1、 - 1 - 辽宁省沈阳市皇姑区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 第卷 一、选择题：本大题共 12小题，每题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1用三段论推理命题： “ 任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 2a 0” ，你认为这个推理 ( ) A大前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的 2. 若复数 i iaz 21? （ i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 ( ) A 1?a B 1?a C 0?a D 1?a 3 已知随机变量 x 服从二项分布 x )31,6(B ，则 )2( ?xP 等于 ( ) A. 802
2、43 B. 4243 C. 13243 D. 1316 4用反证法证明某命题时，对结论： “ 自然数 a ， b ， c 中恰有一个偶数 ” 正确的反设为 ( ) A a ， b ， c 中至少有两个偶数 B a ， b ， c 中至少有两个偶数或都是奇数 C a ， b ， c 都是奇数 D a ， b ， c 都是偶数 5. 函数 )(xf 的图象如图所示，则不等式 0)()3( ? xfx 的解集为 ( ) A. ( , 3) ( 1,1)? ? ? ? B. ( , 3)? C. ( , 1) (1, )? ? ? ? D. (1, )? 6高三（一）班学生要 安排元旦晚会的 4 个音
3、乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ( ) A 1800 B 3600 C 4320 D 5040 7盒中有 10只螺丝钉，其中有 3只是坏的，现从盒中随机地抽取 4只，那么 310为 ( ) A恰有 1只坏的概率 B恰有 2只好的概率 C 4只全是好的概率 D至多 2只坏的概率 - 2 - 8设 f (n) 1 12 13 ? 13n 1(n N*)，那么 f (n 1) f (n)等于 ( ) A 132n? B 113 3 1nn? ? C 113 1 3 2nn? D 1 1 13 3 1 3 2n n n? 9随机变量 X
4、 的分布列为 ? ? ? ? , 1 , 2 , 3 , 41cP X k kkk? ? ?， 其中 c 为常数，则1522PX?的值为 ( ) A 45 B 34 C 23 D 56 10设有编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个球和编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个盒子现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的 投放方法种数有 ( ) A 10 B 20 C 30 D 40 11若 X 是离散型随机变量， 32)(1 ? xXP， 31)(2 ? xXP，且 21 xx? 。 又已知34)( ?XE ， 92)( ?
5、XD ，则 21 xx? 的值为 ( ) A. 53 B. 73 C 3 D. 113 12已知 a0 ，函数 f (x) (x2 2ax)ex，若 f (x)在上是单调减函数，则 a的取值范围是 ( ) A.? ?0， 34 B.? ?12， 34 C. ? ?0， 12 D. ? ?34， 第卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13定义运算 ? ?a cb d ad bc，复数 z 满足 ? ?z i1 i 1 i， z 为 z 的共轭复数，则 z _. 14在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为
6、 1： 2，则它们的体积比为 _. 15设 ? ? 5 2 3 4 50 1 2 3 4 532 x a a x a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ?,则 220 2 4 1 3 5( ) ( )a a a a a a? ? ? ? ?的值为 _.（用数字作答）。 16. 有 13名医生 ,其中女医生 6人现从中抽调 5名医生组成医疗小组前往灾区 ,若医疗小组至少有 2名 男医生 ,同时至多有 3名女医生 ,设不同的选派方法种数为 N,则下列等式 : - 3 - 5 1 413 7 6;C CC? 2 3 3 2 4 1 57 6 7 6 7 6 7C C C C C C
7、C? ? ?; 5 1 4 513 7 6 6C C C C?; 237 11CC ; 其中能成为 N的算式是 _. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10分） 已知复数 21,zz 在复平面内对应的点分别为 )1,2(?A ， )3,(aB (1)若 521 ?zz ，求 a 的值 (2)复数 21 zzz ? 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值 18.（本小题满分 12分） 坛子里放着 5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有 3个是绿皮的， 2个是白皮的如果不放回地依次拿出 2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第 1
8、次和第 2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第 1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2次拿出绿皮鸭蛋的概率 19.（本小题满分 12分） 从 1到 9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （ ）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （ ）在（ ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？ () 在（ ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示） 20（本小题满分 12分） - 4 - 已知 naa ? ?33的展开式的各项系数之和等 于 53514 ? ? bb展开式中的常数项，求naa ? ?33展开式中含 a1 的项的二项式系数 21（
