1、黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）向量，若，则x的值为（）A3B1C1D32（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f（1）的值为（）A1B2C1D23（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A8B11C16D104（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.01
2、7.019.820.6支出Y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则（）A月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）ABCD6（5分）点集=（x，y）|0xe，0ye，A=（x，y）|yex，（x，y），在点集中任取一个
3、元素a，则aA的概率为（）ABCD7（5分）下列说法错误的是（）A“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件B已知A，B，C不共线，若=，则P是ABC的重心C命题“x0R，sinx01”的否定是：“xR，sinx1”D命题“若=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”8（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）ABC或 D或9（5分）若双曲线x2+my2=m（mR）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD10（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1
4、与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）ABCD11（5分）设函数f（x）=x29lnx在区间a1，a+1上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（1，2B4，+）C（，2D（0，312（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题“xR，x2ax+10”为假命题，则实数a的取值范围是 14（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若APB=120，则动
5、点P的轨迹方程为 15（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是 16（5分）已知函数f（x）=exex+1（e为自然对数的底数），若f（2x1）+f（4x2）2，则实数x的取值范围为 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值18（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1（）设集合A=1，1，2和B=2，1，1，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y
6、=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率（）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间1，+）上是增函数的概率19（12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，E为AB的中点，PA平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF平面PEC；（2）求二面角DPEA的余弦值20（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4（）求a，b的值；（）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值21（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆C的
7、方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值22（12分）设函数（1）当x（0，+），恒成立，求实数a的取值范围（2）设g（x）=f（x）x在1，e2上有两个极值点x1，x2（A）求实数a的取值范围；（B）求证：大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）向量，若，则x的值为（）A3B1C1D3【解答】解：向量，=4+4x8=0，解得x=3故选：D2（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f（1）的值为（）A1B2C1D2【解答】
8、解：f（x）=x+lnx，f（x）=1+f（1）=1+=2故选B3（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A8B11C16D10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，高一、高二、高三共有学生3500人，x+2x+x+300=3500，x=800，按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，应抽取高一学生数为=8故选A4（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份
9、4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则（）A月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C5（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马
10、进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）ABCD【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6（5分）点集=（x，y）|0xe，0ye，A=（x，y）|yex，（x，y），在点集中任取一个元素a，则aA的概率为（）ABCD【解答】解：点集表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：故选：B7
11、（5分）下列说法错误的是（）A“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件B已知A，B，C不共线，若=，则P是ABC的重心C命题“x0R，sinx01”的否定是：“xR，sinx1”D命题“若=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+=2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是ABC的重心，故B正确；对于C，命题“x0R，sinx01”的否
12、定是：“xR，sinx1”，由命题的否定形式，可得C正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若=，则cos=”的逆否命题为“若cos，则”，故D正确故选：A8（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）ABC或 D或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=c，可得y=，可得A（c，），B（c，），又设D（0，b），ABD为直角三角形，可得DBA=90，即b=或BDA=90，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e=；由=0，可得：（c，）（c，）=0，可得c2+b2=0，可得e44e2+2=
13、0，e1，可得e=，综上，e=或故选：D9（5分）若双曲线x2+my2=m（mR）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（mR）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=x；故选：D10（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）ABCD【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，B1D1面ACC1A1，则B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相
