1、 - 1 - 2016-2017 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷 一、填空题（每题 5分） 1 若 31z ii ?， 是虚数单位，则复数 z的虚部为 2设复数 1(z i i? ? 为虚数单位 ),z的共轭复数为 , (1 ) |z z z?则 | =_. 3按如图所示的流程图运算，则输出的 S = 4 观察下列等式： 111 22? 1 1 1 1 11 2 3 4 3 4? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 4 5 6? ? ? ? ? ? ? ? 据此规律，第 n个等式可为 _. 5. 已知 1 tantan ( )4 1 tan xx x
2、? ? ?, tanyx? 的周期 T? , 函数 ()y f x? 满足1 ( )( ) , ,1 ( )fxf x a x Rfx? ? ? (a 是非零常数 )，则函数 ()y f x? 的周期为 _ 6.曲线 y=2lnx在点 (e,2)处的切线与 y轴交点的坐标为 _ 7.函数 21( ) ln2f x x x?的单调递减区间为 _ 8.某班举行联欢会，原来 5 个节目已经排定节目单，开演前又增加两个节目，将这两个节目插入原节目单，则不同的插入方法有 _ 种 9.已知 4 名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报 1 项，则不同的报名方法有 种 10.用数字 1,2,3,
3、4,5组成没有重复数字的五 位数，其中奇数有 个 11将 5名教师分到 3 所学校支教，每所学校至少 1名教师，则有 种不同分派方法 - 2 - 12. 已知函数 f(x)的导函数为 ()fx? =a(x+1)(x-a),且 f(x)在 x=a处取到极大值 ,那么 a的取值范围是 . 13已知函数 ( ) ln mf x x x? mR? 在区间 ? ?1,e 上取得最小值 4,则 m? _. 14.函数 ? ? ( 1)xf x a a?与函数 ? ? 2g x x? 图像有三个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6题，计 90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或
4、演算步骤） 15 （本题 满分 14分） 10件产品中有 3件次品， 7 件正品，从中抽取 5 件 （ 1）没有次品的抽法有多少种？ （ 2）有 2件次品的抽法有多少种？ （ 3）至少 1件次品的抽法有多少种？ 16（本题 满分 14分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB 4， AD 3， AA1 2 E、 F 分别是线段 AB、 BC上的点，且 EB FB 1 （ 1）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值； （ 2）求二面角 C DE C1的平面角的余弦值 B C D A 1 A B 1 C 1 D 1 E F - 3 - 17（本题 满分 15分） 已知数列 na
5、 满足 11?a ，且 )(924 11 ? ? Nnaaaa nnnn （ 1）求 234,a a a 的值； （ 2）由（ 1）猜想 na 的通项公式，并给出证明 18（本题 满分 15分） 某物流公司用一辆 J 型卡车将一车货物运送到相距 km400 的批发市场据测算， J 型卡车行驶时，每 km100 所消耗的燃油量 u (单位： L )与速度 v (单位： hkm/ )的关系近似地满足?50,20500500,231002vvvvu 除燃油费外，人工工资、 车损等其他费用 平均每小时 300 元 已知燃油价格为每升 (L ) 5.7 元 （ 1）设 运送这车货物到目的地的费用为 y
6、(元 )(不计返程费用 )， 将 y 表示成速度 v 的函数关系式； （ 2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使这次送货的费用最少？ - 4 - 19.（本题 满分 16分） 如图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中，椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的 离 心 率 为6 ,63ea?，直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A 、 B 两点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 E 的坐标为 3( ,0)2 ，点 A 在第一象限且横坐标为 3 ，连结点 A 与原点 O 的直 线交椭圆 C 于另一点 P ，求 PAE? 的面积； （ 3）
7、x 轴上存在定点 E ，使得2211EA EB?恒为定值，请指出定点 E 的坐标，并说明理由 . 20. （本题满分 16分） 已知函数 () 1ax x? ? ? ， a 为正常数 （ 1）若 ( ) ln ( )f x x x?，且 92a? ，求函数 ()fx的单调增区间； （ 2）若 ( ) | ln | ( )g x x x?，且对任意 12, (0,2xx? ， 12xx? ，都有 2121( ) ( ) 1g x g xxx? ? ，求 a 的的取 值范围 yxBPAO EF 1 F 2第 19 题 - 5 - 参考答案、评分标准 1. 2?2. 10 3.20 41 1 1 1
8、 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.4a 6.(0,0) 7. （ 0， 1） 8. 42 9.81 10、 72 11 150 12. (-1,0) 13.-3e 14. 2(1, )ee 二、解答题： 15解（ 1） 57 21C? 4分 （ 2） 2337105CC? 9分 (3) 551 0 7 2 5 2 2 1 2 3 1CC? ? ? ? 14 分 16解 以 A为原点， 1,AB AD AA 分别为 x轴， y轴， z轴的正向建立空间直角坐标系 A xyz， 则有 D（ 0， 3， 0
9、）， D1（ 0， 3， 2）， E（ 3， 0， 0）， F（ 4， 1， 0）， C1（ 4， 3， 2） 1 (1,3,2)EC ? ， 1 ( 4,2,2)FD ? （ 1） 设 EC1与 FD1所成角为 ，则 11 2 2 2 2 2 2111 ( 4 ) 3 2 2 2 2 1c o s | | | | 14| | | | 1 3 2 ( 4 ) 2 2E C F DE C F D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 可以其他方法建立 空间直角坐标系，答案 为负数扣 2分 （ 2）设向量 ( , , )x y z?n 为平面 C1DE的法向量，则有
