1、 - 1 - 江西省赣州市十四县（市） 2017-2018学年高二理数下学期期中联考试题 第卷（选择题 共 60分） 一、 选择题：（ 本大题 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1.集合 ? ? ? ?| 4 4 , , | 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x x x R x x a，则“ ? ”是“ 4?a ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.复数? ?2421? ? ii（ ） A 12i? B 12i? C 12i? D 12i? 3.若曲线 ( ) , ( )?af x
2、 x g x x在 (1,1)P 处的切线分别为 12,ll 且 12?ll， 则 a 的值为 （ ） A 2? B 2 C 12 D 12? 4.已知三棱柱 1 1 1?ABC ABC 的侧棱与底面垂直 ,体积为 94 ,底面是边长为 3 的正三角形。若P 为底面 1 1 1ABC 的中心 ,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 （ ） A.512? B.3? C. 4? D. 6? 5.设函数 ()fx在定义域内可导， ()y f x? 的图象如图，则导函数 ()y f x? 的图象可能为 （ ） 6. 已知函数 )(xf 在 0xx? 处可导，若 1)()3(lim 000 ? xx
3、fxxfx， 则 0()fx? ? （ ） A 1 B 0 C 3 D 31 7.已知 1F 、 2F 是双曲 ? ?22: 1 0 , 0? ? ? ?xyE a bab 线的左、右焦点，点 M 在 E 上 ， 1MF 与 x- 2 - 轴垂直，21 1sin 4?MF F， 则双曲线 E 的离心率为 （ ） A 153 B 53 C. 2 D 3 8.下列图象中，有一个是函数 3 2 21( ) ( 1 ) 1 ( , 0 )3? ? ? ? ? ? ?f x x a x a x a R a的导数 ()fx的图象 ， 则 ( 1)?f 的值为 （ ） A.13 B. 13? C.73 D.
4、 13? 或 53 9.用数学归纳法证明 “1 12 13 ? 12n 1 n(nN *， n 1)” 时由 n k(k 1)不等式成立 ，推证 n k 1时左 边应增加的项数是 （ ） A k 1 B k C 2k D 2k 1 10.已知函数 )( Rxxf ? 满足 (1) 1?f ， 且 )(xf 的导函数 21)( ?xf ， 则 212)( ?xxf 的解集为 （ ） A. ? ?| 1 1? ? ?xx B. ? ?|1?xx C. ? ?11 ? xxx 或 D. ? ?|1?xx 11.已知 , ?ab R ， 且 11 5? ? ? ?ab ab， 则 ab? 的取值范围是
5、 （ ） A.? ?2,4 B.? ?2,? C.? ?1,4 D.? ?4,? 12.若直线 ?y kx b 是曲线 ln 2?yx 的切线 ， 也是曲线 ln( 1)?yx的切线，则 b = （ ） A. 1 ln2? B. 1 ln2? C.1 ln2? D.1 ln2? 第卷（非选择题 共 90分） 二、 填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分 ） 13.已知函数 ?fx的导函数为 ?fx，且满足 ? ? ? ?2 1 ln?f x xf x，则 ?fx在点?(1, 1)Mf 处的切线方程为 14.有 6 位同学站成一排，其中 A,B 两位必须相邻， C,D 两位不能相邻的排法有
6、种（数字作答） 15 下列有关命题正确的序号是 （ 1）若 P 且 q 为假命题，则 P ， q 均为假命题 - 3 - （ 2）若 P? 是 q 的必要条件，则 P 是 q? 的充分条件 （ 3）命题“ xxRx ? 2, 0”的否定是“ 0, 2 ? xxRx ” （ 4）“ 2?x ”是“ 211?x ”的充分不必要条件 16. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实” .经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四
7、人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 三、解答题 17.（共 10分） （ 1） 求函数? ? ?20, c o s,01,1)( ?xxxxxf 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积 （ 2） 求由曲线 3?yx与 3?yx所围成的封闭图形的面积 18.（共 12分） 从 6男 2女共 8名学生中选出队长 1人，副队长 1人，普通队员 2人组成 4人服务队 （ 1）若要求服务队中至少有 1名女生，共有多少种不同的选法 （ 2）若要求服务队中队长或副队长至少有 1名女生，共有多少种不同的选法 19.（共 12分） 如 图 ， 在 四 棱 柱 1 1 1 1?ABCD A BC D中 ， 底
8、面 ABCD 是 等 腰 梯 形 ， AB CD ，2AB? , 1BC CD?顶点 1D 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C （ 1）求证： 1?AD BC ； （ 2） 若直线 1DD 与直线 AB 所成的角为 3? ,求平面 11ABCD 与 平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值 20.（共 12分） - 4 - 某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以 往的经验知道，其次品率 P与日产量 x （件）之间近似满足关系： ?NxcxNxcxxP,32,1,96 1 （其中 c 为小于 96 的正整常数） （注：次品率 P=总生产量 次品数，如 P=0.
