1、 - 1 - 东丰三中 2017-2018 学年第二学期期中质量检测 高二数学（理科） 一、单项选择 （每小题 5分） 1、 若 11 iz i? ? (i 为虚数单位 )的共轭复数的虚部为 ( ) A. 1? B. 1 C. i? D. i 2、 ，则 ( ) A. B. C. D. 3、 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4、 用反证法证明某命题时，对结论： “ 自然数 a， b， c中恰有一个偶数 ” 正确的反设为（ ） A a， b， c中至少有两个偶数 B a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 C a， b， c都是奇数 D
2、a， b， c都是偶数 - 2 - 5、 函数 ? ? ? ?23 xf x x e? 的单调递增区间是（ ） A. ? ?,0? B. ? ?0?， C. ? ?,3? 和 ? ?1?， D. （ -3,） 6、 给出以下数对序列： (1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； 记第 i行的第 j个数对为 aij，如 a43 (3,2)，则 anm ( ) A. (m， n m 1) B. (m 1， n m) C. (m 1， n m 1) D. (m， n m) 7、 曲线 lnyx? 在点21,2e?处的切线方程为（
3、 ） A. 2 3y e x? B. 2y ex? C. ? ?2 1y e x? D. 2 2y e x? 8、 函数 lnxy x? 的最大值为（ ） A. 1e? B. e C. 2e D. 103 9、 若函数 ? ? 32 4f x x x ax? ? ? ?在区间 ? ?1,1? 内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ? ?1,5 B. ? ?1,5 C. ? ?1,5 D. ? ? ? ?,1 5,? ? ? 10、 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 11、 用数学归纳法证明 “ （ ） ” 时，由 的假设证明 时，不等式左边需增加的项数为（ ） A.
4、 B. C. D. - 3 - 12、 点 P是曲线 y=ex+x上的点， Q是直线 y=2x 1上的点，则 |PQ|的最小值为（ ） A B C D 2 二、填空题 （每小题 5 分） 13、 已知 b 为实数， i 为虚数单位，若 21bii? 为实数，则 b? _ 14、 已知函数 ? ? 21 , 1 1 ,1xxxfx ex? ? ? ? ?则 ? ?21df x x?=_ 15、 学校艺术节对同一类的 , , ,ABCD 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是 C 或 D 作品得一等奖 ” ； 乙说： “ B 作
5、品获得一等奖 ” ； 丙说： “ ,AD两项作品未获得一等奖 ” ； 丁说： “ 是 C 作品获得一等奖 ”. 若这四位同学只有两位的话是对的，则获得一等奖的是 _ 16、 若函数 f（ x） =x3 tx2+3x 在区间 1， 4上单调递减，则实数 t的取值范围是 三、解答题（第 17小题 10 分，其余每小题 12分 ） 17、（本小题 10分） 已知复数 （ 1）求 |z|； （ 2）若 z（ z+a） =b+i，求实数 a， b的值 18、（本小题 12 分） 求由抛物线 2 43y x x? ? ?与它在点 A（ 0， 3）和点 B(3， 0)的切线所围成的区域的面积。 - 4 -
6、19（本小题 12分）、 已知 f（ x） =ax2 2lnx， x 0， e，其中 e是自然对数的底 （ 1）若 f（ x）在 x=1处取得极值，求 a的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间 20、（本小题 12分） 设 Sn 1 1 11 2 2 3 3 4? ? ? ? ? ?11nn，写出 S1， S2， S3， S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明 21、（本小题 12分） 已知函数 ? ? 2lnf x a x x?(a 为实常数 ) （ 1）若 a 2，求证：函数 ?fx在 (1， +) 上是增函数； （ 2）求函数 ?fx在 ? ?1,e 上的最小值及相应的 x 值 22、
7、（本小题 12分） 已知函数? ? ? ? ? ? 211, 2xf x x a e g x x ax? ? ? ? ?，其中a为常数 . （ 1）若2a?时，求函数?在点? ? ?0, 0f处的切线方程； - 5 - （ 2）若对任意? ?0,x? ?，不等式? ? ? ?f x g x?恒成立，求实数a的取值范围 . 参考答案理科 一、单项选择 1、【答案】 B 2、【答案】 B 3、【答案】 C 4、【答案】 B 【解析】 解： 结论： “ 自然数 a， b， c中恰有一个偶数 ” 可得题设为： a， b， c中恰有一个偶数 反设的内容是 假设 a， b， c中至少有两 个偶数或都是奇数
8、 5、【答案】 D 【解析】 函数 f (x)=(3-x2)ex， f(x)= -2xex+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex. 由 f(x) 0，得到 f(x)=(3 -2x-x2)ex 0， 即 3-2x-x2 0，则 x2+2x-3 0，解得 -3 x 1， 即函数的单调增区间为（ -3， 1） . 本题选择 D选项 . 6、【答案】 A 【解析】 第 n行的第 1 个数对为（ 1， n），所以第 m个数对为 (m,n-m+1),选 A 7、【答案】 A 【解析】 y lnx? ,则 1y x? ，所以在点21,2e?处切线的斜率为 2211kee?，所以切线方程为 221 2y
9、e x e? ? ?即 2 3y e x? 8、【答案】 A 【解析】 函数 ln ( 0)xyxx? 21 lnxy x?令 0y? ，得 0 xe?，即函数 lnxy x? 在 ? ?0,e 上为增函数 令 0y? ， 得 xe? ，即函数 lnxy x? 在 ? ?,e? 上为减函数 - 6 - 当 xe? 时，函数 lnxy x? 取得最大值为 1e? 9、【答案】 B 【解析】 由题意 , ? ? 2 3 2f x x x a? ? ?， 则 ? ? ? ? 1 1 0ff?， 即 ? ? ?1 5 0aa? ? ?， 解得 15a?， 另外 ,当 1a? 时 , ? ? ? ? ?