10、13 3 0 , 13 2 0 2DE xy x y zx y zEC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nn ( , , )22zzz? ? ?n ，取 n0=（ 1， 1， 2）， 则 n0是平面 C1DE 的一个法向量 又向量 1AA =（ 0， 0， 2）是平面 CDE的一个法向量 01011 0 1 0 2 2 6c o s 3| | | | 1 1 4 0 0 4AAAA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nn ， 12分 经检验， n0与 1AA 所成的角 即为二面角 C DE C1的平面角所求二面角余弦值为 63 （不检验扣 2分） 14 分 17（
11、 1）由 924 11 ? ? nnnn aaaa 得4124 291 ? nn nn aaaa- 6 - 372?a ， 5133?a ， 7194?a 6 分 （ 2）猜想 12 56 ? nnan 9 分 证明：当 1?n 时，猜想成立； 设 kn? 时 )( ?Nk 猜想 成立 即 12 56 ? kkak则当 1nk?时，11 1 6 1 6 ( 1 ) 522 65 2 1 2 ( 1 ) 1421k kkka ka k kk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? kn 时结论成立 根据和，对任 )( ?Nn 猜想成立 15 分 18、解：（ 1）由题意可得 21 0 0
12、4 0 07 . 5 4 ( 2 3 ) 3 0 0 , 0 5 04007 . 5 4 ( 2 0 ) 3 0 0 , 5 0500vvvy vvv? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3分 即 2123000 6 9 0 , 0 5 03 1 2 0 0 0 0 6 0 0 , 5 050vvy vvv? ? ? ? ? ? ? ?； 6分 （ 2）当 0 50v? 时， 123000 690y v?单调递减， 所以当 50v? 时， min 3150y ? 元； 8分 当 50v? 时，因为 23 1 2 0 0 0 0 60050vy v? ? ?， 所以23
13、120000 25vy v?， 10分 令23 1 2 0 0 0 0025vy v? ? ?，解得 100v? 列表 v (50,100) 100 (100, )? - 7 - y ? 0 ? y 递减 递增 所以当 100v? 时， min 2400y ? ， 13分 因为 2400 3150? 14分 所以 卡车该应该以 100 /km h 速度行驶，使这次送货的费用最少用 . 15分 19.解：（ 1）由 63ca? ， 6a? ，则 2c? ， 2 2 2 2b a c? ? ? ， 所以椭圆 C 的方程为 22162xy? 4分 （ 2）将 3x? 代入 22162xy?，解得 1
14、y? ，因点 A 在第一象限，从而 ( 3,1)A ，又PA 过原点 O ，于是 ( 3, 1)P?，由点 E 的坐标为 3( ,0)2 ， 1 3 32 2 12 2 2PAE A O ES S? ? ? ? ? 8分 （ 3）设 0( ,0)Ex ， 当直线 AB 与 x 轴重 合时，有 202 2 2 222 000 1 2 21 1 1 1 ( 6 )( 6 ) ( 6 ) xE A E B xxx ? ? ? ? ?， 当直线 AB 与 x 轴垂直时，22 2 20 01 1 2 662 (1 )6xE A E B x? ? ? ?， 由 202 2 20012 2 6(6 ) 6x
15、xx? ?，解得 0 3x ? ，206 26 x ?， 所以点 E 坐标为 ( 3,0)? ，2211EA EB?为定值 2. 11分 根据对称性，只需考虑直线 AB 过点 ( 3,0)E ，设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 又设直线 AB 的方程为 3x my?，与椭圆 C 联立方程组， 化简得 22( 3 ) 2 3 3 0m y m y? ? ? ?，所以12 2233myy m? ?，12 2 3 3yy m? ?， - 8 - 又2 2 2 2 2 222 1 1 1111 1 1 1( 1 )( 3 )E A m y y m yxy? ? ?， 所以 2
16、1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )y y y yE A E B m y m y m y y? ? ? ? ? ?， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB?. 综上所述，点 ( 3,0)E? ，使得2211EA EB?为定值 2 16分 解法二：设 0( ,0)Ex 当直线 AB 与 x 轴 不 重 合 时 设 直 线 AB 的 方 程 为 0x my x?， 可 得21 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )y y y yE
17、 A E B m y m y m y y? ? ? ? ? ? 2 2 2002 2 202 ( 6 ) 3 6 6( 1)( 6 )m x xmx? ? ? ? 与 m无关的定值，得 2003 , 3 , ( 3 , 0 )x x E? ? ? ? ?当直线 AB 与 x 轴重合时 y=0,适合 参照给分 20解： 2221 ( 2 ) 1( ) ( 1 ) ( 1 )a x a xfx x x x x? ? ? ? ?， 2分 92a? ，令 ( ) 0fx? ，得 2x? ， 或 12x? ， 函数 ()fx的单调增区间为 1(0, )2 ， (2, )? 。 6分 2121( ) ( ) 1g x g xxx? ? ， 2121( ) ( ) 10g x g xxx? ? ， 2 2 1 121( ) ( ) 0g x x g x xxx? ? ? ? ， 8分 设 ( ) ( )h x g x x?，依题意， ()hx 在 ? ?0,2 上是减函数。 当 12x?时， ( ) ln 1ah x x xx? ? ?，21( ) 1( 1)ahx xx? ? ?， 令 ( ) 0hx? ，得： 2 22( 1 ) 1( 1 ) 3 3xa x x xxx? ? ? ? ? ? ?对
