1、2023-8-271 作业作业P68 习题习题3.2 13(5).14(6).15(2).16(3).P73 习题习题3.3 4(1).5(5).7(4).9.P78 习题习题:5(5)(6)(8).6(3).7.8.复习复习P60P782023-8-272二、高阶导数二、高阶导数第七讲第七讲 导数与微分导数与微分(三三)一、导数与微分的运算法则一、导数与微分的运算法则 （续）（续）2023-8-273一、导数与微分运算法则一、导数与微分运算法则1.四则运算求导法则四则运算求导法则2.复合函数求导法则复合函数求导法则3.反函数求导法反函数求导法4.隐函数求导法隐函数求导法5.参数方程求导法参数
2、方程求导法6.对数微分法对数微分法2023-8-2745.参数方程求导法参数方程求导法参参数数方方程程)1(2,0sincos1 ttbytax椭椭圆圆：例例0,)cos1()sin(2 atayttax摆摆线线：例例aa 22023-8-2752,0sincos333 ttaytax星星形形线线：例例a内旋轮线内旋轮线0,323232 aayx隐隐函函数数方方程程：2023-8-2760120(2)参数方程求导法参数方程求导法?dxdy如如何何求求).()(,0)(,)(),(1xttxttt 存存在在可可导导的的反反函函数数且且都都存存在在设设确确定定由由参参数数方方程程：设设函函数数 )
3、()()(tytxxfy 2023-8-277的的复复合合函函数数成成为为通通过过xty)(ty 分析函数关系分析函数关系:)()(1xttx )(1xy 利用复合函数和反函数微分法利用复合函数和反函数微分法,得得)()(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 2023-8-2782,0sincos9 ttbytax求求椭椭圆圆：例例,24cos,4aaxt 时时当当.4处处的的切切线线方方程程在在 t24sinbby )2,2(:0aaM切切点点解解4tan:tdxdyk切切线线斜斜率率2023-8-279tabtatbttdxdycotsincos)()(ababdxdykt 44s
4、incos4 :切切线线方方程程)2(2axabby bxaby2 即即2023-8-2710的的导导数数求求幂幂指指函函数数)()()(xvxuxf)(ln)()(xuxvexf 再应用复合函数微分法（链式法则）再应用复合函数微分法（链式法则）方法二方法二:利用对数微分法利用对数微分法方法一方法一:)()()(ln xfxfxf 6.对数微分法对数微分法)()ln()(xfxfxf2023-8-2711yxyx 的的导导数数求求幂幂指指函函数数例例cos)(sin1得得到到求求导导两两边边对对,xxxxxxyysincoscos)ln(sin)sin(1 解解 两边取对数两边取对数,得得得得
5、解解出出,y)ln(sinsinsincos)(sin2cosxxxxxyx 对数微分法对数微分法)ln(sincoslnxxy 2023-8-2712yxxxxy 求求设设例例,)4)(3()2)(1(23)4ln()3ln()2ln()1ln(31ln xxxxy4131211131 xxxxyy解解)41312111()4)(3()2)(1(31)(ln3 xxxxxxxxyyy2023-8-2713例例3解解 求切线斜率求切线斜率(x,y)处切线方程：处切线方程：。间间的的线线段段长长度度等等于于常常数数两两坐坐标标轴轴之之上上任任一一点点处处的的切切线线介介于于证证明明星星形形线线3
6、23232ayx 032323131 yyx33xyy )(33xXxyyY 2023-8-2714化为截距式化为截距式线段长度：线段长度：常数常数3232323333)(axyyxxyyXxY 13232 yaYxaXaayaxal 2232232)()(2023-8-2715近近似似计计算算微微分分的的简简单单应应用用xxfxfxxfdyyx )()()(,1000即即有有时时当当)()()()()()()(000000 xxxfxfxfxxfxfxxf 或或xffxfx )0()0()(,00有有时时当当2023-8-2716例例的的近近似似值值求求2160cos)18060123cos
7、(2160cos 3,cos)(0 xxxf令令)10800123cos(解解10800120 xxx2023-8-2717则则有有3sin)(,3cos)(00 xfxf得得由由近近似似公公式式)()()()(000 xxxfxfxf 4970.01080012232110800123sin3cos2160cos 2023-8-2718xxxxxarctgxxxxxxxxxxexffxfxx2111,1)1(,arcsintan,sin)1ln(,1)0()0()(,1 可得下列近似公式：可得下列近似公式：利用利用时时当当2023-8-271922),(),(,)(,)()(dxydxyxf
