1、 1 2016 2017 学年度下学期高二期中考试 数学试题 (理科 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 .) 1 复数 11ii? (i 是虚数单位 )的虚部为 ( ) A. i? B. 2i? C. 1? D. 2? 2 已知集合 2 | 2 3 0A x x x? ? ? ?， 1 | 0xBx x?，则 AB?( ) A. |0 1xx? B. | 1 3xx? ? ? C. | 1 0 0 3x x x? ? ? ? ?或 D. | 1 0 1 3x x x? ? ? ? ?或 3 若点 (cos ,sin )P
2、?在直线 20xy? 上，则 1cos 2 sin 22?( ) A. 1? B. 12? C. 75 D. 72 4 已知数列 ?na ，若点 ( , )(nn a n? ?N )在经过点 (8,4) 的定直线 l 上，则数 列 ?na 的前 15项和 15S? ( ) A. 12 B.32 C.60 D. 120 5 设 ,? 表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是 ( ) A. 如果 ? ，那么 ? 内一定存在直线平行于 ? B. 如果 ? ， ? ， l?，那么 l ? C.如果 ? 不垂直于 ? ，那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ? D.如果 ? ，那么 ? 内所 有 直
3、线都垂直于 ? 6 已知平面向 量 a ， b 满足 ? ? 3a a b? ? ? ，且 2a? ， 1b? ，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( ) A. 12? B. 32? C.12 D. 32 7甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为 ( ) 2 A. 72 种 B.52 种 C.36 种 D. 24 种 8 某空间几何体的三视图如图所示 ， 图中 主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为 4，俯视图中的四边形为正方形， 则这个几何体的体积是 ( ) A. 323 B. 643 C.16 D. 32 9 设抛物线 2:4C y x? 的
4、焦点为 F ，倾斜角为钝角的直线 l 过 F 且与 C 交于 ,AB 两点，若 16|3AB? ，则 l 的斜率为 ( ) A. 1? B. 3? C. 22? D. 33? 10 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了 “ 割圆术 ” ，得到了著名的“ 徽率 ” ，即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14如 右 图就是利用 “ 割圆术 ” 的思想设计的一个程序框图，则输出的求 n 的值为 (参考数据： sin15 0.2588? ， sin7.5 0.1305? )( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 48 11 实系数一元二次方
5、程 2 0x ax b? ? ? 的一个根在 (0,1) 上，另一个根在 (1,2) 上，则 22ba? 的取值范围是 ( ) A. 2(0, )3 B. 2( , )3? C. 2( ,2)3 D. 2( , )3? 12 已知 ,a R b R?, e 为自然对数的底数，则 ? ? ? ?2 21 ln 22 ae b a b? ? ?的最小值为( ) A. ? ?21 ln2? B. ? ?22 1 ln2? C. 1ln2? D. ? ?2 1 ln2? 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ) 13已知随机变量 X 服从正态分布 1(6, )3N ，则 X 的数学期望 (
6、)EX? _. 14若 6()xa? 展开式中 3x 的系数为 160，则1a axdx?的值为 _. 否开 始6n?1 360sin2Sn n? ? ?3.10S?是n输 出结 束2nn?第8题图俯视图侧视图主视图3 15 三角形 ABC 中，角 ,ABC 所对边分别为 ,abc，已知2 2 2s i n c o s c o s 3 s i n s i nB A C B C? ? ?，且三角形 ABC 外接圆 面积为 4? ，则a? _. 16 已知函数 ? ? ? ?2lg , 06 4 , 0xxfxx x x? ? ? ? ?，若关于 x 的方程 ? ? ? ?2 10f x bf x
7、? ? ?有 8 个不同根， 则实数 b 的取值范围是 _ 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (10 分 )已 知向量 ( 3 s in 2 3 , c o s ) , (1 , 2 c o s )a x x b x? ? ?， 设函数 ()f x a b? . (1)求函数 ()fx的最小正周期和其 图像 的对称中心； (2)当 7 , 12 12x ? 时，求函数 ()fx的值域 . 18 (12 分 )在数列 na 中， 1 1a? ， 1 22nnnaa? ?， (1)设12nn nab ?，证明：数列 nb 是等差数列； (2)求数列 na 的前 n 项
8、和 . 19 (12 分 )学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3 小时的学生称为 “ 古文迷 ” ，否则为 “ 非古文迷 ” ，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 (1)根据表中数据判断能否有 60% 的把握认为 “ 古文迷 ” 与性别有关？ (2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的 5 人中 “ 古文迷 ” 和 “ 非古文迷 ” 的人数； (3)现从 (2)
9、中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行体育锻炼时间的调查，记这 3 人中 “ 古文迷 ” 的人数为 ? ，求随机变量 ? 的分布列与数学期望 4 参考数据： ? ?2 0P K k? 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 参考公 式： ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a c d? ? ? ? 20 (12 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是正方形，侧 棱 PD? 底面 ABCD ，
10、1PD DC?， E 是 PC 的中点，作 EF PB? 交 PB 于点 F (1)求证： PA / 平面 EDB ； (2)求二面角 F DE B?的正弦值 D CBAPEF21 (12 分 )已知椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?与 y 轴的正半轴相交于点 M ，点 12,FF为椭圆的焦点，且 三角形 12MFF 是边长为 2 的等边三角形，若直线 : 2 3l y kx? 与椭圆 E 交于不同的两点 ,AB (1)直线 ,MAMB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求 三角形 ABM 的面积的最大值 5 22 (12 分 )设函
11、数 ? ? 1=ln xf x x e ? ， ? ? ? ?2 11g x a x x? ? ?. (1)判断函数 ? ?y f x? 零点的个数，并说明理由； (2)记 ? ? ? ? ? ? xxe exh x g x f x xe? ? ?，讨论 ?hx的单调性； (3)若 ? ? ? ?f x g x? 在 ? ?1,? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 6 高二数学 (理 )参考答案 一、选择题 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 A 9 B 10 B 11 A 12 B 二、填空题 13 6 14 7315 2 16172,4? ?三、解答题 17 解：
12、 (1) ( ) 2 sin (2 ) 46f x x p? ? ?， -(2 分 ) 则 ()fx的周期 T p? ， -(3 分 ) 图象的对称中心为 ( ,4),2 12k kZpp?.-(5 分 )(不写 kZ? 扣 1 分 ) (2) ( ) 2 sin (2 ) 46f x x p? ? ?， 7 , 12 12x pp? ， 42 , 6 3 3x p p p? ， -(7 分 ) ( ) 4 3,6fx? ? ? -(10 分 ) 18 解： (1)证明 由已知 1 22nnnaa? ?， 得 11 122 112 2 2nn n nnnn n na a abb? ? ? ?
