1、 1 江苏省启东市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 一填空题：本 大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在 答题卡相应 位置 上 1设集合 2 | 2 , , | 1 0 ,xA y y x B x x? ? ? ? ? ?R 则 AB= 2 函数 ? ?2 34lg 1xxy x? ? ? ?的定义域为 _ 3从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随 机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 4设 x?R ，则“ 2log 1x? ”是“ 2 20xx? ? ? ”的 条件 （从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充
2、要”中选择） 5定义在 R 上的奇函数 )(xf 满足当 0?x 时， bxaxxf ? )1()2(lo g)( 2 （ a ， b 为常数），若 1)2( ?f ，则 )6(?f 的值为 6 设函数? ? 0,4 ,0,lo g)( 2 xxxxf x ，则 )1( ?ff 的值为 . 7. 若函数)(12()( axx xxf ?为奇函数，则 a= . 8. 节日前夕，小 李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通 电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 _
3、9. 若直线 3y x b? ?是曲线 3232y x x? ? ?的一条切线，则实数 的值是 10.已知 3 2 2( ) +f x x ax bx a? ? ?在 1x? 处有极值为 10，则 ab? 的值 =_ 11.设奇函数 ( )( )f x x R? 的导函数是 ()fx， ( 1) 0f ? ，当 0x? 时， ( ) ( ) 0xf x f x?，则使得 ( ) 0fx? 成立的 x 的取值范围是 _ 2 12 已知函数 321( ) 2 13f x x x ax? ? ? ?，若函数 ()fx在 ? ?1,2上有极值，则实数 a的取值范围为 13.设函数 )0(,2)22()
4、( 23 ? xxxmxxf ，若对于任意的 1,2t?,函数 )(xf 在区间 (,3)t上总不是单调函数 ,则 m的取值范围是为 . 14若函数 32( ) .f x x ax bx c? ? ? ?有极值点 12,xx，且 11( ) .f x x? ，则关于 x 的方程23 ( ( ) ) 2 ( ) 0f x a f x b? ? ?的不同实根个数是 _ 二、解答题：本大题共 6小题，共 90 分请在 答题卡指定区域 内作答 . 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 (本小题满分 14分 )已知函数 0),1(l o g)1(l o g)( ? axxxf aa ，且 1
5、?a （ 1）求 )(xf 的定义域； （ 2）判断 )(xf 的奇偶性并予以证明； （ 3）若 1?a 时，求使 ( ) 0fx? 的 x 的集合 16 (本小题满分 14分 )对于函数 ()fx，若在定义域 内存在实数 x ，满足 ( ) ( )f x f x? ? ，则称()fx为“局部奇函数” : ( ) 2xp f x m?为定义在 1,1? 上的“局部奇函数”； :q 曲线 2( ) (5 1) 1g x x m x? ? ? ?与 x 轴交于不同的两点； 若 pq?“ ” 为假命题， pq?“ ” 为真命题，求 m 的取值范围 3 17 (本小题满分 14分 )已知函数 2( )
6、 ln .f x x a x? (1)当 a 2时，求 函数 ()fx的单调递减区间； (2)若函 数 2( ) ( )g x f x x?在 1， )上单调，求实数 a的取值范围 18 (本小题满分 16分 )已知函数 2( ) 3 lnf x ax xx? ? ?其中 a 为常数 . (1)当函数 ()fx的图象在点 22( , ( )33f 处的切线的斜率为 1 时，求函数 ()fx在 3,32?上的最小值； (2)若函数 ()fx在区间 ? ?0,? 上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围 . 4 19 (本小题满分 16 分 )一个玩具盘由一个 直径为 2 米的半圆 O 和一个矩
7、形 ABCD 构成， 1AB?米，如图所示小球从 A 点出发以 v? 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后，经弹射器以 6v的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内，落点记为F 设 AOE ?弧度， 小球 从 A 到 F 所需时间为 T （ 1）试将 T 表示为 ? 的函数 ()T? ，并写出定义域； （ 2）求时间 T 最短时 cos? 的值 20 (本小题满分 16分 )设函数 ? ? ? ?xmxxxf 221ln 2 ? ，在 ax? 和 bx? 处有两个极值点，其中 Rmba ? , （ ）求实数 m 的取值范围； （ ）若 eab? （ e 为 自然对数的底数），
