 B -20 C 20 D -160 7 用数学归纳法证明“ ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 2 ( 2 1 ) ( )nn n n n n n N ? ? ? ? ? ? ? ?，从 “ nk? 到1nk?”时，左边应增添的式子是 （ ） 2 A 21k? B 23k? C. 2(2 1)k? D 2(2 3)k? 8 某商场
3、从生产厂家以每件 20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 P元，销售量为 Q件，且销量 Q与零售价 P有如下关系： Q 8300 170P P2，则最大毛利润为 (毛利润销售收入进货支出 )（ ） A 30元 B 60元 C 23000元 D 28000元 9 若 2( ) 2 (1)f x xf x?，则 (0)f? 等于（ ） A 2 B 4 C 2 D -4 10 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）A 12 B 24 C 36 D 30 11若不等式 2xln x x2 ax 3对 x
4、 (0， )恒成立，则实数 a的取值范围是 ( ) A (， 0) B (0， ) C (， 4 D 4， ) 12 是定义在 上的函数 , 若存在区间 ， 使函数 在 上的值域恰为，则称函数 是 型函数给出下列说法： 不可能是 型函数； 若函数 是 型函数 , 则 ， ； 设函数 是 型函数 , 则 的最小值为 ； 3 若函数 是 型函数 , 则 的最大值为 下列选项正确的是（ ） A B C D 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共计 20分） 13、已知函数 2723 ? bxaxxy 在 1?x 处有极大值，在 3?x 处极小值， 则 ?a ， ?b 14. 设 i 是虚数单位，复
5、数 12aii? 为纯虚数，则实数 a 的值为 15. 在平面直角坐标系 中，若曲线 在 （ e为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数 a的值为 16. 已知集合 ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,1 0 ,1 1,1 2M ? ，以下命题正确的序号是 如果函数 1 2 7( ) ( )( ) ( )f x x x a x a x a? ? ? ?，其中 ( 1,2,3 7)ia M i? ，那么 的最大值为 712 。 数列 ?na 满足首项1 2a?, 221 2,kka a k N ? ? ? ?，当 且 最大时，数列 有 2048个。 数列
6、 ? ?( 1,2,3, 8)nan? 满足 1 5a? ， 8 7a? ， 1 2,kka a k N ? ? ? ?，如果数列 ?na 中的每一项都是集合 M的元素，则符合这些条件的不同数列 ?na 一共有 33 个。 已知直线 0m n ka x a y a? ? ?，其中 ,m n ka a a M? ，而且 m n ka a a?，则一共可以得到不同的直线 196条。 4 三、解答题（共 6小题， 17 题 10 分， 18至 22题每题 12分，共计 70分） 17. 已知复数 2 26 (m 5 6 )3mmz m im? ? ? ?（ 1） m取什么值时， z是实数？ （ 2）
7、 m 取什么值时， z是纯虚数？ 18.(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，求 (1)a1 a2 a3 a4. (2)(a0 a2 a4)2 (a1 a3)2. 19. 6个人坐在一排 10个座位上 ,问 (1)空位不相邻的坐法有多少种 ? (2)4个空位只有 3个相邻的坐法有多少种 ? (3)4个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种 ? 5 20. 用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形 铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 21. 设 1( ) (1
8、 )nf n nn? ? ?，其中 n 为正整数 （ 1）求 (1), (2), (3)f f f 的值； （ 2）猜想满足不等式 ( ) 0fn? 的正整数 n 的范围，并用数学归纳 法证明你的猜想 22. 已知函数 ( 2)( ) 1 kxf x Inx x? ? ?，其中 k 为常数 . （ 1）若 0k? ，求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2）若 5k? ，求证： ()fx有且仅有两个零点； （ 3）若 k 为整数，且当 2x? 时， ( ) 0fx? 恒成立，求 k 的最大值 . 6 答案部分 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共计 60分
