1、 1 山东省临沂市罗庄区 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .共 150分，考试时间 120分钟 . 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B铅笔分别涂写在答题卡上； 2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上 .试题不交，只交答题卡 . 第 I卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知复数 z 满足 2i1iz? ? ，那么 z 的虚部为 A. 1 B.
2、i? C. 1? D. i 2.定积分 10 (2 e )xx dx?的值为 A. e2? B. e C. e1? D. e1? 3.按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 , , ,ABO AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时，子女的血型一定不是 O 型，若某人的血型的 O 型，则父母血型的所有可能情况有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.已知复数 z 满足 (1 i) 1z ?（其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z 是 A. 11i22? B. 11i22? C. 11i22? D. 11i22? 5.用数学归纳法证明不等式11
3、 1 11 ( N * )2 3 2 2n n n? ? ? ? ? ?，第二步由 k 到 1k? 时不等式左边需增加 A. 12kB. 1112 1 2kk? ?C. 111 1 12 1 2 2 2k k k? D. 111 1 12 1 2 2 2k k k? ? ?6.已知 32( ) ( 6 ) 1f x x a x a x? ? ? ? ?有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 A. 12a? ? ? B. 36a? ? ? C. 1a? 或 2a? D. 3a? 或 6a? 2 7.我校高二年级在期末考试中要考 查 六个学科，已知语文考试必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这
4、六个学科总共有不同的考试顺序 A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 112种 8.观察下列各式： 222255?， 333310 10?， 444417 17?， 若 99mmnn? ，则 nm? = A. 43 B. 73 C. 82 D. 91 9.已知 21( ) cos4f x x x?， ()fx? 为 ()fx的导函数，则 ()fx? 的图象是 A. B. C. D.10.将 2 名 教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1名教师和 2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 24 种 C.48 种 D.10种 1
5、1.若不等式 22 ln 3x x x ax? ? ? ?对 (0, )? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A. ( ,0)? B. ( ,4? C. (0, )? D. 4, )? 12.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称 “ 六艺 ” 某中学为弘扬 “ 六艺 ” 的传统文化，分别进行了主题为 “ 礼、乐、射、御 、书、数 ” 六场传统文化知识的竞赛现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为 ,abc（ abc?，且 , , N*abc? ）， 选手最后得分为各场得分之和在六场比赛后，已知甲最后得分为 26分，乙和
6、丙最后得分都为 11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 A. 每场比赛第一名得分 a 为 4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名 C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名 第 II卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每 小题 5分，共 20分 .把正确答案填在答题纸给定的横线上 . 3 13.若复数 222 ( 3 2 )iz m m m m? ? ? ? ?为纯虚数 ，其中 i 是虚数单位，则 m? 14.用数字 1,2组成四位数，数字 1,2至少都出现一次，这样的四位数有 个。（用数字作答） 15.若 O 为 ABC 内部任意一
7、点， 连结 AO 并延长交对边于 A? ，则 ABOCABCSAOAA S? 四 边 形 ，同理 连结 BO ， CO 并延长，分别交对边于 B? ， C? ，这样可以推出AO BO COAA BB CC? ? ? ? ? ；类似的，若 O 为四面体 ABCD 内部任意一点，连,AO BO CO DO并延长，分别交相对面于 , , ,A B C D? ? ? ? ，则A O B O C O D OA A B B C C D D? ? ? ? ? ? ? 16.已知函数 2( ) e xfx? ， 1g( ) ln 2xx?的图象分 别与直线 yb? 交于 A ， B 两点，则|AB 的最小值为
8、 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程 17.（本小题满分 10分） 已知复数 1iz? （ i 为虚数单位） （ 1）设 2 34zz? ? ? ，求 |? ； （ 2）若 3i 2ia z? ?，求实数 a 的值 18.（本小题满分 12分） 设 2( ) ( 5) 6 lnf x a x x? ? ?，其中 Ra? ，曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与y 轴相交于点 (0,6) （ 1）确定 a 的值； （ 2）求函数 ()fx的单调区间 19.（本小题满分 12分） 先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题： 4 已知 12
9、,Raa? ， 121aa?， 求证： 221212aa?. 证明 ： 构造函数 ? ? ? ? ? ?2212f x x a x a? ? ? ?， 则 ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 2f x x a a x a a x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 对一切 xR? ，恒有 ? ? 0fx? . ? ?22124 8 0aa? ? ? ? ?，从而得 221212aa?. （ 1）若 12, , , Rna a a ? ， 12 1na a a? ? ? ?，请写出上述结论的推广式； （ 2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明 .
