1、 1 山东省师大附中 2017-2018学年高二数学下学期第七次学分认定考试（期中）试题 理 本试卷分第卷和第卷两部分，共 6页，满分为 120分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再 写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。 第卷（选择题 共
2、 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数 的模为 ( ) 2.若 ， ，如果 与 为共线向量，则 （ ） 3.用数字 1， 2， 3， 4， 5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） 8 24 48 120 4.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 ( ) . 5、 用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） 假设至少有一个钝角 假设至少有两个钝角 假设没有一个钝角 假设没有一个钝角或假设至少有两个钝角 2 6、 如图， 是 的重心， ， 则 （ ） 7 除以 88 的
3、余数是（ ） 1 87 8.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，则异面直线 与 所成的角的大小为（ ） 9.把 个不同小球放入 个分别标有 号的盒子中 ,则不许有空盒子的放法共有( ) 种 种 种 种 10. 已知 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 ，若 成立，则 成立，下列命题成立的是（ ） 若 成立，则对于任意 ，均有 成立 .若 成立，则对于任意的 ，均有 成立 若 成立，则对于任意的 ，均有 成立 若 成立，则对于任意的 ，均有 成立 11.对于非零实数 ，以下四个命题都成立： ； ； ；若 ，则 .那么对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 (
4、) 3 12.如图所示，五面体 中，正 的边长为 ， 平面，且 .设 与平面 所成的角为，若 ，则当 取最大值时，平面 与平面 所成角的正切值为（ ） 第卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.比较大小： _ （ 用 连接 ） 14.在古腊毕达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10， 15， 21， 28， ? 这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 1 3 6 10 15 则第 个三角形数为 _ . 15.平行六面体 中，底面是边长为 1的正方形，侧棱 的长为 2，且，则 的长为 . 16.已知矩形 的长 ，宽 ，将其沿
5、对角线 折起，得到四面体 ，如图所示， 4 给出下列结论： 四面体 体积的最大值为 ； 四面体 外接球的表面积恒为定值； 若 分别为棱 的中点，则恒有 且 ； 当二面角 的大小为 时，棱 的长为 ； 当二面角 为直二面角时，直线 所成角的余弦值为 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号 ) 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 10分） 试问 取何值时，复数 （ 1）是实数 （ 2）是虚数 （ 3）是纯虚数 18. （本小题满分 12 分 ） 如图，直棱柱 的底面 中， ， ，棱 ，如图，以 为原点，分别以 ， ， 为
6、 轴建立空间直角坐标系 （ 1）求平面 的法向量； （ 2）求直线 与平面 夹角的正弦值 . 19. （本小题满分 12 分） 某学习小组有 个男生和 个女生共 人： （ 1）将此 人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种 （ 2）将此 人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种 （ 3）从中选出 名男生和 名女生分别承担 种不同的任务，有多少种选派方法 5 （ 4）现有 个座位连成一排，仅安排 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种 20 （本小题满分 12分） 设 展开式中只有第 1010项的二项式系数最大 （ 1） 求 n； （ 2） 求 ;（ 3） 求 . 2
7、1（本小题满分 12分） 如图，已知四棱锥 中，侧棱 平面 ，底面是平行四边形， ， ， ， 分别是 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）当平面 与底面 所成二面角为 时，求二面角的余弦值 22.（本小题满分 12分） （ 1） 已知 ，比较 和 的大小并给出解答过程； （ 2） 证明：对任意的 ，不等式 成立 . 答案 一、选择题答案 6 二、填空题答案 13. 14. 15. 16. 三、 解答题答案 17 .解：（ 1）由条件 ，解得 ? 3分 （ 2）由条件 ，解得 ? 6分 （ 3）由条件 ，解得 ? 10 分 18.解：（ 1）由题意可知 故 ? 2分 设 为平面 的法向量，则
8、， ? 4分 ? 6分 令 ，则 ? 8分 （ 2）设直线 与平面 夹角为 ， ? 9分 ? 12分 19. 解：（ 1） ? ? .3分 （ 2） ? .6分 （ 3） ? .9分 （ 4） ? .12分 或 7 20.（ 1）由二项式系数的对称性， ? 4 分 （ 2） ? 8分 （ 3） ? 12分 21.解：（ 1）证明： 平面 ， 的射影是 ，的射影是 ， ，且 ， 是 直 角 三 角 形 ， 且，? 3分 ， 平面 ， ， 且 ， 平面? ? 6分 （ 2）解法 1：由（ 1）知 ，且 是平行四边形，可知 ， 又 平面 ，由三垂线定理可知， ， 又 由二面角的平面角的定义可知， 是
9、平面 与底面 所成二面角，故 ，故在 中， ， ， ， 从而 ? 8分 又在 中， ，在等腰三角形 ，分别取 中点 和中点 ，连接 ， 和 ，中位线 ，且 平面 ，平面 ，在 中，中线 ，由三垂线定理知， ， 为二面角 的平面角，? 10分 在 中， ， ， . 二面角 的余弦值为 ? ? 12 分 解法 2：由 ( )知，以点 为坐标原点，以 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， 8 ， ， ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 , 则由 又 是平面 的一个法向量， 平面 与底面 所成二面角为 ，解得 ， 设平面 的一个法向量为 , 则由 . 又 是平面 的一个法向量，设二面角 的平面角为 ，则 ， 二面角 的余弦值为 .?.?.?12 分 22.解 (1)： .?.?.?2 分 由 条 件 = ， ，.?.?.?6 分 （ 2）：证法一 证明：由（ 1）所得结论得 = 两边开方，命题得证 .?.?.?12 分 证法二 9 下面用数学归纳法证明不等式成立 . 当 时 ,左边 = ,右边 = ,因为 ,所以不等式成立 . 假设当 时不等式成立 ,即 成立 . 则当 时 ,左边 所以当 时 ,不等式也成立 . 由、可得不等式恒成立 . .?.?.? ?12 分