9、） ABBCD DCCDD CA 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共计 20分） 13. ?a -3， ?b -9 14. 15. 16. 三、解答题（共 6小题， 17 题 10 分， 18至 22题每题 12分， 共计 70分 ） 17.（本小题满分 10 分） （ 1）解 当 时， z为实数 5分 （ 2）解： 当 时， z为纯虚数 10分 18. （本 小题满分 12 分） 解： (1)由 (2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4， 令 x 1得 (2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4， 令 x 0得 (0 3)4 a0， 所以 a1 a2 a3 a4 a0
10、 a1 a2 a3 a4 a0 (2 3)4 81 80. 6分 (2)在 (2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4中， 令 x 1得 (2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4. 7 令 x 1得 ( 2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4. 所以 由 有 (a0 a2 a4)2 (a1 a3)2 (a0 a1 a2 a3 a4)(a0 a1 a2 a3 a4) ( 2 3)4(2 3)4 (2 3)4(2 3)4 625. 12分 19. （本小题满分 12 分） 解： (1) 6467 25200AC ? 4分 (2) 6267 30240AA? 8分 （ 3） 6
11、4 1 2 26 7 7 6 7(C ) 1 1 5 9 2 0A C C C? ? ? 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：根据题意可设容器的高为 x，容器的体积为 V， 则有 V=（ 90 2x）（ 48 2x） x=4x3 276x2+4320x，（ 0 x 24） 5分 求导可得到： V =12x2 552x+4320 6 分 由 V =12x2 552x+4320=0 得 x1=10， x2=36 所以当 0 x 10 时， V 0， 当 10 x 24时， V 0， 10 分 所以当 x=10， V有最大值 V（ 10） =19600 11分 答：当高为 10，最大容积
12、为 19600 12 分 21. （本小题满分 12 分） 解：（ 1） 3分 （ 2）猜想： 5分 8 证明：当 时， 成立 6分 假设当 时猜想正确，即 7分 由于 ，即 成立 11分 由可知，对 成立 12 分 22. （本小题满分 12 分） 解：（ 1）当 k 0时， f（ x） 1 lnx 因为 f（ x） ，从而 f（ 1） 1 又 f（ 1） 1， 所以曲线 y f（ x）在点 （ 1， f（ 1）处的切线方程 y 1 x 1， 即 x y 0 3分 （ 2）当 k 5时， f（ x） lnx 4 因为 f （ x） ，从而 当 x（ 0， 10）， f （ x） 0， f（
13、x）单调递减； 当 x（ 10，）时， f （ x） 0， f（ x）单调递增 所以当 x 10时， f（ x）有极小值 因 f（ 10） ln10 3 0， f（ 1） 6 0，所以 f（ x）在（ 1， 10）之间有一个零点 因为 f（ e4） 4 4 0，所以 f（ x）在（ 10， e4）之间有一个零点 7 分 9 从而 f（ x）有两个不同的零点 （ 3）方法一：由题意知， 1+lnx 0对 x（ 2，）恒成立， 即 k 对 x（ 2，）恒成立 令 h（ x） ，则 h（ x） 设 v（ x） x 2lnx 4，则 v（ x） 当 x（ 2，）时， v（ x）（ x） 0，所以 v（
14、 x）在（ 2，）为增函数 因为 v（ 8） 8 2ln8 4 4 2ln8 0， v（ 9） 5 2ln9 0， 所以存在 x0（ 8， 9）， v（ x0） 0，即 x0 2lnx0 4 0 当 x（ 2， x0）时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 当 x（ x0，）时， h（ x） 0， h（ x）单调递增 所以当 x x0时， h（ x）的最小值 h（ x0） 因为 lnx0 ，所以 h（ x0） （ 4， 4.5） 故所求的整数 k的最大值为 4 12分 方法二：由题意知， 1+lnx 0对 x（ 2，）恒成立 f（ x） 1+lnx ， f （ x） 当 2k 2，即 k 1时， f（ x） 0对 x（ 2，） 恒成立， 所以 f（ x）在（ 2，）上单调递增 而 f（ 2） 1 ln2 0成立，所以满足要求 当 2k 2，即 k 1时， 当 x（ 2， 2k）时， f （ x） 0， f（ x）单调递减， 当 x（ 2k，）， f （ x）