10、20.（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) e 1xf x ax? ? ? a?R （ 1） 当 1a? 时，求证： ( ) 0fx? ； （ 2） 讨论函数 ()fx极值点的个数 21. （本小题满分 12 分） 设 1( ) (1 )nf n nn? ? ?，其中 n 为正整数 （ 1）求 (1)f ， (2)f ， (3)f 的值； （ 2）猜想满足不等式 ( ) 0fn? 的正整数 n 的 取值 范围，并用数学归纳法证明你的猜想 22.（本小题满分 12 分） 设函数 2( ) lnf x a x bx?（ 0x? ） （ 1）若函数 ()fx在 1x? 处与直线 12y? 相切，
11、求函数 ()fx在 1 ,ee 上的最大值； （ 2）当 0b? 时，若不等式 ()f x m x?对所有的 30, 2a? ， 2(1,ex? 都成立，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题： ABCAD DCBDA BC 二 、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 0m? 14.14 15. 2 3 16. 2 ln22? 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 . 17.解： （ 1） 由复数 1iz? ，得 1iz? ? 2分 则 2 34zz? ? ? 2(1 i) 3(1 i) 4? ? ? ? ? 1 2i 1 3 3i 4? ? ? ? ?
12、 ?1i? ? 4分 故 22| | ( 1) ( 1) 2? ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2） 3ii1iaaz? ? ( i)(1 i)(1 i)(1 i)a? 7分 i i 12aa? ? ? 11i22aa? 2i?。 ? 9分 由复数相等的充要条件得：1 2,21 1,2aa? ? ? ?解得 3a? ? 10 分 18. 解： （ 1） 6( ) 2 ( 5)f x a x x? ? ? ?， 令 1x? 得 (1) 16fa? ， (1) 16 8fa? ?， 则曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线为 16 (6 8 )( 1)y a a x? ? ?
13、?， 由 (0,6) 在切线上得 6 16 8 6aa? ? ? ? 12a? ? 6分 （ 2） 由（ ）知， 2( ) ( 5) 6 lnf x a x x? ? ?（ 0x? ） ， 6 ( 2 )( 3 )( ) 5 xxf x x xx? ? ? ? ?， ? 7分 由 ( ) 0fx? ? 得 3x? 或 02x?； ? 9分 由 ( ) 0fx? ? 得 23x?， ? 11 分 故 ()fx的单调 递增区间为 (0,2) ， (3, )? ；单调递减区间为 (2,3) ? 12分 19.解： （ 1）若 12, , , Rna a a ? ， 12 1na a a? ? ? ?
14、. 上式的推广式为： 2 2 212 1na a a n? ? ? ?. ? 4分 （ 2）证明：构造函数 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 212 nf x x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? 6分 2 2 2 2122 nn x x a a a? ? ? ? ? ?. ? 8 分 对一切 Rx? ，都有 ? ? 0fx? ， ? 10 分 ? ?2 2 212 4 4 0nn a a a? ? ? ? ? ? . ? 11分 故 2 2 212 1na a a n? ? ? ?. ? 12 分 20. 解： （ 1） 由 ( ) e 1xf x x? ? ?，得 (
15、) e 1xfx? ? 又 0(0) e 1 0f? ? ? ?， ? 1分 当 0x? ， ( ) 0fx? ? ， ()fx为减函数； ? 2分 当 0x? ， ( ) 0fx? ? ， ()fx为增函数 . ? 3分 ( ) (0) 0f x f?成立 ? 4分 （ 2） 函数 ( ) e 1xf x ax? ? ? 得 ( ) exf x a? ? ? 5分 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在上 为增函数，无极值点； ? 6分 当 0a? ，令 ( ) 0fx? ? 得 lnxa? ， ? 7分 由 ( ) 0fx? ? 得， lnxa? ； ? 8分 由 ( )
16、0fx? ? 得， lnxa? 。 ? 9分 当 x 的变化时， ()fx? ， ()fx的变化情况如下表： x ? 0 ? ()fx 极小值 ? 11分 综上：当 0a? 时， ()fx在 R上 无极值点； 当 0a? ，有一个极小值点 lnxa? ? 12分 21. 解： （ 1） 1( ) (1 )nf n nn? ? ?， (1) 1f ? ， 211(2) (1 ) 224f ? ? ? ?， 31 6 4 1 7(3 ) (1 ) 3 33 2 7 2 7f ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 （ 2） 猜想： 3n? ， 1( ) (1 ) 0nf n nn? ? ? ?， ? 5分 证明： 当 3n? 时， 17(3) 027f ? ? 成立， ? 6分 假设当 nk? ( 3, N*nn?)时猜想正确， 即 1( ) (1 ) 0kf k kk? ? ? ?，所以 1(1 )k kk?， ? 7分 ( ,ln )a? (ln , )a?lna()fx?则当 1nk?时，由于 11(1 )1 kk ? ? 11(1 ) (1 )kkk? ? ?11(1 )