9、本小题满分 12分） “ 蛟龙号 ” 从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为 ，乙组能使生物成活的概率为 ，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的 （ 1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功 的概率； （ 2）如果乙小组成功了 4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率； （ 3）若甲乙两小组各进行 2次试验，设试验成功的总次数为 ，求 的期望 22.（本小题满分 12分） 已知函数 2( ) ln , ( ) .f x x g x
10、 x? （ ）求函数 ( ) ( ) 1h x f x x? ? ?的最大值； （ ）对于任意 12, (0 , )xx? ?，且 12xx? ，是否存在实数 m 使得 1 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )m g x m g x x f x x f x? ? ?恒为正数？若存在，求 m 的取值范围，若不存在，说明理由 . - 5 - 2016 2017 学年度下学期期中测试 理科数学参考答案： 一、选择题 ACABA BBDDB CD 二、填空题 13 2 i 14 1： 8 15. 3125 16 三、解答题 17.（ 1）解：由复数的几何意义可知： Z1= 2+i， Z2=
11、a+3i | Z1 Z2|= ， | a 2 2i|= = 解得 a= 3或 1? 5分 （ 2）解：复数 z=Z1?Z2=（ 2+i）（ a+3i） =（ 2a 3） +（ a 6） i对应的点在二、四象限的角平分线上， 依题意可知点（ 2a 3， a 6）在直线 y= x上 a 6=（ 2a 3），解得 a= 9 ? 10 分 18. 解：设第 1次拿出绿皮鸭蛋为事件 A，第 2次拿出绿皮鸭蛋为事件 B，则第 1次和第 2次都拿出绿皮鸭蛋为事件 AB. (1) P(A)251413ACC=35. ?4 分 (2) P(AB)2523AA 310.? 8分 (3)由 (1)(2)可得，在第
12、1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2次拿出绿皮鸭蛋的概率为 P(B|A) P(AB)P(A)31035 12.? 12分 19. 解 :（ ） 3 4 74 5 7 100800C C A ? 个 ? ?4 分 () 3 4 5 34 5 5 3 14400C C A A ? 个 ? 8分 () 3 4 3 4 24 5 3 4 2 5760C C A A A ?个 ? 12分 20解：令 1a? 得 naa ? ?33的展开式的各项系数之和为 n2 ， ? 2分 - 6 - 由二项展开式得 1 0 5553 61 5 511( 4 ) ( ) 4 ( )55rr r r r r rrT C b
13、C bb? ? ? ? ?， 令 10 5 0r?得 r=2， ?4 分 所以 53514 ? ? bb的展开式中的常数项是第 3项，即 2 3 2 735 14 ( ) 25TC? ? ?由 n2 = 72 得 n = 7 ? 8分 对于 733 ,aa?由二项展开式得 5 2 1773 61 7 73( ) ( ) ( 1 ) 3rr r r r r rrT C a C aa? ? ? ? ?所以 1a含 的项是第 4项，其二项式系数是 3537 ?C ? 12分 21. 解：（ 1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为： P（ A） = = ? 3分 （ 2）根据乙小组在第四次成
14、功前共有三次失败，可知乙小组共进行了 6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为 =12种， 所以所求的概率为 P（ B） =12 = ? 6分 （ 3）由题意 的取值为 0， 1， 2， 3， 4， P（ =0 ） = = ， P（ =1 ） = + = ， P（ =2 ）= + += ， P（ =3 ） = + = ， P（ =4 ） = ? = ， ? 10 分 的分布列为： 0 1 2 3 4 - 7 - P E= = ? 12分 22. 解 : （ ）由题设知： ( ) ln 1 ( 0 )h x x x x? ? ? ?， 11( ) 1 xhx x
15、x? ? ? ?2 分 当 (0,1)x? 时 ( ) 0hx? ， 当 (1, )x? ? 时 ( ) 0hx? ； ()hx 在 (0,1) 上为增函数，在 (1, )? 上为减函数； ?4 分 max ( ) (1) 0h x h?5 分 （ ）由题设知： 1 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0m g x m g x x f x x f x? ? ? ?恒成立， 即 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )m g x x f x m g x x f x? ? ?恒成立，设 ( ) ( ) ( )x mg x f x? ?， 则有 12( ) ( )xx? 恒
16、成立，即 ( ) ( ) ( )x mg x xf x? ?在 (0, )? 为 减函数； ?7 分 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln 1 0x m g x f x x f x m x x? ? ? ? ? ? ? ?在 (0, )? 恒成立， ln 12xm x? 在 (0, )? 恒成立， ?9 分 设 ln 1() 2xux x? ，得2ln( ) 2 xux x? 当 (0,1)x? 时 ( ) 0ux? ， 当 (1, )x? ? 时 ( ) 0ux? ； ()ux在 (0,1) 上为减函数，在 (1, )? 上为增函数； 得m in 1 ( ) (1) 2u x u? ? ?11 分 12m? ?12 分