14、等，故选A11（5分）设函数f（x）=x29lnx在区间a1，a+1上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（1，2B4，+）C（，2D（0，3【解答】解：f（x）=x29lnx，函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=x，x0，由f（x）=x0，得0x3函数f（x）=x29lnx在区间a1，a+1上单调递减，解得1a2故选A12（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）【解答】解：由题意可得，f（x0）=，即 =k+，kz，即 x0=m再由x02
15、+f（x0）2m2，即x02+3m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，m2 m2+3，m24 求得 m2，或m2，故选：C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题“xR，x2ax+10”为假命题，则实数a的取值范围是2，2【解答】解：命题“存在实数x，使x2ax+10”的否定是任意实数x，使x2ax+10，命题否定是真命题，=（a）2402a2实数a的取值范围是：2，2故答案为：2，214（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若APB=120，则动点P的轨迹方程为x2+y2=【解答】解：连接OP，AB，
16、OA，OB，PA，PB是单位圆O的切线，PA=PB，OAPA，OBPB，OPA=OPB=APB=60，又OA=OB=1，OP=，P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，P点轨迹方程为x2+y2=故答案为：x2+y2=15（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+sin的值，由于sin，kZ的取值周期为6，且2017=3366+1，所以S=sin+sin+sin=336（sin+sin+sin）+sin=故答案为：16（5分）已知函数f（x）=exex+1（e为自然对数的底数），若f（2x1）+f（4x2）2，则实数x的
17、取值范围为（1，3）【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）1=exex，有g（x）=f（x）1=exex=g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=exex，其导数g（x）=ex+ex0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0e0=0，f（2x1）+f（4x2）2f（2x1）1f（4x2）+1f（2x1）f（4x2）1g（2x1）g（x24），又由函数g（x）为增函数，则有2x1x24，即x22x30解可得：1x3，即实数x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的
18、直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x2），与y2=8x联立，消去y得x25x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x25x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，2），B（4，4）设=（x3，y3）=（1，2）+（4，4）=（4+1，42），又y2=8x3，即2（21）2=8（4+1），即（21）2=4+1，解得=0或=218（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1（）设集合
19、A=1，1，2和B=2，1，1，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率（）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间1，+）上是增函数的概率【解答】解：要使函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数，需a0且，即a0且2ba（）所有（a，b）的取法总数为33=9个满足条件的（a，b）有（1，2），（1，1），（2，2），（2，1），（2，1）共5个，所以所求概率（）如图，求得区域的面积为由，求得所以区域内满足a0且2ba的面积为所以所求概率19（12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，E为AB的中点，
20、PA平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF平面PEC；（2）求二面角DPEA的余弦值【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系A（0，1，0），C（0，1，0），P（0，1，2），设，则=（）设平面PEC的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，1）AF平面PEC，=3+22=0，解得，F为PD中点（2）=（，0），=（，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos=，由二面角D
21、PEA为锐二面角，因此，二面角DPEA的余弦值为20（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4（）求a，b的值；（）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值【解答】解：（）f（x）=ex（ax+b）x24x，f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4f（0）=4，f（0）=4b=4，a+b=8a=4，b=4；（）由（）知，f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=4（x+2）（ex），令f（x）=0，得x=ln2或x=2x（，2）或（ln2，
22、+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0f（x）的单调增区间是（，2），（ln2，+），单调减区间是（2，ln2）当x=2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2）=4（1e2）21（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值【解答】解：（）依题意，a2b2=2，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，b=|OM|=1，（3分）椭圆的方程为（4分）（II）当直线l的斜率不存在时，由
23、解得设，则为定值（5分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x1）将y=k（x1）代入整理化简，得（3k2+1）x26k2x+3k23=0（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，（7分）又y1=k（x11），y2=k（x21），所以=（13分）综上得k1+k2为常数2.（14分）22（12分）设函数（1）当x（0，+），恒成立，求实数a的取值范围（2）设g（x）=f（x）x在1，e2上有两个极值点x1，x2（A）求实数a的取值范围；（B）求证：【解答】解：（1），且x0，令，则当a0时，U（x）0，U（x）在（1，+）上为单调递增函数，
24、x1时，U（x）U（1）=0，不合题意当0a2时，时，U（x）0，U（x）在上为单调递增函数，U（x）U（1）=0，不合题意当a2时，U（x）0，U（x）在上为单调递减函数时，U（x）U（1）=0，不合题意当a=2时，x（0，1），U（x）0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数x（1，+），U（x）0，U（x）在（1，+）上为单调递减函数U（x）0，符合题意综上，a=2（2），x1，e2g（x）=lnxax令h（x）=g（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根（A）当时，h（x）0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意当a1时，h（x）0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意当时，h（x）0，h（x）0，所以，h（1）0，h（e2）0，解得（B）证明：由已知lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2）不妨设x1x2，则，则=令，（0x1）则，G（x）在（0，1）上为单调递增函数，即，由（A），ae1，2ae2，
