1、 1 四川省成都市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一 .选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 . 1.设复数 z满足 ( 2) 3iz?（ i 为虚数单位） ，则 z ( ) A.2 3i B 2 3i C 3 2i D 3 2i 2.已知向量 ( 2,3, 5)a? ? ? 与向量 (4,1, )bz? 垂直 ,则 z 的值是 （ ） A 2 B 1 C 1 D -2 3从三件正品、一件次品 中随机取出两件，则取出的产品中一件正品，一件次品的概率是（ ） A 41 B 21 C 81 D无法 确定 4.曲线 3 24y x x? ? ? 在点 (1,3)
2、处的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 5.已知在数轴上 0和 3之间任取一实数 x ，则使“ 2 20xx?”的概率为（ ） A 14 B 18 C 23 D 112 6. 如图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱1 1 1ABC ABC? , 1 2CA CC CB?,则直线 1BC 与直 线 1AB 夹角的余弦值为 ( ) A 55 B 53 C 255 D 35 7.设函数 ()fx在定义域内可导， ()y f x? 的图象如图 1所示，则导函数 ()fx? 的图象可能为（ i ） 2 图 1 8成都西博会期 间，某高校有 12 名志
3、愿者参加服务工作若每天排早、中、晚三班，每班 4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ） A 4 4 412 8 4CCC B 4 4 412 8 4AAA C 4 4 412 8 433CCCAD 4 4 4 312 8 4 3C CC A 9由数字 0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数 ( ) A 72种 B 48种 C 60种 D 52种 10在平面直角坐标系中 ,由 2xy?所表示的区域记为 A,由区域 A及抛物 线 2xy? 围成的公共区域记为 B,随机往区域 A内投一个点 M,则点 M落在区域 B内的概率是 （ ） A 487 B
4、.1211C.247D.241911. ? ? ? ?121, 2 , 1, 2xx? ? ? ?使得 31 1 2 21ln 3x x m x m x? ? ?，则正实数 m 的取值范围是 A. 33 ln 2,2? ?B. 33 ln 2,2? ?C.? ?3 3ln 2,? ? D.? ?3 3ln 2,? ? 12.若函数 ()fx满足 错误 !未找到引用源。 ，且 11()f ee? ，则 1( ) ( ) 1xef e f e?的解集是 （ ） A. ( , 1)? B. 错误 !未找到引用源。 C. 错误 !未找到引用源。 D. 1( , )e? 二、填空题（ 本大题共 4小题，
5、每小题 5分，共 20分） . 3 13. 10 x?（ e +2x） =_ _ 14.空间三点的坐标为 (1,5, 2)A ? ， (2,4,1)B ， (3,3, 2)Cp? ，若 A,B,C三点共线， 则 p? 15.已知 错误 !未找到引用源。 是函数 2 2 3( ) ( 2 ) ( 2 )f x x a x a x a? ? ? ?的极小值点，则实数 a 的取值范围 是 _ 16、有 6 名乒乓球运动员分别来自 3 个不同国家，每一个国家 2 人，他们排成一排，列队上场，要求同一国家的人不能相邻，那么不同的排法有 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70 分） . 17.（本小题满
6、分 10分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 , （ 1）求所选 3 人都是男生的概率 ; （ 2）求所选 3 人中至少有 1名女生的概率。 18（本小题满分 12分） 已知函数 ? ? 2 1c o s 3 s i n c o s 2f x x x x? ? ?. (1)若 0, 2x ?,求 ?fx的最小值及取得最小值时相应的 x的值 ; 4 (2)在 ABC? 中 , ,abc分别为角 A、 B、 C的对边 ,若 12Af?, 1b? , 4c? ,求 a 的值 . 19 (本小题满分 12分 )若函数 2 4( ) 2 ln3f x ax x x? ? ?在 1x
7、? 处取得极值 (1)求 a 的值； (2)求函数 ()fx单调区间及极值 20 （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中 ，底面 ABCD 是菱形， 5 3DAB ?， PD 平面 ABCD ， 3PD AD?， 2PM MD? , 2AN NB? ， E 是 AB 中点 （ 1）求证：直线 AM 平面 PNC ； （ 2）求证：直线 CD 平面 PDE ； （ 3）在 AB 上是否存在一点 G ，使得二面角 G PD A?的大小为 3? ，若存在，确定 G 的位置，若不存在，说明理由 21.（本小题满分 12分）已知椭圆 22: 1( 0 )4xyCmm? ? ?. （
