1、 - 1 - 吉林省长春市朝阳区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 第 卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 已知 i 是虚数单位，复数 11zi i? ，则复数 z 的虚部是 （ A） 12? （ B） 32 （ C） 32? （ D） i23? （ 2） 曲线 423 ? xxy 在点 )3,1( 处的切线的倾斜角为 （ A） ?30 （ B） ?45 （ C） ?60 （ D） ?120 （ 3） 函数 )(xfy? 是 R 上的连续可导函数，其导函数为 )(xf? ， 已知2)3)(
2、2()( ? xxxf ，则 )(xf 的极值点为 （ A） 3 ， 2? （ B） ? ?0,2? （ C） ? ? ?0,3,0,2? （ D） 2? （ 4） 某班有 14 名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出 5 名学生，其中数学成绩优秀的学生数 )415( ，BX ，则 ? )12( XE （ A） 45 （ B） 27 （ C） 3 （ D） 25 （ 5） 某校食堂的原料费支出 x 与销售额 y （单位：万元）之间有如下数据， x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 x 与 y 的线性回归方程为 5.75.8? ? xy
3、 ，则表中的 m 的值为 （ A） 60 （ B） 50 （ C） 55 （ D） 65 （ 6） 二维空间中圆的一维测度（周长） rl ?2? ，二维测度（面积） 2rS ? ，观察发现 lrS ? )( ；三维空间中球的二维测度（表面积） 24rS ? ，三维测度（体积） 334 rV ? ，观察发现SrV ? )( .则由四维空间中 “ 超球 ” 的三维测度 38rV ? ，猜想其四维测度 ?W - 2 - （ A） 224r? （ B） 238r? （ C） 541r? （ D） 42r? （ 7） 如下五个命题 : 在线性回归模型中， 2R 表示解释变量对于 预报变量变化的贡献率，在
4、对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得 64.02 ?R ，表明 “ 女大学生的体重差异有 64%是由身高引起的 ” 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大； 正态曲线关于直线 ?x 对称 ,这个曲线只有当 ? ? 3,3?x 时 ,才在 x 轴上方； 正态曲线的对称轴由 ? 确定，当 ? 一定时，曲线的形状由 ? 决定，并且 ? 越大，曲线越 “ 矮胖 ” ； 若随机变量 ? ?1,0N? ，且 ? ? ,1 pP ? 则 ? ? pP ? 2101 ? ； 其中正确命题的序号是 （ A） （ B） （ C
5、） （ D） （ 8） 用数学归纳法 证明 ),(212 14131211 ? Nnnn?假设 )( ? Nkkn 时成立 ,当 1?kn 时 ,左端增加的项数是 （ A） 1项 （ B） 1?k 项 （ C） k 项 （ D） k2 项 （ 9） 袋中装有标号为 1， 2， 3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次 .若每次抽到各球的机会均等， 事件 A 表示 “ 三次抽到的号码之和为 6” ，事件 B 表示 “ 三次抽到的号码都是 2” ，则 ? ?ABP （ A） 71 （ B） 72 （ C） 61 （ D） 277 （ 10） 若幂函数 )(xf 的图象过点
6、 ? 2122， ，则函数 ? ? ? ?xfexg x2? 的单调递减区间为 （ A） ? ?0,? （ B） ? ?2,? （ C） ? ?01，? （ D） ? ?02，? （ 11） 如图， )(xfy? 是可导函数，直线 2: ?kxyl 是曲 线 )(xfy? 在 3?x 处的切线，令 ),()( xxfxg ? )(xg? 是 )(xg 的导函数，则 ? )3(g （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 4 2?kxy1 2 3 o xy)(xfy?- 3 - （ 12） 已知定义在 ? ?，0 上的可导函数 )(xf ，满 足 0)( ?xf ， )(2)()( x
7、fxfxf ? ，(其中 )(xf? 是 )(xf 的导函数， ?71828,2?e 是自然对数的底数 )，则 )2()1(ff 的范围是 （ A） ? ee 1,212（ B） ? ?ee2, （ C） ? ?2,ee （ D） ? ee 1,12第 卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 （ 13） 曲线 2?xxy 在点 )1,1(? 处的切线方程为 （ 14） 计算由曲线 4,22 ? xyxy 所围成的封闭图形的面积 ?S （ 15） 已知 )(1()( axxaxf ? 是函数 )(xf 的导函数，若 )(xf 在 ax? 处取到极大值，则实数 a 的取值范围
8、是 （ 16） 已知偶函数 )(xfy? 对于任意的 ? 2,0?x满足 ? ? 0s inc o s)( ? xxfxxf （其中)(xf? 是函数 )(xf 的导函数），则下列不等式成立的有 (填上序号 ) )4()3(2 ? ff ? )4()3(2 ? ? ff )4(2)0( ? ff )3(3)6( ? ff ? 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（其中第 17题 10 分，第 1822 题每题各 12分） （ 17） 某种设备的使用年限 x (年 )和维修费用 y (万元 ),有以下的统计数据 : x 3 4 5 6 1 2 3 o
9、 x y 1 4 3 4 6 2 5 5 6 - 4 - （） 画出上表数据的散点图； （） 请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性 回归方程 axby ? ? ； （） 估计使用年限为 10年，维修费用是多少万元？ （附：线性回 归方程中?xbyaxnxyxnyxxxyyxxb niiniiiniiniii?)()(?1221121，其中 ?ni ixnx 11 ，? ni iyny 11 ） （ 18） 用数学归纳法证明对一切 .12 3131211,222 ? ? n nnNn ?（ 19） 某校随机调查了 80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的22?
