1、 1 青海省西宁市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 试卷满分： 150分 考试时间： 120分钟 第卷 一、选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请 将所选答案写在 答题卡上 ） 1.复数 i21 5z ? 的虚部是 （ ） A. 2? B. 2 C. 2i? D. 2i 2.已知函数 ()fx的导函数 ()fx? 的图象如图所示，那么下面说法正确的是 （ ） A. 在 ( 3,1)? 内 ()fx是增函数 B. B. 在（ 1,3）内 ()fx是减函数 C. 在（ 4,5）内 ()fx是增函数 D.
2、在 =2x 时， ()fx取得极小值 3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a b c， ， 中恰有一个偶数” 正确的反 设为 （ ） A a b c， ， 都是奇数 B a b c， ， 都是偶数 C a b c， ， 中至少有两个偶数 D a b c， ， 中至少有两个偶数或都是奇数 4. ? ? 522 112 ? ? xxx的展开式的常数项是（ ） ()A 3? ()B 2? ()C ? ()D ? 5.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 , 开演前又增加了两个 新节目 . 如果将这两 个新节目插入原节目单中 , 那么不同插法的种数为 （ ） A 42 B 48 C 9
3、6 D 124 6.已知函数 ( ) sinf x x x? ，记 1()2mf?， 1()3nf? ，则下列关系正确的是 （ ） A. 0mn? B. 0 nm? C. 0 mn? D. 0nm? 7.某校高三年级共有六个班 ,现从外校转入 4 名学生 ,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名 ,则不同的安排方案种数为 ( ) 2 A. 2426CA B. 2426AA C. 262A D. 242621 CA8 如图，正方形的四个顶点为 ( 0 , 0 ) (1 , 0 ) (1 ,1 ) ( 0 ,1 )O A B C、 、 、，曲线 2yx? 经 过点 B ，现将一质点随机投入正方
4、形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A 12 B 13 C 14 D 25 9 若 32( ) 3 3 ( 2 ) 1f x x a x a x? ? ? ? ?有极大值和极小值，则 a 的取值范围 （ ） A 12a? ? ? B 2a? 或 1a? C 2a? 或 1a? D 12aa? ?或 10已知关于 x的方程 09)3(2 22 ? bxax ，其中 a,b都可以从集合 1， 2， 3， 4， 5， 6中任意选取，则已知方程两根异号的概率为 （ ） A 61 B 21 C 121 D 31 11.设函数 ,)21()( 10xxf ? 则导函数 )(xf? 的展开式 2x
5、项的系数为 （ ） A 1440 B -1440 C -2880 D 2880 12.设函数 bxaxgxfbaxgxf ? 则当且上均可导在 ),()(,)(),( 时，有 （ ） A )()( xgxf ? B )()( xgxf ? C )()()()( bfxgbgxf ? D )()()()( afxgagxf ? 第 卷（非选择题，共 90分） 二、填空题（本题共 4小题， 每小题 5分，共 20分。请规范作答 ） 13若 ? ?2( 1) 1z m m i? ? ? ?复 数 为纯虚数 , 那么实数 m的值 . 14. 3 221()x dxx? = 。 15 随机变量 的分布列
6、为 P（ =k ） = )1(k kc? ， k=1， 2， 3， 4， 其中 c为常数，则 )2( ?P 等于 . 2,4,6 3 16设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为 2，那么其表面积最小时，底面边长为 . 三、解答题（本题共 6大题，其中第 17题 10分，其他每题 12分，共 70分：审题要慢，答题要快；言之有理，论证有据，详略得当，工整规范） 17. 已知函数 3( ) 3 2 ( R )f x ax x a? ? ? ?的一个极值点是 1. (I) 求曲线 ()y f x? 在点 (2, (2)f 处的切线方程； (II)求函数 ()fx在 2,3? 上的最大值和最小
7、值 . 18 从 1到 9的九个 数字中取三个偶数四个奇数，试问： 能组成多少个没有重复数字的七位数？ 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 在 中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 在 中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ 4 19.在二项式 3 n31( x )2x?的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列 （ 1）求展开式的常数项； （ 2）求展开式中二项式系数最大的项； （ 3）求展开式中各项的系数和。 20已知 1a =21 ,且 nn anS 2? )( *Nn? （ 1） 求 2a ， 3a ， 4a （ 2） 猜测 na 的通项公式，并用数学归纳法证明之 .
8、21.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分 .假设甲队中每人答对的概率均为 32 ，乙队中 3人答对的概率分别为 21,32,32 ，且各人正确与否相互之间没有影响 .用表示甲队的总得分。 （）求随机变量分布列 （）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB). 5 22.已知函数 2( 1)( ) ln 2xf x x ? ( )求函数 ?fx的单调递增区间； （）证明：当 1x? 时， ? ? 1f x x?； （）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 0
9、1x? ，当 0(1, )xx? 时，恒有 ? ? ? ?1f x k x? 6 高 二 数 学（理科） 答案 一、选择题 ACDDA BDBBB CD 二、填空题 13 -1 .14. 93+ln22 。 15 3/8 . 16 17. 已知函数 3( ) 3 2 ( R )f x ax x a? ? ? ?的一个极值点是 1. (I) 求曲线 ()y f x? 在点 (2, (2)f 处的切线方程； (II)求函数 ()fx在 2,3? 上的最大值和最小值 . 解： 2( ) 3 3f x ax?. ? 2分 因为 函数 ()fx的一个极值点是 1, 所以 (1) 3 3 0fa? ? ?