8、1）若 2m? ，求椭圆 C 的离心率及短轴长； （ 2）如存在过点 ( 1,0)P? 且与椭圆 C 交于 ,AB两点的直线，使得以线段 AB 为直径的圆恰好通过坐标原点，求 m 的取值范围 . 22、 （本小题满分 12分）已知函数 ? ? ? ? 2l n 2 ,f x x x g x x m x? ? ? ? (1)求 ?fx在点 ? ?1, (1)f 处的切线方程； 6 (2)求函数 ? ? ? ? ?, 2 0f x t t t?在 上的最小值； (3)若存在0 1,xee?使得 ? ? ? ? 2m f x g x x m? ? ? ?成立，求实数 m的取值范围 参考答案 一、选择
9、题： 1 5： BCBBC 6 10： ADACC 11 12： BA 二、填空题： 13： e 14： 2 15： 错误 !未找到引用源。 或 错误 !未找到引用源。 16:240 17.解：基本事件的总数为 36 20C? （ 1）所选 3 人都是男生的事件数为 34 414, 20 5CP? ? ? 5 分 （ 2）所选 3 人恰有 1女生的事件数为 2142 1 2 31 2 , 2 0 5C C P? ? ? ?； 所选 3 人恰有 2 女生的事件数为 1242 414, 2 0 5C C P? ? ? ?所选 3 人中至少有 1名女生的概率为 3 1 45 5 5? ? 10 分
10、18 解 :( ) ? ? 2 1c o s 3 s i n c o s 2f x x x x? ? ?1 c o s 2 3 1s in 22 2 2x x? ? ?sin 26x ? 3分 0 2x ? , 726 6 6x? ? ? ? ? , 1 sin 2 126x ? ? ? ?, 即 ? ?1 12 fx? ? ? . ? ?min 12fx ?,此时 72 66x ? , 2x ? ? 6分 ( ) s in 126AfA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 在 ABC? 中 , 0 A ?, 76 6 6A? ? ? ? ? , 62A ?, 3A ? ， ? 9
11、分 又 1b? , 4c? ,由余弦定理得 2 2 24 1 2 4 1 c o s 6 0 1 3a ? ? ? ? ? ? ? ， 故 13a? ? 12分 19解： (1)f( x) 2ax 2 43x，由 f(1) 2a 23 0，得 a 13， ? 4分 (2)f(x) 13x2 2x 43ln x(x 0)， 7 f( x) 23x 2 43x 2( 1)( 2)3xxx? ? ? .? 6分 由 f( x) 0，得 x 1或 x 2. 当 f( x) 0时 1 x 2； 当 f( x) 0时 0 x 1或 x 2. 当 x 变化时 f( x)， f(x)的变化情况如下： x (0
12、,1) 1 (1,2) 2 (2， ) f( x) 0 0 f(x) 53 83 43ln 2 因此 f(x)的单调递增区间是 (1,2)，单调递减区间是 (0,1)， (2， ) ? ? 10分 函数的极小值为 f(1) 53，极大值为 f(2) 83 43ln 2. ? 12 分 20证明：（ ）在 PC上取一点 F，使 PF=2FC，连接 MF， NF， PM=2MD， AN=2NB， MF DC， MF= ， AN DC， AN= MF AN， MF=AN， MFNA 为平行四边形，即 AM NA又 AM?平面 PNC， 直线 AM 平面 PNC； （ ） E是 AB中点，底面 ABC
13、D是菱形， DAB=60 ， AED=90 AB CD， EDC=90 ，即 CD DE又 PD 平面 ABCD， CD PD 又 DE PD=D， 直线 CD 平面 PDE； ? ? 6分 解：（ III）由（ ）可知 DP， DE， DC，相互垂直，以 D 为原点，如图建 立空间 直 角 坐 标 系 则 设面 PDA的法向量 ，由 ，得 设面 PDG的法向量 ，由 ，得 cos60= 解得 ，则 G与 B 重合点 B的位置为所求 。 ? ? 12分 8 21. 解： ? 5分 （）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为 ( 1)y k x?， 11( , )Ax y ， 22( , )
14、Bx y 由 221,4( 1),xymy k x? ?得 2 2 2 2( 4 ) 8 4 4 0m k x k x k m? ? ? ? ?， ? 6分 所以 0? ， 212 28 4kxx mk? ? ? ?， 212 2444kmxx mk? ?.? 8分 因为以线段 AB 为直径的圆恰好过原点， 所以 OA OB? .所以 1 2 1 2 0x x y y?，即 2 2 21 2 1 2(1 ) ( ) 0k x x k x x k? ? ? ? ?. 所以 222 2 2224 4 8(1 ) ( ) 044k m kk k km k m k? ? ? ?.即 2 443mk m? ? .? 9分 由 2 4 043mk m? ， 0m? ，所以 40 3m?.? 10分 当直线的斜率不存在时，因为以线段 AB 为直径的圆恰好通过坐标 原点，所以 ( 1,1)A? . 所以 1114 m?，即 43m? . 综上所述， m 的取值范围是 40 3m?.? 12分 22、 解：（ 1）由已知 ?12f ? ， ? ? ln 1f x x? ?，则 ?11f? ? ， 所以在 ? ?1, (1)f 处的切线方程为： 21yx? ? ? ，即为 10xy? ? ? ? 3分 （ 2） 5分 9 6分 7分 88分 9分 12 分 10