10、列联表： 爱好 不爱好 合计 男 20 30 50 女 10 20 30 合计 30 50 80 （） 将此样本的频率估计为总体的概率 ，随机调查了本校的 3 名学生，设这 3 人中爱好羽毛球运动的人数为 X ，求 X 的分布列，数学期望及方差； （） 根据表中数据，能否有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关？若有，有多大把握？ y 2.5 3 4 4.5 - 5 - 附： )()()( )( 22 dbcadcba bcadnK ? ?（ 20） 已知 i 是虚数单位 （） 复平面内表示复数 immmmz )145()158( 22 ? )( Rm? 的点位于第四象限，求满足条件的 m 取值
11、集合； （） 复数 immz )4( 21 ? )( Rm? ， iz )s in3(c o s22 ? ? ),( R? ，并且21 zz? ，求 ? 的取值范围 （ 21） 已知函数 ? ?为常数且 aRaexaxxf x ,)1()( 2 ? （） 当 1a? 时 ,求 )(xf 的单调区间 ； （） 若 )(,1 xfa ? 的图象与 mxxxg ? 23 2131)( 的图象有 3 个不同的交点 ,求实数 m的取值范围 )( 02 kKP ?0.500 0.100 0.050 0.010 0k 0.455 2.706 3.841 6.635 - 6 - （ 22） 设函数 1ln)(
12、)( ? x xaxxf ，曲线 )(xfy? 在点 )1(,1( f 处的切线与直线012 ?yx 垂直 . （） 求 a 的值； （） 若 ? ? ,1x ， )1()( ? xmxf 恒成立，求 m 的取值范围； （） 求证： )(1412ln 1 24 ? ? ? Nni in ni - 7 - 高二年级数学（理）学科期中试题 答案 第卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C B D B A D B D A C B D 二、填空题：本大题共 4
13、小题，每小题 5分，共 20分。 13. 012 ?yx 14. 18 15.（ -1， 0） 16. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。（其中第 17题 10 分，第 1822 题每题各 12分） 17. 解： (1) (2) 5.66x41 i ?i iy； 4.5,x? 3.5y? 866543x 2222412i ?i35.0,7.0? ? ab ? 所求的线性回归方程： 35.07.0? ? xy (3)当 10?x 时， 35.7?y 万元 18.证明： (1)当 1?n 时 ,左边 =1,右边 = 1112 13 ? ,不等式成立
14、 ; (2)假设当 )( ? Nkkn 时，不等式成立， 即 12 3131211222 ? k kk?则当 1?kn 时，要证1)1(2 )1(3)1( 1131211 2222 ? ? k kkk?成立 只要证1)1(2 )1(3)1( 112 3 2 ? ? k kkk k即可 1 2 3 o x y 1 4 3 4 6 2 5 5 6 ? ? ? ? - 8 - 因为 ? ? 0384)1( )2(1)1(2 )1(3)1( 112 3 222 ? ? ? kkk kkk kkk k所以1)1(2 )1(3)1( 112 3 2 ? ? k kkk k即1)1(2 )1(3)1( 11
15、31211 2222 ? ? k kkk?成立， 所以当 1?kn 时不等式成立 . 由（ 1）（ 2）知，不等式对一切 ?Nn 都成立 . 19解： (1)任一学生爱好羽毛球的概率为 83 ,故 )83,3( BX . 51212585)0(303 ? CXP; 5122258583)1(2113 ? CXP5121358583)2(1223 ? CXP; 5122783)3(333 ? CXPX 的分布列为 X 0 1 2 3 P 512125 512225 512135 51227 89833)( ?XE 644585833)( ?XD (2) ? ? 706.23556.0225805
16、0305030 3010202080 22 ? ?K 故 没有 充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关 . 20解： (1) ?01450158m22mmm ? 解集： ? ?7m53,m-2|m ? 或 (2) 根据题意： ?2cosm? ，且 ? sin34 2 ? m 即： ? s i n3s i n4s i n3c o s44 22 ? = 169)83(sin4 2 ? 1sin1 ? ? 83sin ? ?当 时， 169min ? 1sin ? ?当 时， 7max ? - 9 - ? 的取值范围是 ? 7,169 21解： (1)当 1?a 时，函数 xexxxf )1()( 2
17、 ? 求导，得 xexxxf )3()( ? 令 0)( ? xf ，得 3,0 21 ? xx 当 3?x 时， 0)( ? xf ， )(xf 是单调递增函数； 当 03 ? x 时， 0)( ? xf ， )(xf 是单调递减函数； 当 0?x 时， 0)( ? xf ， )(xf 是单调递增函数； 综上所述： )(xf 的单调递减区间： )0,3(? )(xf 的单调递增区间： ? ? ,0);3,( (2)令 )()()( xgxfxh ? = xexax )12 ? )2131( 23 mxx ? )1)()( 2 ? xexxxh , 当 0?x 时， 0)( ?xh ， )(xh