13、? ? ?. 1 1nnbb? ? ? ，又 111ba?. nb 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 -(6 分 ) (2)解 由 (1)知， nbn? ，12 n nna bn? ?. 12nnan? . 1 2 2 11 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两边乘以 2 得： 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 两式相减得： 2 1 21 2 2 2 2nnSn? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 (1 ) 2 1n n nnn? ? ? ? ? ? ? ?
14、， ( 1) 2 1nnSn? ? ? ?.-(12 分 ) 19 解： (1)由列联表得 ? ?22 1 0 0 2 6 2 0 3 0 3 4 0 .6 4 9 4 0 .7 0 85 6 4 4 5 0 5 0K ? ? ? ? ? ? ?， 所以没 有 60%的把握认为“古文迷”与性别有关 -(4 分 ) 7 (2)调查的 50 名女生中“古文迷”有 30 人，“非古文迷”有 20 人，按分层抽 样的方法抽出5 人，则“古文迷”的人数为305350?人，“非古文迷”有205250?人 即抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为 3人和 2 人 -(6分 ) (3)因为?为所
15、抽取的 3 人中“古文迷”的人数，所以?的所有取值为 1， 2， 3 ? ? 123235 31 10CCP C? ? ? ?， ? ?213235 32 5CCP C? ? ? ?， ? ?3335 13 10CP C? ? ? ? 所以随机变量 的分布列为 ?1 2 3 P31035110于是 3 3 1 91 2 31 0 5 1 0 5E ? ? ? ? ? ? ? ? -(12 分 ) 20 (1)证明：连结 ,AC AC 交 BD 于点 G ，连结 EG .以 D 为原点，分别以 ,DA DC DP 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 D xyz? ，
16、依题意得)21,21,0(),1,0,0(),0,0,1( EPA . 因为底面 ABCD 是正方形 ，所以点 G 是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为 )0,21,21( ，且 11(1, 0 , 1 ), ( , 0 , )22P A E G? ? ? ?. 所以 2PA EG? ,即 EGPA/ ,而 ?EG 平面 EDB ,且 ?PA 平面 EDB , 因此 PA / 平面 EDB -(6 分 ) (2) (1,1, 0), (1,1, 1)B PB ?,又 11(0, , )22DE ? ,故 0PB DE?,所以DEPB? . 由已知 PBEF? ，且 EF DE E? , 所以
17、 ?PB 平面EFD .-(7 分 ) 所以平面 EFD 的一个法向量为(1,1, 1)PB?. 11(0 , , ), (1,1, 0 )22D E D B?, 不妨设平面 DEB 的法向量为 ( , , )a x y z? 则?00)(21yxDBazyDEa 不妨取 1?x 则 1,1 ? zy ，即 (1, 1,1)a? -(10 分 ) GD CBAPEF8 设所求二面角 BDEF ? 的平面角为 ? 1cos 3| | |a PBa PB? ? ?q 因为 ,0 ? ，所以 322sin ? 二面角 BDEF ? 的正弦值大小为 322 -(12 分 ) 21 解： (1)因为三角形 12MFF 是边长为 2 的等边三角形， 所以 22c? ， 3bc? ， 2a? ，所以 2, 3ab?， 所以椭圆 22:143xyE ?， -(2 分 ) 所以点 (0, 3)M . 将直线 : 2 3l y kx? 代入椭圆 E 的方程， 整理得： 22(3 4 ) 1 6 3 3 6 0k x kx? ? ? ?， (*) 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则由 (*)式可得 : 2 2 2(1 6 3 ) 4 ( 3 4 ) 3 6 4 8 ( 4 9 ) 0k k k? ? ? ? ? ? ?D ， 所以， 33( , ) ( , )22k