9、1表示每生产 10 件产品 ,有 1件次品 ,其余为合格品 .） 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A元，但每生产一件次品将亏损 A/2元，故厂方希 望定出合适的日产量。 （ 1）试将生产这种仪器每天的赢利 T（元）表示为日产量 x （ 件的函数）； （ 2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 21.（共 12分） 已知圆 22 19:24? ? ?E x y经过椭圆 ? ?2222: 1 0? ? ? ?xyC a bab的左、右焦点 1F 、 2F ，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 ? ，且 1F ， E ， ? 三点共线直线 l 交椭圆 C 于 ,MN两点，且 ? ? （ 0? ） （
10、 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 当三角形 ? 的面积取到最大值时，求直线 l 的方程 22.（共 12分） 已知函数 ( ) ln?af x x x （ 1）若 0?a ，试判断 ()fx在定义域内的单调性； （ 2）若 ()fx在 ? ?1,e 上的最小值为 32 ，求 a 的值； （ 3）若 2()?f x x 在 (1, )? 上恒成立，求 a 的取值范围 . - 5 - 答案 一、选择题 B D A B D D A B C D C D 二、填空题 13、 10xy? ? ? 14、 144 15、（ 2）（ 3）（ 4） 16、 乙 三、解答题 17:解：（ 1） 32 ? 5
11、分 （ 2） 1 .10 分 18：解：由题意分两类选 1女 3男或选 2女 2男，再计算即可 （ 1） 解： C63C21A42 +C62C22A42=660种 ? 6分 （ 2） 解： C63C21A21A31 + C62C22(A22+ 2A21A21)= 390 .12分 19：解： ( )证明：连接 1DC,则 1DC? 平面 ABCD ， 1DC? BC 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC 2AB? ， 1BC CD?， AB CD BC AC? 又 1AC DC C? BC? 平面 1ADC 1AD BC? ? 6分 ( )解法一： AB CD 1 3DDC ? 1CD? 1
12、3DC? 在底面 ABCD 中作 CM AB? ,连接 1DM,则 1DM AB? , 所以 1DMC? 为平面 11ABCD 与平面 ABCD 所成角的一个平面角 在 1Rt DCM? 中 , 32CM? , 1 3DC? 2211 152D M C M D C? ? ? 1 5co s 5D CM? 即平面 11ABCD 与平面 ABCD 所成角 (锐角 )的余弦函数值为 55 ? 12 分 - 6 - 解法二：由 ( )知 AC 、 BC 、 1DC两俩垂直， AB CD 1 3DDC ? 1 3DC? 在等腰梯形 ABCD 中 ,连接 AC 因 2AB? , 1BC CD?AB CD
13、， 所以 3AC? ，建立如图空间直角坐标系， 则 ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， 1(0,0, 3)D 设平面 11ABCD 的一个法向量 ( , , )n x y z?r 由 100n ABn AD? ?uuurruuurr得300yxzx? ? ? 可得平面 11ABCD 的一个法向量 (1, 3,1)n?r 又 1 (0,0, 3)CD ?uuur 为平面 ABCD 的一个法向量因此1115c o s , 5| | |C D nC D n C D n? ? ? ?u u ur ru u ur r u u ur r所以平面 11ABCD 和平面 ABCD 所成的角 (锐角
14、)的余弦值为 55 . 20:解：（ 1) ?),(0),1)(2192 31(232)1( NxcxNxcxxxAxAxPAAxPAPxT； ? ? ? ?- 7 - ? 6分 （ 2）由（ 1）知显然只要考查 cx?1 时的情况。 令 )2192 3()( xxxAxf ? ，则 0)2192()18948192(4)( 22 ? ? xxxAxf得 84?x 。?8 分 且当 84?x 时， 0)( ? xf ，当 9684 ?x 时， 0)( ? xf ， 所以当 84?c 时，当日产量为 c 时，利润最大；当 9684 ?c 时，日产量为 84 时，利润最大? 12 分 21： 解：
15、（）如图圆 E 经过椭圆 C 的左、右焦点 12,FF, 1,FEA 三点共线 , ? 1FA为圆 E 的直径 , 2 1 2AF FF? 2219(0 )24x ? ? ?, 2?x , 2?c ? 2分 189| 2212122 ? FFAFAF , 4|2 2 ? AFAFa 2 2 2a b c?，解得 2, 2ab?， ?椭圆 C 的方程 22142xy?， ? 4分 （）点 A 的坐标 ( 2,1) ( 0)MN OA?， 所以直线的斜率为 22 ， 故设直线的方程为 22y x m? - 8 - 2222142y x mxy? ? ? 222 2 0x m x m? ? ? ?
16、?，设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 2 2 21 2 1 22 , 2 , 2 4 8 0x x m x x m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，22m? ? ? 。? 8分 2 2 22 1 1 2 1 21| | 1 | | 1 ( ) 4 1 2 32M N k x x x x x x m? ? ? ? ? ? ? ? ? 点 A 到直线的距离6| |3md?222 2 21 1 6 2 2 4| | 1 2 3 | | ( 4 ) 22 2 3 2 2 2A M N mmS M N d m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 224 mm? ，即 2m? ，直线的方程为 2 22yx? 。? 12分 22解： (1)由题意 f(x)的定义域为 (0， )，且 f (x) 1x ax2 x ax2 . a0， f (x)0， 故 f(x)在 (0， )上是单调递增函数 . 。? 2分 (2)由 (1)可知， f (x) x ax2 . 若 a 1，则 x a 0，即 f (x) 0在 1， e上恒成立，此时 f(x)在 1， e上为增函数， f(x)min f(1) a 32， a 32(舍去 ). 若 a e，则 x a 0，即 f