10、. 解得： 1a? . ? 4分 经检验， 1a? 满足题意 . 所以 (2) 0, (2) 9ff? ? ?. 所以曲线 ()y f x? 在点 (2, (2)f 处的切线方程是 9( 2)yx? ? ，即 9 18 0xy? ? ? . ? 6分 （）由（）知： 2( ) 3 3f x x? ?. 令 ( ) 0fx? ，得 121, 1xx? ? . ? 7分 当 x 在 2,3? 上变化时， ? ?( ),f x f x 的变化情况如下表 x 2? ( 2, 1)? 1? (1,1)? 1 (1,3) 3 ()fx - 0 + 0 - ()fx 4 0 4 16- ? 10分 7 所以
11、 函数 ()fx在 2,3? 上的最大值为 4，最小值为 -16. ? 11 分 18. 解：分步完成：第一 步在 4个偶数中取 3个，可有 种情况； 第二步在 5个奇数中取 4个，可有 种情况； 第三步 3个偶数， 4个奇数进行排列，可有 77A 种情况， 所以符合题意的七位数有 3 4 74 5 7 100800C C A ? 个 上述七位数中，三个偶数排在一起的有个 3 4 5 34 5 5 3 14400C C A A ? 上述七位数中， 3个偶数排在一起， 4个奇数也排在一起的有 3 5 3 4 24 5 3 4 2 5760C C A A A ?个 上述七位数中，偶数都不相邻，可
12、先把 4个 奇数排好，再将 3个偶数分别插入 5个空档，共有 4 3 35 4 5 28800A C A ? 个 。 19.在二项式 3 n31( x )2x?的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列 （ 1）求展开式的常数项； （ 2）求展开式中二项式系数最大的项； （ 3）求展开式中各项的系数和。 解 :展开式的通项为 3 r2nrnr1r xC)21(T? ?， r=0， 1， 2，?， n 由已知： 2n21n0n0 C)21(,C)21(,C)21(?成等差数列， 2n1n C411C212 ? n=8 （ 1） 835T5?（ 2） 5T 二项式系数最大 （ 3）令 x=1，各项系
13、数和为 2561 20已知 1a =21 ,且 nn anS 2? )( *Nn? （ 1） 求 2a ， 3a ， 4a （ 2） 猜测 na 的通项公式，并用数学归纳法证明之 . 20、解 : nn anS 2? , nnnnn ananSSa 21211 )1( ? ? nn an na 21 ? (1) 2a =61 ， 3a = 121 ， 4a =201 8 (2) 猜测 na =)1( 1?nn;下面用数学归纳法证 当 n=1时，结论显然成立 . 假设当 n=k时结论成立，即 ka =)1( 1?kk则当 n=k+1时，)2)(1( 1)1( 1221 ? kkkkk kak k
14、a kk故当 n=k+1时结论也成立 . 由、可知，对于任意的 n N*，都有 na =)1( 1?nn21.（ I）由题意知， ? 的可能取值为 0,1,2,3, 且 03312322333321( 0) (1 ) ,3 272 2 2( 1 ) (1 ) ,3 3 92 2 4( 2) ( ) (1 ) ,3 3 928( 3 ) ( ) ,3 27PCPCPCPC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 P 12729 49 827 ? 6分 （ II）用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得
15、3 分乙得 0 分”这一事件，,AB C D? ,CD互斥 . ? 7分 223 42 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0( ) ( ) ( 1 ) ,3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3P C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 54( ) ,3PD? ? ? 11 分 4 5 51 0 4 3 4 3 4( ) ( ) ( ) .3 3 3 2 4 3P A B P C P D? ? ? ? ? ? 13 分 9 试题解析：（ I） ? ? 2111 xxf x xxx? ? ? ? ? ? ?， ? ?0,x? ? 由 ? ? 0f
16、x? ? 得20 10xxx? ? ? ?解得 150 2x ? 故 ?fx的单调递增区间是 150,2? （ II）令 ? ? ? ? ? ?F1x f x x? ? ?， ? ?0,x? ? 则有 ? ? 21F xx x? ? 当 ? ?1,x? ? 时， ? ?F0x? ? ， 所以 ?Fx 在 ? ?1,? 上单调递减， 故当 1x? 时， ? ? ? ?F F 1 0x ?，即当 1x? 时， ? ? 1f x x? （ III）由（ II）知，当 1k? 时，不存在 0 1x? 满足题意 当 1k? 时，对于 1x? ，有 ? ? ? ?11f x x k x? ? ? ?，则 ? ? ? ?1f x k x?，从而不存在 0 1x? 满足题意 当 1k? 时，令 ? ? ? ? ? ?G1x f x k x? ? ?， ? ?0,x? ? ， 则有 ? ? ? ?2 111G1 x k xx x kxx?