8、xxfxxfxf或或或或记记作作的的二二阶阶导导数数在在称称为为函函数数的的导导数数在在的的导导函函数数函函数数 二、高阶导数二、高阶导数xxfxxfxfx )()(lim)(0 即即（一）高阶导数定义（一）高阶导数定义2023-8-272033),(),(,)(,)()(dxydxyxfxxfxxfxf或或或或记记作作的的三三阶阶导导数数在在称称为为函函数数导导数数的的在在的的二二阶阶导导函函数数函函数数 xxfxxfxfnnxn )()(lim)()1()1(0)(即即nnnndxydxyxfnxxfxnxf或或或或记记作作阶阶导导数数的的在在称称为为函函数数的的导导数数阶阶导导函函数数在
9、在的的函函数数),(),(,)(,)1()()()(2023-8-2721)(tss 变变速速直直线线运运动动：瞬瞬时时速速度度一一阶阶导导数数：)()(tvts 瞬瞬时时加加速速度度二二阶阶导导数数：)()(tats 二阶导数的物理意义二阶导数的物理意义2023-8-2722)(),2,1(1nnynxy求求例例 1 nnxy2)1(nxnny!)(nyn 解解用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明2023-8-2723aayxln )(),1,0(2nxyaaay求求例例 2)(lnaayx nxnaay)(ln)(xnxee)()(特特例例：用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明解解
10、2023-8-2724.sin3阶阶导导数数的的求求例例nx)2sin()(sin)(nxxn)2sin(cos)(sin xxxxxx)2sin()(sin )22sin()2cos(xx解解xxx)22sin()(sin )23sin()22cos(xx用数学归纳法用数学归纳法2023-8-2725).0(,3/)0(,01cos22)(4yyyexfyx 求求且且确确定定由由方方程程函函数数例例 求求导导方方程程两两边边对对 x)1(0sin22 yyex得得代代入入将将),1(,3/)0(,0 yx32)0(y解解得得求求导导式式两两边边再再对对,)1(x得得代代入入将将),2(,3/
11、2)0(,3/)0(,0 yyx 9310)0(y)2(0sincos2 yyyyex2023-8-2726).(,cossincosln)(5xytttytxxfy 求求确确定定由由参参数数方方程程设设函函数数例例tttttttttxtyxycoscos/sinsincoscos)()()(解解xxydxdxy)()(ttxytxxycos)(cosln)(由由参参数数方方程程确确定定2023-8-2727xxyxy)()(ttttt)cos(ln)cos(tttxy)cos()(:注注意意tttttcos/sinsincos tttttsincossincos2 )()(txxyt 202
12、3-8-2728则则阶阶导导数数有有设设函函数数,)(),(nxvxu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnucuc )()(0)()()3(kknnkknnvuCvu ),()0()0(vvuu 其其中中式式称称为为莱莱布布尼尼兹兹公公式式)3(（二）高阶导数性质（二）高阶导数性质2023-8-2729)(32,15nxyexy求求设设例例 则则令令,23xveux ,2,2 vxv由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式得得),2,1(33)(nkeuxkk 0)()4(nvvv)()(!2)1()()()()(2)2(32)1(32)(3)(23)(xennxenxexeynx
13、nxnxnxn)1(693232 nnnxxexn解解2023-8-2730vuvuvu )(xuxuyy 乘乘、除除四四则则计计算算法法则则特特别别注注意意)1(复复合合求求导导法法则则)2(2)(vvuvuvu 函函数数关关系系注注意意分分析析清清楚楚小结小结1 导数计算导数计算要要求求反反函函数数求求导导公公式式)(1)()3(1xfyf 0)(xf2023-8-2731)()()()(txxyxyxytx 求求二二阶阶导导数数注注意意怎怎样样参参数数方方程程求求导导时时要要特特别别)5(txyxy)()(.,)4(复复合合求求导导问问题题有有两两边边求求导导时时隐隐函函数数求求导导法法则则数数或或幂幂指指函函数数。子子乘乘除除的的函函对对数数微微分分法法适适用用于于多多因因)6(2023-8-2732 小结小结2 2：几个概念之间的关系：几个概念之间的关系连续可微连续可微可微可微可导可导连续连续极限存在极限存在)(1ICf