10、23 2 1 1 3 1f x x x x x? ? ? ? ? ? 在区间 (？ 1,1)恰有一个极值点13x? ， 当 5a? 时 ,函数 ? ? ? ? ?23 2 5 1 3 5f x x x x x? ? ? ? ? ? 在区间 (？ 1,1)没有一个极值点， 实数 a 的取值范围为 ? ?1,5 . 10、【答案】 B 【解析】 ， 。 令 ， 则 ， 解得 。选 B。 11、【答案】 C 【解析】 当 时左侧为 12、【答案】 B 解：根据题意，设平行于直线 y=2x 1的直线 y=2x+b与曲线 y=ex+x相切，此时两平行线间的距离即为 |PQ|的最小值， 设直线直线 y=2
11、x+b与曲线 y=ex+x的切点为（ m， em+m）， 对于 y=ex+x，其导数 y=e x+1，在切点处的斜率 k=y |x=m=em+1， - 7 - 则有 em+1=2，解可得 m=0， 则切点的坐标为（ 0， 1）， 切点在直线 y=2x+b上，则有 1=2 0+b，解可得 b=1， 则切线的方程为 y=2x+1，即 2x y+1=0， 平行线 y=2x+1与 y=2x 1的距离 d= = ； 即 |PQ|的最小值为 ； 二、填空题 13、【答案】 -2 14、【答案】 22 ee? 【解析】 由积分的运算法则可得 ? ?2 1 22 2 21- 1 1 1d 1 |22xxf x
12、 x x d x e d x e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 15、【答案】 B 【解析】 若 A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若 B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若 C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若 D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意， 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B 16、【答案】 ， + ） 解： 函数 f（ x） =x3 tx2+3x， f （ x） =3x2 2tx+3， 若函数 f（ x） =x3 tx2+3x在区间 1， 4上单调递减， 则 f
13、 （ x） 0即 3x2 2tx+3 0在 1， 4上恒成立， t （ x+ ）在 1， 4上恒成立， 令 y= （ x+ ），由对勾函数的图象和性质可得：函数在 1， 4为增函数， 当 x=4时，函数取最大值 ， t ， - 8 - 即实数 t的取值范围是 ， + ）， 三、解答题 17、 解：（ 1） ， ； （ 2） （ 3 i）（ 3 i+a） =（ 3 i） 2+（ 3 i） a=8+3a（ a+6） i=b+i， 18、【答案】 94 试题解析： 24yx? ? ， 1 ( 0 ) 4 , ( 3 ) 2k y y y? ? ? ? ? ? ?， 所以过点 A（ 0， 3）和 点
14、B(3， 0)的切线方程分别是 4 3 y 2 6y x x? ? ? ? ?和 ， 2分 两条切线的交点是（ 3,32 ）， 3分 围成的区域如图所示：区域被直线 32x? 分成了两部 分，分别计算再相加，得： 33 33222200 22 ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( 2 6 ) ( 4 3 ) S x d x x x d x x d x x x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 332 3 2 2 3 3 2 3220 0 3 32211( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 6 ) ( 2 3 )33x x x x x x x x x x? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 94? 即所求区域的面积是 94 。 - 9 - 19、【答案】 解：（ 1 ） f（ x） =ax2 2lnx，可得 f （ x） =2ax = f（ x）在 x=1处取得极值， 可得 f （ 1） =2a 2=0，解得 a=1 经检验， a=1符合题意 （ 2） f（ x） =ax2 2lnx，可得 f （ x） =2ax = 1）当 a 0时， f （ x） 0， f（ x）在（ 0， e上是减函数 2）当 a 0时， f （ x） = 若 e，即 a ， 则 f（ x）在（ 0， ）上是减函数，在（ ， e上是增函数； 若 ，即 0 ，则 f（
16、 x）在（ 0， e上是减函数 综上所述，当 a 时， f（ x）的减区间是（ 0， e， 当 a 时， f（ x）的减区间是（ 0， ），增区间是（ ， e 20、【答案】 Sn 1nn 试题分析： n 1,2,3,4时， S1 12 ， S2 23 ， S3 34 ， S4 45 . 猜想： Sn 1nn . 证明如下： ? ?1 1 111n n n n? ， Sn 1 1 1 1 1 1 1 12 2 3 3 4 1 1 1nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 21、【答案】 （ 1） 见解析 （ 2）当 2a? 时
17、， ?fx的最小值为 1，相应的 x值为 1； 当 222ea? ? ? 时， ?fx的最 小值为 ln2 2 2a a a?，相应的 x值为2a?； 当 22ae? 时， ?fx的最小值为 2ae? ，相应的 x值为 e - 10 - 22、【答案】 （ 1） 2x-y+1=0；（ 2）1a?. 试题解析： （ 1）? ? ? ?2 , 1 xf x x e? ? ?则，? ? ? ?2 xf x x e? ? ?，? ?02f? ?，又因为切点（ 0,1） 所以切线为 2x-y+1=0 (2)令? ? ? ? ? ?h x f x g x?，由题得?min 0hx ?在? ?0,x? ?恒成立，? ? ? ? 211 2xh x x a e x ax? ? ? ? ?，所以? ? ? ?1xh x a e? ? ? 若0a?，则? ?0,x? ?时? ? 0? ?，所以函数?在? ?0,?上递增，所以 ? ? ? ?m in 01h x h a? ? ?则10a?，得1?