8、求 ? ? ? ?afbf ? 的最大值 . FOCBADE5 高二年级数学（文科）考试参考答案 1.【答案】 ( 1, )? 2.【答案】 ? ? ? ?1,0 0,1? 3. 【答案】 31 4 【答案】 充分不必要 5.【答案】 4 6.【答案】 2? 7.【答案】 218. 【答案】 34 9【答案 】 3 10【答案】 -7 11【答案】 ( , 1) (0,1)? ? 12【答案】3( ,2)213【答案】 37( , 9)3? 14【答案】 3 15【解析】 （ 3）因为 xxxfa ? 11log)(，所以 ? ?00f ? ，又 12111xy xx? ? ? ?在 )1,1
9、(? 上递增， 因为 1?a ，所以 )(xf 在 )1,1(? 上为递增函数， ? 12分 由 )(xf )0(f 得， 0?x ，又因为 )1,1(?x ， 所以使 )(xf )0(f 的 x的集合为 )1,0( ? 14 分 16【解析】（备注：以下解答 以定义域为 ? ?1,2? 解答。与本题同解） 若 p 真 q 假，则5 143155mm? ? ? ? ?，得无交集 ? ? 10分 若 p 假 q 真，则5141355mmmm? ? ? ? ? ? ? ?或或，得 54m? 或 31 5m? ? ? 或 15m? 综上知 m 的取值范围为 54m? 或 31 5m? ? ? 或 1
10、5m? ? 14分 17解 (1)由题意知，函数的定义域为 (0， )，当 a 2时， f (x) 2x 2x 2(x 1)(x 1)x ， 当 f (x)0)，由题意可知， f ? ?23 1，解得 a 1. ? 2分 故 f(x) x 2x 3ln x， f (x) (x 1)(x 2)x2 ， 根据题意由 f (x) 0，得 x 2. ? 4分 于是可得下表： x 32 ? ?32， 2 2 (2,3) 3 f (x) 0 f(x) 1 3ln 2 f(x)min f(2) 1 3ln 2. ? 8分 (2)f (x) a 2x2 3x ax2 3x 2x2 (x0), 由题意可得方程
11、ax2 3x 2 0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1， x2，并令 h(x) ax2GFOCBDAE 3x 2， ? 10 分 则? 9 8a0，x1 x2 3a0，x1x2 2a0， ? ?也可以为? 9 8a0， 32a0，h(0)0? 14 分 解得 0a98.故 a的取值范围为 ? ?0， 98 . ? 16分 19.解：（ 1）过 O 作 OG BC? 于 G ，则 1OG? ， 1sin sinOGOF ?， 11 sinEF ? ， AE ?弧 ， 所以 11() 5 6 5 6 s i n 6A E E FT v v v v v? ? ? ? ? ?弧 ， , 44?
12、 3 ? 7分 （写错定义域扣 1分） （ 2） 11() 5 6 s in 6T v v v? ? ? ?， 22 2 21 c o s 6 s i n 5 c o s ( 2 c o s 3 ) ( 3 c o s 2 )() 5 6 s i n 3 0 s i n 3 0 s i nT v v v v? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? 10分 记0 2cos 3? ?，0 , 44? ? 3， ? 0( , )4?0? 0 3( , )4?()T? - 0 + ()T? 减 增 故当 2cos 3? 时， 时间 T 最短 ? 16分 20.【解析】 ( ) 2
13、 ( 2) 1() x m xfx x? ? ?， 则由题意则方程2 ( 2) 1 0x m x? ? ? ?有两个正根， 故2( 2) 4 020mm? ? ? ? ?， 解 得0m?.故实数 的取值范围是0m?， ? 6分 ( )221( ) ( ) l n ( ) ( 2) ( )2bf b f a b a m b aa? ? ? ? ? ? ?， 又2 a b? ? ?，1ab? 221( ) ( ) l n ( )2bf b f a b aa? ? ? ?221ln ( )2b b aa ab?=1ln ( )2b b aa a b?， ? 10分 设()t t e?，故，构造函数11( ) ln ( ) ( )2g t t t t et? ? ? ?， ? 12 分 2221 1 1 ( 1 )( ) (1 ) 022 tgt t t t? ? ? ? ? ?，所以()gt在, )e?上是减函数， ? ? 14分 1( ) ( ) 1 eg t g e e? ? ? ?，( ) ( )f b f a?的最大值为11 22e e? 16分
